Изучение точного предмета: натуральные числа — это какие числа, примеры и свойства. Обозначение натуральных чисел — Гипермаркет знаний
Натуральные числа — одно из старейших математических понятий.
В далёком прошлом люди не знали чисел и, когда им требовалось пересчитать предметы (животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как мы сейчас.
Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».
Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают общим свойством — их количество равно пяти.
Запомните!
Натуральные числа — это числа, начиная с 1 , получаемые при счете предметов.
1, 2, 3, 4, 5…
Наименьшее натуральное число — 1 .
Наибольшего натурального числа не существует.
При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не считается натуральным числом.
Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом двумя палочками — число 2 , тремя — число 3 .
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500 лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют арабскими цифрами .
Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . С помощью этих цифр можно записать любое натуральное число.
Запомните!
Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1 .
Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.
Систему счёта (счисления), который мы пользуемся, называют десятичной позиционной .
Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры зависит от её места в записи числа, то есть от разряда, в котором она записана.
Важно!
Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.
- 1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
- 1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
- 1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)
Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества) во всей Вселенной.
Это число получило специальное название — гугол . Гугол — число, у которого 100 нулей.
Натуральные числа
Натуральные числа – это те числа, которые применяются для подсчета различных предметов или для того, чтобы указать порядковый номер какого-либо предмета среди себе подобных или однородных.
Записывать натуральные числа можно с помощью первых десяти цифр:
Для записи простых натуральных чисел принято использовать позиционную десятичную систему исчисления, где значение любой цифры определяют ее местом в записи.
Натуральные числа – это простейшие числа, часто используемые нами в повседневной жизни. С помощью этих чисел мы ведем подсчеты, считаем предметы, определяем их количество, порядок и номер.
С натуральными числами мы начинаем знакомиться с самого раннего детства, поэтому они для каждого из нас являются привычными и естественными.
Общее представление о натуральных числах
Натуральные числа предназначены для несения информации о количестве предметов, их порядковом номере и множестве предметов.
Человек использует натуральные числа, так как они ему доступны как на уровне восприятия, так и на уровне воспроизведения. При озвучивании любого натурального числа, мы с вами легко его улавливаем на слух, а изобразив натуральное число – мы его видим.
Все натуральные числа располагаются в порядке возрастания и образуют числовой ряд, начинающийся с наименьшего натурального числа, которым является единица.
Если мы определились с наименьшим натуральным числом, то с наибольшим будет посложнее, так как такого числа не существует потому, что ряд натуральных чисел является бесконечным.
При прибавлении к натуральному числу единицы, в итоге мы получим число, которое идет за данным числом.
Такая цифра, как 0 не есть натуральным числом, а только служит для обозначения числа «ноль» и значит «ни одного». 0 означает отсутствие в десятичной записи чисел единиц данного ряда.
Все натуральные числа обозначаются заглавной латинской буквой N.
Историческая справка обозначения натуральных чисел
В древние времена человек еще не знал, что такое число и как можно посчитать количество предметов. Но уже тогда возникла необходимость в счете, и человек придумал, как можно сосчитать пойманную рыбу, собранные ягоды и т.д.
Немного позже, древний человек пришел к тому, что нужное ему количество проще записать. Для этих целей первобытные люди стали использовать камешки, а потом палочки, которые сбереглись в римских цифрах.
Следующим моментом развития системы исчисления стало использование в обозначениях некоторых чисел букв алфавита.
К первым системам исчисления относится десятичная индийская система и шестидесятеричная вавилонская.
Современная система исчисления, хоть и называется арабской, но, по сути, представляет один из вариантов индийской. Правда в ее системе исчисления отсутствует цифра ноль, но арабы ее добавили, и система приобрела нынешний вид.
Десятичная система исчисления
С натуральными числами мы уже познакомись и научились записывать их с помощью десяти цифр. Также вам уже известно, что запись чисел с использованием знаков, называется системой исчисления.
Значение цифры в записи числа зависит от ее позиции и называется позиционным. То есть, при методах записи натуральных чисел, мы используем позиционную систему исчисления.
Данная система основывается на разрядности и десятичности. В десятичной системе исчисления основой для ее построения будут цифры от 0 до 9.
Особое место в такой системе отводится числу 10, так как, в основном счет ведется десятками.
Таблица классов и разрядов:
Так, например, 10 единиц объединены в десятки, далее в сотни, тысячи и тому подобное. Поэтому число 10 является основанием системы исчисления и носит название десятичной системы исчисления.
Натуральные числа – натуральные числа это числа которые используются для счета предметов. Множество всех натуральных чисел иногда называют натуральным рядом: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, и т.д.
Для записи натуральных чисел используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью них, можно записать любое натуральное число. Такая запись чисел называется десятичной.
Натуральный ряд чисел можно продолжать бесконечно. Нет такого числа, которые было бы последнее, потому что к последнему числу всегда можно прибавить единицу и получится число, уже большее искомого. В таком случае говорят, что в натуральном ряду нет наибольшего числа.
Разряды натуральных чисел
В записи любого числа с помощью цифр, место на котором цифра стоит в числе имеет решающее значение. Например, цифра 3 означает: 3 единицы, если она будет стоять в числе на последнем месте; 3 десятка, если она будет стоять в числе на предпоследнем месте; 4 сотни, если она будет стоять в числе на третьем месте с конца.
Последняя цифра означает разряд единиц, предпоследняя – разряд десятков, 3 с конца –разряд сотен.
Однозначные и многозначные цифры
Если в каком-либо разряде числа стоит цифра 0, это означает, что в данном разряде нет единиц.
С помощью цифры 0 обозначается число ноль. Ноль это «ни одного».
Нуль не относится к натуральным числам. Хотя некоторые математики считаю иначе.
Если число состоит из одной цифры его называют однозначным, из двух – двузначным, из трех – трехзначными, и т.д.
Числа которые не являются однозначными еще называют многозначными.
Классы из цифр для чтения больших натуральных чисел
Для чтения больших натуральных чисел, число разбивают на группы из трех цифр, начиная с правого края. Эти группы называются классы.
Первые три цифры с правого края составляют класс единиц, следующие три – класс тысяч, следующие три – класс миллионов.
Миллион – тысяча тысяч, для записи используют сокращение млн. 1 млн. = 1 000 000.
Миллиард = это тысяча миллионов. Для записи используют сокращение млрд. 1 млрд. = 1 000 000 000.
Пример записи и чтения
Это число имеет в классе миллиардов 15 единиц, 389 единиц в классе миллионов, нуль единиц в классе тысяч и 286 единиц в ласе единиц.
Данное число читается так: 15 миллиардов 389 миллионов 286.
Читают числа слева направо. По очереди называют число единиц каждого класса и потом добавляют название класса.
С чего начинается изучение математики? Да, правильно, с изучения натуральных чисел и действий с ними. Натуральные числа (от лат. naturalis — естественный; естественные числа) — числа , возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом .
Существуют два подхода к определению натуральных чисел:
- подсчете (нумерации) предметов (первый , второй , третий , четвёртый , пятый"…);
- натуральные числа — числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3 предмета, 4 предмета, 5 предметов ).
В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки , где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств .
Отрицательные и нецелые ( рациональные , вещественные ,…) числа к натуральным не относят.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N (от лат. naturalis — естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа n найдётся натуральное число, большее чем n.
Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда , включающего нуль. Расширенный ряд обозначается N 0 или Z 0 .
К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:
- сложение: слагаемое + слагаемое = сумма;
- умножение: множитель × множитель = произведение;
- возведение в степень: a b , где a — основание степени, b — показатель степени. Если a и b — натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.
Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):
- вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом)
- деление с остатком:
делимое / делитель = (частное, остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a=p*r+b, причём 0<=r
Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности,
Натуральные числа — одно из старейших математических понятий.
В далёком прошлом люди не знали чисел и, когда им требовалось пересчитать предметы (животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как мы сейчас.
Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».
Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают общим свойством — их количество равно пяти.
Запомните!
Натуральные числа — это числа, начиная с 1 , получаемые при счете предметов.
1, 2, 3, 4, 5…
Наименьшее натуральное число — 1 .
Наибольшего натурального числа не существует.
При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не считается натуральным числом.
Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом двумя палочками — число 2 , тремя — число 3 .
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500 лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют арабскими цифрами .
Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . С помощью этих цифр можно записать любое натуральное число.
Запомните!
Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1 .
Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.
Систему счёта (счисления), который мы пользуемся, называют десятичной позиционной .
Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры зависит от её места в записи числа, то есть от разряда, в котором она записана.
Важно!
Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.
- 1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
- 1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
- 1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)
Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества) во всей Вселенной.
Это число получило специальное название — гугол . Гугол — число, у которого 100 нулей.
