Индекс детерминации формула. Оценка результатов линейной регрессии

Рассмотрим вначале коэффициент детерминации для простой линейной регрессии, называемый также коэффициентом парной детерминации.

На основе соображений, изложенных в разделе 3.1, теперь относительно легко найти меру точности оценки регрессии. Мы показали, что общую дисперсию можно разложить на две составляющие - на «необъясненную» дисперсию и дисперсию обусловленную регрессией. Чем больше по сравнению с тем больше общая дисперсия формируется за счет влияния объясняющей переменной х и, следовательно, связь между двумя переменными у их более интенсивная. Очевидно, удобно в качестве показателя интенсивности связи, или оценки доли влияния переменной х на использовать отношение

Это отношение указывает, какая часть общего (полного) рассеяния значений у обусловлена изменчивостью переменной х. Чем большую долю в общей дисперсии составляет тем лучше выбранная функция регрессии соответствует эмпирическим данным. Чем меньше эмпирические значения зависимой переменной отклоняются от прямой регрессии, тем лучше определена функция регрессии. Отсюда происходит и название отношения (3.6) - коэффициент детерминации Индекс при коэффициенте указывает на переменные, связь между которыми изучается. При этом вначале в индексе стоит обозначение зависимой переменной, а затем объясняющей.

Из определения коэффициента детерминации как относительной доли очевидно, что он всегда заключен в пределах от 0 до 1:

Если то все эмпирические значения (все точки поля корреляции) лежат на регрессионной прямой. Это означает, что для В этом случае говорят о строгом линейном соотношении (линейной функции) между переменными у их. Если дисперсия, обусловленная регрессией, равна нулю, а

«необъясненная» дисперсия равна общей дисперсии. В этом случае Линия регрессии тогда параллельна оси абсцисс. Ни о какой численной линейной зависимости переменной у от в статистическом ее понимании не может быть и речи. Коэффициент регрессии при этом незначимо отличается от нуля.

Итак, чем больше приближается к единице, тем лучше определена регрессия.

Коэффициент детерминации есть величина безразмерная и поэтому он не зависит от изменения единиц измерения переменных у и х (в отличие от параметров регрессии). Коэффициент не реагирует на преобразование переменных.

Приведем некоторые модификации формулы (3.6), которые, с одной стороны, будут способствовать пониманию сущности коэффициента детерминации, а с другой стороны, окажутся полезными для практических вычислений. Подставляя выражение для в (3.6) и принимая во внимание (1.8) и (3.1), получим:

Эта формула еще раз подтверждает, что «объясненная» дисперсия, стоящая в числителе (3.6), пропорциональна дисперсии переменной х, так как является оценкой параметра регрессии.

Подставив вместо его выражение (2.26) и учитывая определения дисперсий а также средних х и у, получим формулу коэффициента детерминации, удобную для вычисления:

Из (3.9) следует, что всегда С помощью (3.9) можно относительно легко определить коэффициент детерминации. В этой формуле содержатся только те величины, которые используются для вычисления оценок параметров регрессии и, следовательно, имеются в рабочей таблице. Формула (3.9) обладает тем преимуществом, что вычисление коэффициента детерминации по ней производится непосредственно по эмпирическим данным. Не нужно заранее находить оценки параметров и значения регрессии. Это обстоятельство играет немаловажную роль для последующих исследований, так как перед проведением регрессионного анализа мы можем проверить, в какой степени определена исследуемая регрессия включенными в нее объясняющими

переменными. Если коэффициент детерминации слишком мал, то нужно искать другие факторы-переменные, причинно обусловливающие зависимую переменную. Следует отметить, что коэффициент детерминации удовлетворительно отвечает своему назначению при достаточно большом числе наблюдений. Но в любом случае необходимо проверить значимость коэффициента детерминации. Эта проблема будет обсуждаться в разделе 8.6.

Вернемся к рассмотрению «необъясненной» дисперсии, возникающей за счет изменчивости прочих факторов-переменных, не зависящих от х, а также за счет случайностей. Чем больше ее доля в общей дисперсии, тем меньше, неопределеннее проявляется соотношение между у и х, тем больше затушевывается связь между ними. Исходя из этих соображений мы можем использовать «необъясненную» дисперсию для характеристики неопределенности или неточности регрессии. Следующее соотношение служит мерой неопределенности регрессии:

Легко убедиться в том, что

Отсюда очевидно, что не нужно отдельно вычислять меру неопределенности, а ее оценку легко получить из (3.11).

Теперь вернемся к нашим примерам и определим коэффициенты детерминации для полученных уравнений регрессий.

Вычислим коэффициент детерминации по данным примера из раздела 2.4 (зависимость производительности труда от уровня механизации работ). Используем для этого формулу (3.9), а промежуточные результаты вычислений заимствуем из табл. 3:

Отсюда заключаем, что в случае простой регрессии 93,8% общей дисперсии производительности труда на рассматриваемых предприятиях обусловлено вариацией показателя механизации работ. Таким образом, изменчивость переменной х почти полностью объясняет вариацию переменной у.

Для этого примера коэффициент неопределенности т. е. только 6,2% общей дисперсии нельзя объяснить зависимостью производительности труда от уровня механизации работ.

Вычислим коэффициент детерминации по данным примера из раздела 2.5 (зависимость объема производства от основных фондов). Необходимые

промежуточные результаты вычислений приведены в разделе 2.5 при определении оценок коэффициентов регрессии:

Таким образом, 91,1% общей дисперсии объема производства исследуемых предприятий обусловлено изменчивостью значений основных фондов на этих предприятиях. Данная регрессия почти полностью исчерпывается включенной в нее объясняющей переменной. Коэффициент неопределенности составляет 0,089, или 8,9%.

Следует отметить, что приведенные в данном разделе формулы предназначены для вычисления по результатам выборки большого объема коэффициента детерминации в случае простой регрессии. Но чаще всего приходится довольствоваться выборкой небольшого объема . В этом случае вычисляют исправленный коэффициент детерминации учитывая соответствующее число степеней свободы. Формула исправленного коэффициента детерминации для общего случая объясняющих переменных будет приведена в следующем разделе. Из нее легко получить формулу исправленного коэффициента детерминации в случае простой регрессии

Модель линейной регрессии

Где I - единичная квадратная матрица размера n x n.

Итак, у нас есть данные, состоящие из k наблюдений величин Y и Xi и мы хотим оценить коэффициенты. Стандартным методом для нахождения оценок коэффициентов является метод наименьших квадратов . И аналитическое решение, которое можно получить, применив этот метод, выглядит так:

где b с крышкой - оценка вектора коэффициентов, y - вектор значений зависимой величины, а X - матрица размера k x n+1 (n - количество предикторов, k - количество наблюдений), у которой первый столбец состоит из единиц, второй - значения первого предиктора, третий - второго и так далее, а строки соответствуют имеющимся наблюдениям.

Функция summary.lm() и оценка получившихся результатов

Рассмотрим вывод функции summary.lm().
Сначала идет строка, которая напоминает, как строилась модель.
Затем идет информация о распределении остатков: минимум, первая квартиль, медиана, третья квартиль, максимум. В этом месте было бы полезно не только посмотреть на некоторые квантили остатков, но и проверить их на нормальность, например тестом Шапиро-Уилка.
Далее - самое интересное - информация о коэффициентах. Здесь потребуется немного теории.
Сначала выпишем следующий результат:

при этом сигма в квадрате с крышкой является несмещенной оценкой для реальной сигмы в квадрате. Здесь b - реальный вектор коэффициентов, а эпсилон с крышкой - вектор остатков, если в качестве коэффициентов взять оценки, полученные методом наименьших квадратов. То есть при предположении, что ошибки распределены нормально, вектор коэффициентов тоже будет распределен нормально вокруг реального значения, а его дисперсию можно несмещенно оценить. Это значит, что можно проверять гипотезу на равенство коэффициентов нулю, а следовательно проверять значимость предикторов, то есть действительно ли величина Xi сильно влияет на качество построенной модели.
Для проверки этой гипотезы нам понадобится следующая статистика, имеющая распределение Стьюдента в том случае, если реальное значение коэффициента bi равно 0:

где
- стандартная ошибка оценки коэффициента, а t(k-n-1) - распределение Стьюдента с k-n-1 степенями свободы.

Теперь все готово для продолжения разбора вывода функции summary.lm().
Итак, далее идут оценки коэффициентов, полученные методом наименьших квадратов, их стандартные ошибки, значения t-статистики и p-значения для нее. Обычно p-значение сравнивается с каким-нибудь достаточно малым заранее выбранным порогом, например 0.05 или 0.01. И если значение p-статистики оказывается меньше порога, то гипотеза отвергается, если же больше, ничего конкретного, к сожалению, сказать нельзя. Напомню, что в данном случае, так как распределение Стьюдента симметричное относительно 0, то p-значение будет равно 1-F(|t|)+F(-|t|), где F - функция распределения Стьюдента с k-n-1 степенями свободы. Также, R любезно обозначает звездочками значимые коэффициенты, для которых p-значение достаточно мало. То есть, те коэффициенты, которые с очень малой вероятностью равны 0. В строке Signif. codes как раз содержится расшифровка звездочек: если их три, то p-значение от 0 до 0.001, если две, то оно от 0.001 до 0.01 и так далее. Если никаких значков нет, то р-значение больше 0.1.

В нашем примере можно с большой уверенностью сказать, что предикторы Elevation и Adjacent действительно с большой вероятностью влияют на величину Species, а вот про остальные предикторы ничего определенного сказать нельзя. Обычно, в таких случаях предикторы убирают по одному и смотрят, насколько изменяются другие показатели модели, например BIC или Adjusted R-squared, который будет разобран далее.

Значение Residual standart error соответствует просто оценке сигмы с крышкой, а степени свободы вычисляются как k-n-1.

А теперь самая важные статистики, на которые в первую очередь стоит смотреть: R-squared и Adjusted R-squared:

где Yi - реальные значения Y в каждом наблюдении, Yi с крышкой - значения, предсказанные моделью, Y с чертой - среднее по всем реальным значениям Yi.

Начнем со статистики R-квадрат или, как ее иногда называют, коэффициента детерминации. Она показывает, насколько условная дисперсия модели отличается от дисперсии реальных значений Y. Если этот коэффициент близок к 1, то условная дисперсия модели достаточно мала и весьма вероятно, что модель неплохо описывает данные. Если же коэффициент R-квадрат сильно меньше, например, меньше 0.5, то, с большой долей уверенности модель не отражает реальное положение вещей.

Однако, у статистики R-квадрат есть один серьезный недостаток: при увеличении числа предикторов эта статистика может только возрастать. Поэтому, может показаться, что модель с большим количеством предикторов лучше, чем модель с меньшим, даже если все новые предикторы никак не влияют на зависимую переменную. Тут можно вспомнить про принцип бритвы Оккама . Следуя ему, по возможности, стоит избавляться от лишних предикторов в модели, поскольку она становится более простой и понятной. Для этих целей была придумана статистика скорректированный R-квадрат. Она представляет собой обычный R-квадрат, но со штрафом за большое количество предикторов. Основная идея: если новые независимые переменные дают большой вклад в качество модели, значение этой статистики растет, если нет - то наоборот уменьшается.

Для примера рассмотрим ту же модель, что и раньше, но теперь вместо пяти предикторов оставим два:
> lm2<-lm(Species~Elevation+Adjacent, data=gala) > summary(lm2) Call: lm(formula = Species ~ Elevation + Adjacent, data = gala) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -103.41 -34.33 -11.43 22.57 203.65 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 1.43287 15.02469 0.095 0.924727 Elevation 0.27657 0.03176 8.707 2.53e-09 *** Adjacent -0.06889 0.01549 -4.447 0.000134 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 60.86 on 27 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.7376, Adjusted R-squared: 0.7181 F-statistic: 37.94 on 2 and 27 DF, p-value: 1.434e-08
Как можно увидеть, значение статистики R-квадрат снизилось, однако значение скорректированного R-квадрат даже немного возросло.

Теперь проверим гипотезу о равенстве нулю всех коэффициентов при предикторах. То есть, гипотезу о том, зависит ли вообще величина Y от величин Xi линейно. Для этого можно использовать следующую статистику, которая, если гипотеза о равенстве нулю всех коэффициентов верна, имеет

Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации ( - R-квадрат ) - это доля дисперсии зависимой переменной, объясняемая рассматриваемой моделью зависимости, то есть объясняющими переменными. Более точно - это единица минус доля необъяснённой дисперсии (дисперсии случайной ошибки модели, или условной по факторам дисперсии зависимой переменной) в дисперсии зависимой переменной. Его рассматривают как универсальную меру связи одной случайной величины от множества других. В частном случае линейной зависимости является квадратом так называемого множественного коэффициента корреляции между зависимой переменной и объясняющими переменными. В частности, для модели парной линейной регрессии коэффициент детерминации равен квадрату обычного коэффициента корреляции между y и x .

Определение и формула

Истинный коэффициент детерминации модели зависимости случайной величины y от факторов x определяется следующим образом:

где - условная (по факторам x) дисперсия зависимой переменной (дисперсия случайной ошибки модели).

В данном определении используются истинные параметры, характеризующие распределение случайных величин. Если использовать выборочную оценку значений соответствующих дисперсий, то получим формулу для выборочного коэффициента детерминации (который обычно и подразумевается под коэффициентом детерминации):

где -сумма квадратов остатков регрессии, - фактические и расчетные значения объясняемой переменной.

Общая сумма квадратов.

В случае линейной регрессии с константой , где - объяснённая сумма квадратов, поэтому получаем более простое определение в этом случае - коэффициент детерминации - это доля объяснённой суммы квадратов в общей :

Необходимо подчеркнуть, что эта формула справедлива только для модели с константой, в общем случае необходимо использовать предыдущую формулу.

Интерпретация

1. Коэффициент детерминации для модели с константой принимает значения от 0 до 1. Чем ближе значение коэффициента к 1, тем сильнее зависимость. При оценке регрессионных моделей это интерпретируется как соответствие модели данным. Для приемлемых моделей предполагается, что коэффициент детерминации должен быть хотя бы не меньше 50% (в этом случае коэффициент множественной корреляции превышает по модулю 70%). Модели с коэффициентом детерминации выше 80% можно признать достаточно хорошими (коэффициент корреляции превышает 90%). Значение коэффициента детерминации 1 означает функциональную зависимость между переменными.

2. При отсутствии статистической связи между объясняемой переменной и факторами, статистика для линейной регрессии имеет асимптотическое распределение , где - количество факторов модели (см. тест множителей Лагранжа). В случае линейной регрессии с нормально распределёнными случайными ошибками статистика имеет точное (для выборок любого объёма) распределение Фишера (см. F-тест). Информация о распределении этих величин позволяет проверить статистическую значимость регрессионной модели исходя из значения коэффициента детерминации. Фактически в этих тестах проверяется гипотеза о равенстве истинного коэффициента детерминации нулю.

Недостаток и альтернативные показатели

Основная проблема применения (выборочного) заключается в том, что его значение увеличивается (не уменьшается) от добавления в модель новых переменных, даже если эти переменные никакого отношения к объясняемой переменной не имеют! Поэтому сравнение моделей с разным количеством факторов с помощью коэффициента детерминации, вообще говоря, некорректно. Для этих целей можно использовать альтернативные показатели.

Скорректированный (adjusted)

Для того, чтобы была возможность сравнивать модели с разным числом факторов так, чтобы число регрессоров (факторов) не влияло на статистику обычно используется скорректированный коэффициент детерминации , в котором используются несмещённые оценки дисперсий:

который даёт штраф за дополнительно включённые факторы, где n - количество наблюдений, а k - количество параметров.

Данный показатель всегда меньше единицы, но теоретически может быть и меньше нуля (только при очень маленьком значении обычного коэффициента детерминации и большом количестве факторов). Поэтому теряется интерпретация показателя как "доли". Тем не менее, применение показателя в сравнении вполне обоснованно.

Для моделей с одинаковой зависимой переменной и одинаковым объемом выборки сравнение моделей с помощью скорректированного коэффициента детерминации эквивалентно их сравнению с помощью остаточной дисперсии или стандартной ошибки модели . Разница только в том, что последние критерии чем меньше, тем лучше.

Информационные критерии

AIC - информационный критерий Акаике - применяется исключительно для сравнения моделей. Чем меньше значение тем лучше. Часто используется для сравнения моделей временных рядов с разным количеством лагов.
, где k - количество параметров модели.
BIC или SC - байесовский информационный критерий Шварца - используется и интерпретируется аналогично AIC.
. Даёт больший штраф за включение лишних лагов в модель, чем AIC.

-обобщённый (extended)

В случае отсутствия в линейной множественной МНК регрессии константы свойства коэффициента детерминации могут нарушаться для конкретной реализации . Поэтому модели регрессии со свободным членом и без него нельзя сравнивать по критерию . Эта проблема решается с помощью построения обобщённого коэффициента детерминации , который совпадает с исходным для случая МНК регрессии со свободным членом, и для которого выполняются четыре свойства перечисленные выше. Суть этого метода заключается рассмотрении проекции единичного вектора на плоскость объясняющих переменных.

Для случая регрессии без свободного члена:
,
где X - матрица nxk значений факторов, - проектор на плоскость X, , где - единичный вектор nx1.

с условием небольшой модификации , также подходит для сравнения между собой регрессий построенных с помощью: МНК, обобщённого метода наименьших квадратов (ОМНК), условного метода наименьших квадратов (УМНК), обобщённо-условного метода наименьших квадратов (ОУМНК).

Замечание

Высокие значения коэффициента детерминации, вообще говоря, не свидетельствуют о наличии причинно-следственной зависимости между переменными (также как и в случае обычного коэффициента корреляции). Например, если объясняемая переменная и факторы, на самом деле не связанные с объясняемой переменой, имеют возрастающую динамику, то коэффициент детерминации будет достаточно высок. Поэтому логическая и смысловая адекватность модели имеют первостепенную важность. Кроме того, необходимо использовать критерии для всестороннего анализа качества модели.

См. также

Примечания

Ссылки

• Прикладная эконометрика (журнал)

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Коэффициент де Ритиса
• Коэффициент естественной освещённости

Смотреть что такое "Коэффициент детерминации" в других словарях:

КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ - оценка качества (объясняющей способности) уравнения регрессии, доля дисперсии объясненной зависимой переменной у: R2= 1 Sum(yi yzi)2 / Sum(yi y)2 , где yi наблюдаемое значение зависимой переменной y, yzi значение зависимой переменной,… … Социология: Энциклопедия

Коэффициент детерминации - квадрат коэффициента линейной корреляции Пирсона, интерпретируется как доля дисперсии зависимой переменной, объясненной посредством независимой переменной … Социологический словарь Socium

Коэффициент детерминации - Мера того, насколько хорошо соотносятся зависимые и независимые переменные в регрессивном анализе. Например, процент от изменения доходности актива, объясняемый доходностью рыночного портфеля … Инвестиционный словарь

Коэффициент детерминации - (COEFFICIENT OF DETERMINATION) определяется при построении линейной регрессионной зависимости. Равен доле дисперсии зависимой переменной, связанной с вариаций независимой переменной … Финансовый глоссарий

Коэффициент корреляции - (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… … Энциклопедия инвестора

Отклонений зависимой переменной от её среднего значения. Зависимая переменная объясняется (прогнозируется) с помощью функции от объясняющих переменных, в частном случае является квадратом коэффициента корреляции между зависимой переменной и её прогнозными значениями с помощью объясняющих переменных. Тогда можно сказать, что R 2 показывает, какая доля дисперсии результативного признака объясняется влиянием объясняющих переменных.

Формула для вычисления коэффициента детерминации:

где yi - наблюдаемое значение зависимой переменной, а fi - значение зависимой переменной предсказанное по уравнению регрессии -среднее арифметическое зависимой переменной.

[править]Проблемы и общие свойства R 2

[править]Интерпретация

Иногда показателям тесноты связи можно дать качественную оценку (шкала Чеддока):

Функциональная связь возникает при значении равном 1, а отсутствие связи - 0. При значениях показателей тесноты связи меньше 0,7 величина коэффициента детерминации всегда будет ниже 50 %. Это означает, что на долю вариации факторных признаков приходится меньшая часть по сравнению с остальными неучтенными в модели факторами, влияющими на изменение результативного показателя. Построенные при таких условиях регрессионные модели имеют низкое практическое значение.

[править]Общие свойства для МНК регрессии

Линейная множественная регрессия методом наименьших квадратов (МНК) - наиболее распространённый случай использования коэффициента детерминации R 2.

Линейная множественная МНК регрессия имеет следующие общие свойства :

1. Чем ближе значение к 1 тем ближе модель к эмпирическим наблюдениям.

2. С увеличением количества объясняющих переменных увеличивается R 2.

[править]Общие свойства для МНК регрессии со свободным членом (единичным фактором)

Для случая наличия в такой регрессии свободного члена коэффициент детерминации обладает следующими свойствами:

1. принимает значения из интервала (отрезка) .

2. в случае парной линейной регрессионной МНК модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции, то есть R 2 = r 2. А в случае множественной МНК регрессии R 2 = r (y ;f )2. Также это квадрат корреляции Пирсона между двумя переменными. Он выражает количество дисперсии, общей между двумя переменными.

3. R 2 можно разложить по вкладу каждого фактора в значение R 2, причём вклад каждого такого фактора будет положительным. Используется разложение: , где r 0j - выборочный коэффициент корреляции зависимой и соответствующей второму индексу объясняющей переменной.

4. R 2 связан с проверкой гипотезы о том, что истинные значения коэффициентов при объясняющих переменных равны нулю, в сравнении с альтернативной гипотезой, что не все истинные значения коэффициентов равны нулю. Тогда случайная величина имеет F-распределение с (k-1) и (n-k) степенями свободы.

[править]Мнимая регрессия

Значения R 2, , Быль" href="/text/category/bilmz/" rel="bookmark">быль проверено или сопоставлено с использованием R 2 и его модификаций.

[править]Решение проблем или модификации R 2

[править]R 2-скорректированный (adjusted)

Для того, чтобы исследователи не увеличивали R 2 с помощью добавления посторонних факторов, R 2 заменяется на скорректированный https://pandia.ru/text/79/148/images/image006_10.gif" alt="R_{extended}^2" width="72" height="23 src=">, который будет совпадать с исходным для случая МНК регрессии со свободным членом, и для которого будут продолжать выполняться четыре свойства перечисленые выше. Суть этого метода заключается рассмотрении проекции единичного вектора на плоскость объясняющих переменных .
Для случая регрессии без свободного члена:
,
где X - матрица nxk значений факторов, P (X ) = X * (X " * X ) − 1 * X " - проектор на плоскость X, https://pandia.ru/text/79/148/images/image006_10.gif" alt="R_{extended}^2" width="72" height="23">с условием небольшой модификации , также подходит для сравнения между собой регрессий построенных с помощью: МНК, обобщённого метода наименьших квадратов (ОМНК), условного метода наименьших квадратов (УМНК), обобщённо-условного метода наименьших квадратов (ОУМНК).

[править]R 2-истинный (несмещённый)

<---Будет добавлен---!>

[править]Прочие используемые критерии

AIC - информационный критерий Акаике - применяется исключительно для сравнения между моделями. Чем меньше значение тем лучше. Часто используется в виде сравнения моделей временных рядов с разным количеством лагов.
. Даёт меньший штраф за включение лишних лагов в модель, чем BIC.
BIC - информационный критерий Шварца - используется и интерпретируется аналогично AIC.
. Даёт больший штраф за включение лишних лагов в модель, чем BIC (см. формулу).

[править]См. также

§ Коэффициент корреляции

§ Корреляция

§ Мультиколлинеарность

§ Дисперсия случайной величины

§ Метод группового учета аргументов

§ Регрессионный анализ

[править]Примечания

1. 1 2 , Эконометрика. Начальный курс.. - 6,7,8-е изд., доп. и перераб.. - Москва: Дело, 2004. - Т. "". - 576 с. - ISBN -X

2. 1 2 Распространение коэффициента детерминации на общий случай линейной регрессии, оцениваемой с помощью различных версий метода наименьших квадратов (рус., англ.) //ЦЕМИ РАН Экономика и математические методы . - Москва: ЦЕМИ РАН, 2002. - В. 3. - Т. 38. - С. 107-120.

3. , Прикладная статистика. Основы эконометрики (в 2-х т.). - ??. - Москва: Юнити-Дана (проект TASIS), 2001. - Т. "1,2". - 1088 с. - ISBN -8

4. Выбор регрессии максимизирующий несмещённую оценку коэффициента детерминации (рус., англ.) // Прикладная эконометрика. - Москва: Маркет ДС, 2008. - В. 4. - Т. 12. - С. 71-83.

[править]Ссылки

§ Глоссарий статистических терминов

§ Прикладная эконометрика (журнал)