Натуральные числа - основы. Изучение точного предмета: натуральные числа — это какие числа, примеры и свойства

Числа - это абстрактное понятие. Они являются количественной характеристикой объектов и бывают действительные, рациональные, отрицательные, целые и дробные, а также натуральные.

Натуральный ряд обычно используют при счёте, в котором естественным образом возникают обозначения количества. Знакомство со счётом начинается в самом раннем детстве. Какой малыш избежал смешных считалок, в которых как раз использовались элементы натурального счёта? "Раз, два, три, четыре, пять... Вышел зайчик погулять!" или "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, царь решил меня повесить..."

Для любого натурального числа можно найти другое, большее его. Это множество принято обозначать буквой N и следует считать бесконечным в сторону возрастания. А вот начало у этого множество есть - это единица. Хотя существуют французские натуральные числа, в множество которых входит также и ноль. Но основными отличительными чертами и того, и другого множества является тот факт, что в них не входят ни дробные, ни отрицательные числа.

Потребность в пересчёте самых разных предметов возникла ещё в доисторические времена. Тогда предположительно сформировалось понятие «натуральные числа». Его формирование происходило на протяжении всего процесса изменения мировоззрения человека, развития науки и техники.

Однако не могли ещё мыслить абстрактно. Им сложно было уяснить, в чём заключается общность понятий «три охотника» или «три дерева». Поэтому при указании количества людей использовалось одно определение, а при указании того же количества предметов другого рода - совершенно другое определение.

Причём был чрезвычайно коротким. В нём присутствовали лишь числа 1 и 2, а заканчивался счёт понятием «много», «стадо», «толпа», «куча».

Позднее сформировался более прогрессивный счёт, уже более широкий. Интересен тот факт, что существовало всего два числа - 1 и 2, а следующие числа получались уже добавлением.

Примером этому послужили дошедшие до нас сведения о числовом ряде австралийского племени У них 1 обозначало слово «Энза», а 2 - слово «петчевал». Число 3 поэтому звучало как «петчевал-Энза», а 4 - уже как «петчевал-петчевал».

Большинство народов эталоном счёта признавали пальцы. Далее развитие абстрактного понятия «натуральные числа» пошло по пути использования зарубок на палочке. И тут встала необходимость обозначения десятка другим знаком. Древние люди наши выход - стали использовать другую палочку, на которой делались зарубки, обозначающие десятки.

Возможности в воспроизведении чисел чрезвычайно расширились с появлением письменности. Поначалу числа изображались чёрточками на глиняных табличках или папирусе, но постепенно стали использоваться другие значки для записи Так появились римские цифры.

Значительно позднее появились которые открыли возможность записи чисел сравнительно небольшим набором символов. Сегодня не составляет особого труда записать столь громадные числа, как расстояние между планетами и количество звёзд. Стоит только научиться пользоваться степенями.

Евклид в 3 веке до нашей эры в книге «Начала» устанавливает бесконечность числового множества А Архимед в «Псамите» раскрывает принципы для построения названий сколь угодно крупных чисел. Почти до середины 19 века перед людьми не вставала необходимость чёткой формулировки понятия «натуральные числа». Определение потребовалось с появлением аксиоматического математического метода.

И в 70-х годах 19 века сформулировал чёткое определение натуральных чисел, основанное на понятии множества. И вот сегодня мы уже знаем, что натуральные числа - это все целые числа, начиная от 1 и до бесконечности. Маленькие дети, делая свой первый шаг в знакомстве с царицей всех наук - математикой - начинают изучать именно эти числа.

В математике существует несколько различных множеств чисел: действительные, комплексные, целые, рациональные, иррациональные, … В нашей повседневной жизни мы чаще всего используем натуральные числа, так как мы сталкиваемся с ними при счете и при поиске, обозначении количества предметов.

Вконтакте

Какие числа называются натуральными

Из десяти цифр можно записать абсолютно любую существующую сумму классов и разрядов. Натуральными значениями считаются те, которые используются :

При счете каких-либо предметов (первый, второй, третий, … пятый, … десятый).
При обозначении количества предметов (один, два, три…)

N значения всегда целые и положительные. Наибольшего N не существует, так как множество целых значений не ограничено.

Внимание! Натуральные числа получаются при счете предметов или при обозначении их количества.

Абсолютно любое число может быть разложено и представлено в виде разрядных слагаемых, например: 8.346.809=8 миллионов+346 тысяч+809 единиц.

Множество N

Множество N находится в множестве действительных, целых и положительных . На схеме множеств они бы находились друг в друге, так как множество натуральных является их частью.

Множество натуральных чисел обозначается буквой N. Это множество имеет начало, но не имеет конца.

Еще существует расширенное множество N, где включается нуль.

Наименьшее натуральное число

В большинстве математических школ наименьшим значением N считается единица , так как отсутствие предметов считается пустотой.

Но в иностранных математических школах, например во французской, считается натуральным. Наличие в ряде нуля облегчает доказательство некоторых теорем .

Ряд значений N, включающий в себя нуль, называется расширенным и обозначается символом N0 (нулевой индекс).

Ряд натуральных чисел

N ряд – это последовательность всех N совокупностей цифр. Эта последовательность не имеет конца.

Особенность натурального ряда заключается в том, что последующее число будет отличаться на единицу от предыдущего, то есть возрастать. Но значения не могут быть отрицательными .

Внимание! Для удобства счета существуют классы и разряды:

Единицы (1, 2, 3),
Десятки (10, 20, 30),
Сотни (100, 200, 300),
Тысячи (1000, 2000, 3000),
Десятки тысяч (30.000),
Сотни тысяч (800.000),
Миллионы (4000000) и т.д.

Все N

Все N находятся во множестве действительных, целых, неотрицательных значений. Они являются их составной частью .

Эти значения уходят в бесконечность, они могут принадлежать классам миллионов, миллиардов, квинтиллионов и т.д.

Например:

Пять яблок, три котенка,
Десять рублей, тридцать карандашей,
Сто килограммов, триста книг,
Миллион звезд, три миллиона человек и т.д.

Последовательность в N

В разных математических школах можно встретить два интервала, которым принадлежит последовательность N:

от нуля до плюс бесконечности, включая концы, и от единицы до плюс бесконечности, включая концы, то есть все положительные целые ответы .

N совокупности цифр могут быть как четными, так и не четными. Рассмотрим понятие нечетности.

Нечетные (любые нечетные оканчиваются на цифры 1, 3, 5, 7, 9.) при на два имеют остаток. Например, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Что значит четные N

Любые четные суммы классов оканчиваются на цифры: 0, 2, 4, 6, 8. При делении четных N на 2, остатка не будет, то есть в результате получается целый ответ. Например, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Важно! Числовой ряд из N не может состоять только из четных или нечетных значений, так как они должны чередоваться: за четным всегда идет нечетное, за ним снова четное и т.д.

Свойства N

Как и все другие множества, N обладают своими собственными, особыми свойствами. Рассмотрим свойства N ряда (не расширенного).

Значение, которое является самым маленьким и которое не следует ни за каким другим – это единица.
N представляют собой последовательность, то есть одно натуральное значение следует за другим (кроме единицы – оно первое).
Когда мы производим вычислительные операции над N суммами разрядов и классов (складываем, умножаем), то в ответе всегда получается натуральное значение.
При вычислениях можно использовать перестановку и сочетание.
Каждое последующее значение не может быть меньше предыдущего. Также в N ряде будет действовать такой закон: если число А меньше В, то в числовом ряде всегда найдется С, для которого справедливо равенство: А+С=В.
Если взять два натуральных выражения, например А и В, то для них будет справедливо одно из выражений: А=В, А больше В, А меньше В.
Если А меньше В, а В меньше С, то отсюда следует, что А меньше С .
Если А меньше В, то следует, что: если прибавить к ним одно и то же выражение (С), то А+С меньше В+С. Также справедливо, что если эти значения умножить на С, то АС меньше АВ.
Если В больше А, но меньше С, то справедливо: В-А меньше С-А.

Внимание! Все вышеперечисленные неравенства действительны и в обратном направлении.

Как называются компоненты умножения

Во многих простых и даже сложных задачах нахождение ответа зависит от умения школьников

Натуральные числа

Натуральные числа – это те числа, которые применяются для подсчета различных предметов или для того, чтобы указать порядковый номер какого-либо предмета среди себе подобных или однородных.

Записывать натуральные числа можно с помощью первых десяти цифр:

Для записи простых натуральных чисел принято использовать позиционную десятичную систему исчисления, где значение любой цифры определяют ее местом в записи.

Натуральные числа – это простейшие числа, часто используемые нами в повседневной жизни. С помощью этих чисел мы ведем подсчеты, считаем предметы, определяем их количество, порядок и номер.

С натуральными числами мы начинаем знакомиться с самого раннего детства, поэтому они для каждого из нас являются привычными и естественными.

Общее представление о натуральных числах

Натуральные числа предназначены для несения информации о количестве предметов, их порядковом номере и множестве предметов.

Человек использует натуральные числа, так как они ему доступны как на уровне восприятия, так и на уровне воспроизведения. При озвучивании любого натурального числа, мы с вами легко его улавливаем на слух, а изобразив натуральное число – мы его видим.

Все натуральные числа располагаются в порядке возрастания и образуют числовой ряд, начинающийся с наименьшего натурального числа, которым является единица.

Если мы определились с наименьшим натуральным числом, то с наибольшим будет посложнее, так как такого числа не существует потому, что ряд натуральных чисел является бесконечным.

При прибавлении к натуральному числу единицы, в итоге мы получим число, которое идет за данным числом.

Такая цифра, как 0 не есть натуральным числом, а только служит для обозначения числа «ноль» и значит «ни одного». 0 означает отсутствие в десятичной записи чисел единиц данного ряда.

Все натуральные числа обозначаются заглавной латинской буквой N.

Историческая справка обозначения натуральных чисел

В древние времена человек еще не знал, что такое число и как можно посчитать количество предметов. Но уже тогда возникла необходимость в счете, и человек придумал, как можно сосчитать пойманную рыбу, собранные ягоды и т.д.

Немного позже, древний человек пришел к тому, что нужное ему количество проще записать. Для этих целей первобытные люди стали использовать камешки, а потом палочки, которые сбереглись в римских цифрах.

Следующим моментом развития системы исчисления стало использование в обозначениях некоторых чисел букв алфавита.

К первым системам исчисления относится десятичная индийская система и шестидесятеричная вавилонская.

Современная система исчисления, хоть и называется арабской, но, по сути, представляет один из вариантов индийской. Правда в ее системе исчисления отсутствует цифра ноль, но арабы ее добавили, и система приобрела нынешний вид.

Десятичная система исчисления

С натуральными числами мы уже познакомись и научились записывать их с помощью десяти цифр. Также вам уже известно, что запись чисел с использованием знаков, называется системой исчисления.

Значение цифры в записи числа зависит от ее позиции и называется позиционным. То есть, при методах записи натуральных чисел, мы используем позиционную систему исчисления.

Данная система основывается на разрядности и десятичности. В десятичной системе исчисления основой для ее построения будут цифры от 0 до 9.

Особое место в такой системе отводится числу 10, так как, в основном счет ведется десятками.

Таблица классов и разрядов:

Так, например, 10 единиц объединены в десятки, далее в сотни, тысячи и тому подобное. Поэтому число 10 является основанием системы исчисления и носит название десятичной системы исчисления.

С чего начинается изучение математики? Да, правильно, с изучения натуральных чисел и действий с ними. Натуральные числа (от лат. naturalis — естественный; естественные числа) — числа , возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом .

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

подсчете (нумерации) предметов (первый , второй , третий , четвёртый , пятый"…);
натуральные числа — числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3 предмета, 4 предмета, 5 предметов ).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки , где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств .

Отрицательные и нецелые ( рациональные , вещественные ,…) числа к натуральным не относят.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N (от лат. naturalis — естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа n найдётся натуральное число, большее чем n.

Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда , включающего нуль. Расширенный ряд обозначается N 0 или Z 0 .

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

сложение: слагаемое + слагаемое = сумма;
умножение: множитель × множитель = произведение;
возведение в степень: a b , где a — основание степени, b — показатель степени. Если a и b — натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом)
деление с остатком: делимое / делитель = (частное, остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a=p*r+b, причём 0<=r

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности,