Простейшие геометрические фигуры: точка, прямая, отрезок, луч, ломаная линия

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между ними, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем в курсе используется геометрический язык , составленный из обозначений и символов, принятых в курсе математики (в частности, в новом курсе геометрии в средней школе).

Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними могут быть подразделены на две группы:

группа I - обозначения геометрических фигур и отношений между ними;

группа II обозначения логических операций, составляющие синтаксическую основу геометрического языка.

Ниже приводится полный список математических символов, используемых в данном курсе. Особое внимание уделяется символам, которые применяются для обозначения проекций геометрических фигур.

Группа I

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

А. Обозначение геометрических фигур

1. Геометрическая фигура обозначается - Ф.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

А, В, С, D, ... , L, М, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

а, b, с, d, ... , l, m, n, ...

Линии уровня обозначаются: h - горизонталь; f- фронталь.

Для прямых используются также следующие обозначения:

(АВ) - прямая, проходящая через точки А а В;

[АВ) - луч с началом в точке А;

[АВ] - отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать геометрические элементы, которыми она определяется, например:

α(а || b) - плоскость α определяется параллельными прямыми а и b;

β(d 1 d 2 gα) - поверхность β определяется направляющими d 1 и d 2 , образующей g и плоскостью параллелизма α.

5. Углы обозначаются:

∠ABC - угол с вершиной в точке В, а также ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Угловая: величина (градусная мера) обозначается знаком , который ставится над углом:

Величина угла АВС;

Величина угла φ.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри

7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя вертикальными отрезками - ||.

Например:

|АВ| - расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);

|Аа| - расстояние от точки А до линии a;

|Аα| - расстояшие от точки А до поверхности α;

|аb| - расстояние между линиями а и b;

|αβ| расстояние между поверхностями α и β.

8. Для плоскостей проекций приняты обозначения: π 1 и π 2 , где π 1 - горизонтальная плоскость проекций;

π 2 -фрюнтальная плоскость проекций.

При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние обозначают π 3 , π 4 и т. д.

9. Оси проекций обозначаются: х, у, z, где х - ось абсцисс; у - ось ординат; z - ось аппликат.

Постояшную прямую эпюра Монжа обозначают k.

10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены:

А", В", С", D", ... , L", М", N", горизонтальные проекции точек; А", В", С", D", ... , L", М", N", ... фронтальные проекции точек; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - горизонтальные проекции линий; а" ,b" , с" , d" , ... , l" , m" , n" , ... фронтальные проекции линий; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... горизонтальные проекции поверхностей; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... фронтальные проекции поверхностей.

11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавлением подстрочного индекса 0α , подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) α.

Так: h 0α - горизонтальный след плоскости (поверхности) α;

f 0α - фронтальный след плоскости (поверхности) α.

12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, указывающим принадлежность к линии.

Например: H a - горизонтальный след прямой (линии) а;

F a - фронтальный след прямой (линии) a.

13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами 1,2,3,..., n:

А 1 , А 2 , А 3 ,...,А n ;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;

Ф 1 , Ф 2 , Ф 3 ,...,Ф n и т. д.

Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той же буквой с подстрочным индексом 0:

A 0 , B 0 , С 0 , D 0 , ...

Аксонометрические проекции

14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса 0:

А 0 , В 0 , С 0 , D 0 , ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего индекса 1:

А 1 0 , В 1 0 , С 1 0 , D 1 0 , ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюстративного материала использованы несколько цветов, каждый из которых имеет определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета обозначены исходные данные; зеленый цвет использован для линий вспомогательных графических построений; красными линиями (точками) показаны результаты построений или те геометрические элементы, на которые следует обратить особое внимание.

Б. Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи
1	≡	Совпадают	(АВ)≡(CD) - прямая, проходящая через точки А и В, совпадает с прямой, проходящей через точки С и D
2	≅	Конгруентны	∠ABC≅∠MNK - угол АВС конгруентен углу MNK
3	∼	Подобны	ΔАВС∼ΔMNK - треугольники АВС и MNK подобны
4	\|\|	Параллельны	α\|\|β - плоскость α параллельна плоскости β
5	⊥	Перпендикулярны	а⊥b - прямые а и b перпендикулярны
6		Скрещиваются	с d - прямые с и d скрещиваются
7		Касательные	t l - прямая t является касательной к линии l. βα - плоскость β касательная к поверхности α
8	→	Отображаются	Ф 1 →Ф 2 - фигура Ф 1 отображается на фигуру Ф 2
9	S	Центр проецирования. Если центр проецирования несобственная точка, то его положение обозначается стрелкой, указывающей направление проецирования	-
10	s	Направление проецирования	-
11	P	Параллельное проецирование	р s α Параллельное проецирование - параллельное проецирование на плоскость α в направлении s

В. Обозначения теоретико-множественные

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи	Пример символической записи в геометрии
1	M,N	Множества	-	-
2	A,B,C,...	Элементы множества	-	-
3	{ ... }	Состоит из...	Ф{A, B, C,... }	Ф{A, B, C,... } - фигура Ф состоит из точек А, В,С, ...
4	∅	Пустое множество	L - ∅ - множество L пустое (не содержит элементов)	-
5	∈	Принадлежит, является элементом	2∈N (где N - множество натуральных чисел) - число 2 принадлежит множеству N	А ∈ а - точка А принадлежит прямой а (точка А лежит на прямой а)
6	⊂	Включает, cодержит	N⊂М - множество N является частью (подмножеством) множества М всех рациональных чисел	а⊂α - прямая а принадлежит плоскости α (понимается в смысле: множество точек прямой а является подмножеством точек плоскости α)
7	∪	Объединение	С = A U В - множество С есть объединение множеств A и В; {1, 2. 3, 4,5} = {1,2,3}∪{4,5}	ABCD = ∪ [ВС] ∪ - ломаная линия, ABCD есть объединение отрезков [АВ], [ВС],
8	∩	Пересечение множеств	М=К∩L - множество М есть пересечение множеств К и L (содержит в себе элементы, принадлежащие как множеству К, так и множеству L). М ∩ N = ∅- пересечение множеств М и N есть пустое множество (множества М и N не имеют общих элементов)	а = α ∩ β - прямая а есть пересечение плоскостей α и β а ∩ b = ∅ - прямые а и b не пересекаются (не имеют общих точек)

Группа II СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи
1	∧	Конъюнкция предложений; соответствует союзу "и". Предложение (р∧q) истинно тогда и только тогда,когда р и q оба истинны	α∩β = { К:K∈α∧K∈β} Пересечение поверхностей α и β есть множество точек (линия), состоящее из всех тех и только тех точек К, которые принадлежат как поверхности α, так и поверхности β
2	∨	Дизъюнкция предложений; соответствует союзу "или". Предложение (p∨q) истинно, когда истинно хотя бы одно из предложений р или q (т. е. или р, или q, или оба).	-
3	⇒	Импликация - логическое следствие. Предложение р⇒q означает: "если р, то и q"	(а\|\|с∧b\|\|с)⇒a\|\|b. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой
4	⇔	Предложение (р⇔q) понимается в смысле: "если р, то и q; если q, то и р"	А∈α⇔А∈l⊂α. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит некоторой линии, принадлежащей этой плоскости. Справедливо также и обратное утверждение: если точка принадлежит некоторой линии, принадлежащей плоскости, то она принадлежит и самой плоскости
5	∀	Квантор общности, читается: для всякого, для всех, для любого. Выражение ∀(x)P(x) означает: "для всякого x: имеет место свойство Р(х) "	∀(ΔАВС)( = 180°) Для всякого (для любого) треугольника сумма величин его углов при вершинах равна 180°
6	∃	Квантор существования, читается: существует. Выражение ∃(х)P(х) означает: "существует х, обладающее свойством Р(х)"	(∀α)(∃a).Для любой плоскости α существует прямая а, не принадлежащая плоскости α и параллельная плоскости α
7	∃1	Квантор единственности существования, читается: существует единственное (-я, -й)... Выражение ∃1(x)(Рх) означает: "существует единственное (только одно) х, обладающее свойством Рх"	(∀ А, В)(А≠B)(∃1а)(а∋А, В) Для любых двух различных точек А и В существует единственная прямая a, проходящая через эти точки.
8	(Px)	Отрицание высказывания P(x)	аb(∃α )(α⊃а, Ь).Если прямые а и b скрещиваются, то не существует плоскости а, которая содержит их
9	\	Отрицание знака	≠ -отрезок [АВ] не равен отрезку .а?b - линия а не параллельна линии b

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C

A B C

точка 1, точка 2, точка 3

1 2 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки "А" и предложить ребёнку провести линию через две точки "А". Но как понять через какие? A A A

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c

a b c

Линия может быть

замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
разомкнутой, если её начало и конец не соединены

замкнутые линии

разомкнутые линии

Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.

самопересекающейся
без самопересечений

самопересекающиеся линии

линии без самопересечений

прямой
ломанной
кривой

прямые линии

ломанные линии

кривые линии

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a

прямая линия AB

B A

Прямые могут быть

пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
- перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.

параллельные линии

пересекающиеся линии

перпендикулярные линии

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a

луч AB

B A

Лучи совпадают, если

расположены на одной и той же прямой,
начинаются в одной точке,
направлены в одну сторону

лучи AB и AC совпадают

лучи CB и CA совпадают

C B A

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину. Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки

B A

прямая линия AB

B A

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ B A ✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB

B A

Задача: где прямая , луч , отрезок , кривая ?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE

вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E

звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE

звено AB и звено BC являются смежными

звено BC и звено CD являются смежными

звено CD и звено DE являются смежными

A B C D E 64 62 127 52

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее , а у какой больше вершин ? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: "пойти на все четыре стороны", "бежать в сторону дома", "с какой стороны стола сядешь?") — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF

многоугольник ABCDEF

вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F

вершина A и вершина B являются соседними

вершина B и вершина C являются соседними

вершина C и вершина D являются соседними

вершина D и вершина E являются соседними

вершина E и вершина F являются соседними

вершина F и вершина A являются соседними

сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF

сторона AB и сторона BC являются смежными

сторона BC и сторона CD являются смежными

сторона CD и сторона DE являются смежными

сторона DE и сторона EF являются смежными

сторона EF и сторона FA являются смежными

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т.д.

Конспект урока по математике

Тема: «Прямая. Обозначение прямой»

Класс: 1 «Г»

Цели урока:

Образовательная: - знать понятия прямая и непрямая линии; уметь изображать прямую линию; уметь различать прямые и непрямые линии; уметь принимать и сохранят учебную задачу; уметь выполнять учебно – познавательные действия в материальной и умственной форме; уметь работать в паре; умение делать выводы;

Развивающая: - развивать наблюдательность, логическое мышление, навыки самоконтроля; мыслительные операции(анализ, синтез, обобщение); развивать навык правильного речевого поведения;

Воспитывающая: ценностное отношение к предмету, воспитывать внимательность, аккуратность, усидчивость, прилежание; положительное отношение к учению; желание приобретать новые знания;

Тип урока: изучение нового материала

Техническое обеспечение: компьютер, мультимедийный проектор, экран, интерактивная доска

Оборудование :, учебник «Математика 1 класса», рабочая тетрадь по математике

УМК: «Перспектика »

Дата проведения: 01.10.2016г.

Время проведения: 45 минут

Проводящий: Болдуева Людмила Юрьевна

Организационный момент

Актуализация знаний

Целеполагание

Ознакомление с новым материалом.

Физкультминутка

Закрепление

Физкультминутка для глаз

Закрепление

Итог

Рефлексия

10. Домашнее задание

Здравствуйте, садитесь.

Для начала проведем устный счет.

На доску по одному, под счет детей прикрепляются кленовые листочки (или любая другая наглядность)

Молодцы!

А теперь назовите числа в порядке убывания.

Хорошо, молодцы!

Ребята, мы с вами попали в страну «Геометрию» и нас встречают точка. (учитель прикрепляет первую точку на доску). Назовем мы ее с вами точка А.

Сейчас с помощью линейки я проведу линию. Кто знает, как она называется?

Какова будет тема нашего урока?

А что мы сегодня будем делать, чему научимся?

Хорошо, молодцы!

Просмотр видео.

Итак, сколько прямых мы можем провести через одну точку?

Открываем учебник на стр. 50 и смотрим упражнение 1. Здесь показано как проведена прямая линия через одну точку с помощью линейки.

Можно ли ещё провести прямые через точку А?

Продолжаем, к нашей точке пришла в гости подружка. Это точка Б. (к доске учитель прикрепляет точку Б)

Просмотр видео.

Сколько можно провести прямых через две точки?

Правильно!

Открываем рабочие тетради на стр.38, выполняем задание 1.

Проверка посадки. Напомнить как держим карандаш.

Даны две точки А и Б. Проводим прямую с помощью линейки. Отмечаем на ней точку О. - - Какие прямые у нас получились?

Как ещё можно обозначить прямую АБ?

Правильно, БА.

(все действия учитель выполняет на интерактивной доске)

Игра на интерактивной доске(2)

Но существуют и непрямые линии, посмотрите на вторую картинку в учебнике. Это непрямые линии. И на доске у нас есть прямая и непрямая линия.

(на доске изображена прямая линия и непрямая линия)

А кто может сказать с помощью чего мы можем узнать прямая линия или нет?

Правильно, с помощью линейки. Если линейка совпадает с прямой, то линия – прямая, если нет, то непрямая.

Давайте попробуем(учитель прикладывает линейку к 1 прямой – линейка совпала, значит линия – прямая; прикладываем ко второй – не совпадает значит линия непрямая)

Игра на интерактивной доске(1)

Возвращаемся к рабочей тетради, номер 2, мы выполняем в парах, а затем проверяем вместе. Вам нужно провести прямые ДЕ и МК, потом провести ещё прямые через точки Е,М,К. Проводите. Подумайте вместе с вашим соседом по парте и запишите обозначения этих прямых.

Проверка, выполненного задания.(Учитель изображает прямые на интерактивной доске, обсуждая правильность выполнения с детьми)

На компьютере (презентация)

Возвращаемся к рабочим тетрадям и выполняем номер 3.

(учитель рисует вместе с детьми на интерактивной доске)

Пальчиковая гимнастика:

Пальчики.

Раз, два, три, четыре, пять, (Сжимают и разжимают кулачки.)

Мы пошли в лесок гулять.

Этот пальчик по дорожке, (Загибают пальчики, начиная с большого.)

Этот пальчик по тропинке,

Этот пальчик за грибами,

Этот пальчик за малиной,

Этот пальчик заблудился,

Очень поздно возвратился.

Пальчики мы с вами размяли и теперь выполняем номер 4.

Правила посадки.

Ну-ка показали, как мы держим ручку? Хорошо, молодцы!

И последнее упражнение, которое мы выполним на это уроке номер 6.

Давайте разбирать, нам нужно узнать кто из артистов будет выступать следующим, если он не на коньках, не клоун и не птица.

Кто подходит под это описание?

Правильно, молодцы!

Вот и подошел к концу наш с вами урок.

Что нового мы с вами сегодня узнали?

Чему научились?

Сегодня на уроке все работали активно, хорошо себя вели и поэтому я сейчас раздам вам по солнышку.

Ребята, поднимите руки, те кто всё понял на уроке, легко справился со всеми заданиями.

А теперь те, у кого были затруднения.

(А что именно ты не понял, что у тебя не получилось?)

Дома, по желанию вы можете сделать номер 7, в учебнике. Здесь узоры и цифры нужно перерисовать а тетрадь.

Здороваются, садятся.

Вместе с учителем считают листочки.

Прямая и её обозначение

Научимся изображать прямую

Работа с учебником

Только одну.

Выходят по очереди и выполняют задание

Проводят дети, под музыку

Работа с рабочими тетрадями

Работа в парах

Выполняют упражнение

Сжимают и разжимают кулачки

Загибаю пальчики, начинаю с большого

Ответы детей

Мы узнали, что такое прямая, её имя.

Научились изображать прямую

Мотивационная основа учебной деятельности (Л);

Смыслообразование (Л);

Постановка познавательной цели(П);

Познавательная инициатива (Р);

Прогнозирование (Р);

учебно-познавательный интерес (Л);

Смыслообразование (Л);

Волевая саморегуляция (Р);

Анализ, синтез, сравнение,

обобщение, аналогия (П);

Постановка и формулирование

проблемы (П);

Учет разных мнений,

координирование в

сотрудничестве

разных позиций (К);

Формулирование и аргументация

своего мнения и позиции в