Непрерывная случайная величина задана функцией распределения примеры. Закон распределения дискретной случайной величины. Примеры решения задач
В теории вероятностей приходится иметь дело со случайными величинами, все значения которых нельзя перебрать. Например, нельзя взять и «перебрать» все значения случайной величины $X$ - время службы часов, поскольку время может измеряться в часах, минутах, секундах, миллисекундах, и т.д. Можно лишь указать некоторый интервал, в пределах которого находятся значения случайной величины.
Непрерывная случайная величина - это случайная величина, значения которой целиком заполняют некоторый интервал.
Функция распределения непрерывной случайной величины
Поскольку перебрать все значения непрерывной случайной величины не представляется возможным, то задать ее можно с помощью функции распределения.
Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$.
Свойства функции распределения:
1 . $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2 . Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.
3 . $F\left(x\right)$ - неубывающая.
4 . ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.
Пример 1
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(0,3;0,7\right)$ можем найти как разность значений функции распределения $F\left(x\right)$ на концах этого интервала, то есть:
$$P\left(0,3 < X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$
Плотность распределения вероятностей
Функция $f\left(x\right)={F}"(x)$ называется плотностью распределения вероятностей, то есть это производная первого порядка, взятая от самой функции распределения $F\left(x\right)$.
Свойства функции $f\left(x\right)$.
1 . $f\left(x\right)\ge 0$.
2 . $\int^x_{-\infty }{f\left(t\right)dt}=F\left(x\right)$.
3 . Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ - это $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.
4 . $\int^{+\infty }_{-\infty }{f\left(x\right)}=1$.
Пример 2
. Непрерывная случайная величина $X$ задана следующей функцией распределения $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0\\
x,\ 0 < x\le 1\\
1,\ x>1
\end{matrix}\right.$. Тогда функция плотности $f\left(x\right)={F}"(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\ x>1
\end{matrix}\right.$
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
Математическое ожидание непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле
$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)dx}.$$
Пример 3 . Найдем $M\left(X\right)$ для случайной величины $X$ из примера $2$.
$$M\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{xf\left(x\right)\ dx}=\int^1_0{x\ dx}={{x^2}\over {2}}\bigg|_0^1={{1}\over {2}}.$$
Дисперсия непрерывной случайной величины
Дисперсия непрерывной случайной величины $X$ вычисляется по формуле
$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left}^2.$$
Пример 4 . Найдем $D\left(X\right)$для случайной величины $X$ из примера $2$.
$$D\left(X\right)=\int^{+\infty }_{-\infty }{x^2f\left(x\right)\ dx}-{\left}^2=\int^1_0{x^2\ dx}-{\left({{1}\over {2}}\right)}^2={{x^3}\over {3}}\bigg|_0^1-{{1}\over {4}}={{1}\over {3}}-{{1}\over {4}}={{1}\over{12}}.$$
Математическое ожиданиеДисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .
Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .
Задана плотность распределения f(x):
Задана функция распределения F(x):
Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .
Случайную величину X называют непрерывной
, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения
непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.
Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.2. Условие нормировки:
Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле
Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:
Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть , если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, а вне его равна нулю, т.е.:
Рис. 4.
; ; .
Пример 1.27. Автобус некоторого маршрута движется равномерно с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что равномерно распределенная случайная величина Х – время ожидания автобуса составит менее 3 минут.
Решение: Случайная величина Х – равномерно распределена на интервале .
Плотность вероятности: .
Для того чтобы время ожидания не превысило 3 минут, пассажир должен появиться на остановке в интервале от 2 до 5 минут после ухода предыдущего автобуса, т.е. случайная величина Х должна попасть в интервал (2;5). Т.о. искомая вероятность:
Задания для самостоятельной работы:
1. а) найти математическое ожидание случайной величины Х распределенной равномерно в интервале (2;8);
б) найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2;8).
2. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждом минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 секунд.
1.4.2. Показательное (экспоненциальное) распределение
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:
где – параметр показательного распределения.
Таким образом
Рис. 5.
Числовые характеристики:
Пример 1.28. Случайная величина Х – время работы электролампочки - имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампочки будет не меньше 600 часов, если среднее время работы - 400 часов.
Решение: По условию задачи математическое ожидание случайной величины Х равно 400 часам, следовательно:
;
Искомая вероятность , где
Окончательно:
Задания для самостоятельной работы:
1. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр .
2. Случайная величина Х
Найти математическое ожидание и дисперсию величины Х .
3. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей:
Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины.
1.4.3. Нормальное распределение
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х , плотность которого имеет вид:
где а – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение Х .
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу :
, где
– функция Лапласа.
Распределение, у которого ; , т.е. с плотностью вероятности называется стандартным.
Рис. 6.
Вероятность того, что абсолютная величина отклонена меньше положительного числа :
.
В частности, при а= 0 справедливо равенство:
Пример 1.29. Случайная величина Х распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение . Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.
Решение: .
Задания для самостоятельной работы:
1. Написать плотность вероятности нормального распределения случайной величины Х , зная, что M(x)= 3, D(x)= 16.
2. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15;20).
3. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм и математическим ожиданием а= 0. Найти вероятность того, что из 3 независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.
4. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.