توابع کسرهای ساده با مخرج های مختلف. جمع و تفریق کسرها

بررسی موضوع تفریق کسری با مخرج های مختلف در درس جبر در کلاس هشتم یافت می شود و گاهاً درک کودکان را با مشکل مواجه می کند. برای تفریق کسری با مخرج های مختلف از فرمول زیر استفاده کنید:

روش تفریق کسرها شبیه به جمع است، زیرا به طور کامل اصل عملکرد را کپی می کند.

ابتدا کوچکترین عددی را که مضربی از یک و مخرج دیگر است محاسبه می کنیم.

ثانیاً، صورت و مخرج هر کسری را در عدد معینی ضرب می کنیم، که به ما امکان می دهد مخرج را به حداقل مخرج مشترک برسانیم.

ثالثاً، خود روش تفریق زمانی انجام می شود که در نتیجه مخرج کپی می شود و صورت کسر دوم از کسر اول کم می شود.

مثال: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 عدد صحیح 1/6

ابتدا باید آنها را به یک مخرج بیاورید و سپس آنها را کم کنید. به عنوان مثال، 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. یا سخت تر، 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. آیا لازم است توضیح دهید که چگونه کسرها به مخرج مشترک کاهش می یابد؟

در عملیاتی مانند جمع یا تفریق کسرهای معمولی با مخرج های مختلف، یک قانون ساده اعمال می شود - مخرج این کسرها به یک عدد کاهش می یابد و خود عملیات با اعداد موجود در صورت انجام می شود. یعنی کسرها یک مخرج مشترک می گیرند و به نظر می رسد که در یک ترکیب می شوند. یافتن مخرج مشترک برای کسرهای دلخواه معمولاً به ضرب هر یک از کسرها در مخرج کسر دیگر منجر می شود. اما در موارد ساده تر، می توانید بلافاصله عواملی را بیابید که مخرج کسرها را به یک عدد می رساند.

مثال تفریق کسری: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21

بسیاری از بزرگسالان قبلاً فراموش کرده اند نحوه تفریق کسری با مخرج های مختلف، اما این عمل متعلق به ریاضیات ابتدایی است.

برای تفریق کسری با مخرج های مختلف، باید آنها را به یک مخرج مشترک بیاورید، یعنی حداقل مضرب مشترک مخرج ها را پیدا کنید، سپس اعداد را در عوامل اضافی برابر با نسبت کمترین مضرب مشترک و مخرج ضرب کنید.

نشانه های کسری حفظ می شود. بعد از اینکه کسرها مخرج یکسانی داشتند، می توانید کسر را کم کنید و در صورت امکان کسر را کم کنید.

النا، آیا تصمیم گرفتی درس ریاضی مدرسه را تکرار کنی؟)))

برای تفریق کسری با مخرج های مختلف، ابتدا باید آنها را به یک مخرج تقلیل داد و سپس آنها را کم کرد. ساده ترین گزینه: صورت و مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید و صورت و مخرج کسر دوم را در مخرج کسر اول ضرب کنید. دو کسری با مخرج یکسان بدست آورید. حالا صورت کسر دوم را از کسر اول کم می کنیم و مخرج یکسانی دارند.

به عنوان مثال، سه پنجم از دو هفتم تفریق می شود، معادل بیست و یک سی و پنجم تفریق ده سی و پنجم و این برابر با یازده سی و پنجم است.

اگر مخرج ها اعداد بزرگی باشند، می توانید حداقل مضرب مشترک آنها را پیدا کنید. عددی که هم بر یک و هم بر مخرج دیگر بخش پذیر خواهد بود. و هر دو کسر را به یک مخرج مشترک بیاورید (کمترین مضرب مشترک)

نحوه تفریق کسری با مخرج های مختلف کار بسیار ساده است - ما کسرها را به یک مخرج مشترک می آوریم و سپس تفریق را در صورت انجام می دهیم.

بسیاری از افراد وقتی اعداد صحیح در کنار این کسرها وجود دارند با مشکلاتی روبرو می شوند، بنابراین می خواستم نحوه انجام این کار را با مثال زیر نشان دهم:

تفریق کسری با یک جزء صحیح و با مخرج های مختلف

ابتدا کل قسمت ها را کم می کنیم 8-5 = 3 (سه گانه در نزدیکی کسر اول باقی می ماند).

کسرها را به مخرج مشترک 6 می آوریم (اگر صورت کسر اول بزرگتر از کسر دوم باشد، نزدیک قسمت عدد صحیح کم کرده و می نویسیم، در مورد ما ادامه می دهیم).

ما قسمت صحیح 3 را به 2 و 1 تجزیه می کنیم.

1 به صورت کسری 6/6 نوشته می شود.

6/6+3/6-4/6 زیر مخرج مشترک 6 می نویسیم و اعمال را در صورت انجام می دهیم.

نتیجه یافت شده را 2 5/6 بنویسید.

مهم است که به یاد داشته باشید که کسرها در صورتی کسر می شوند که مخرج یکسانی داشته باشند. بنابراین، هنگامی که ما کسری با مخرج های مختلف در تفاوت داریم، باید آنها را به سادگی به یک مخرج مشترک برسانیم، که انجام این کار دشوار نیست. فقط باید عدد هر کسری را فاکتور بگیریم و کمترین مضرب مشترک را محاسبه کنیم که نباید صفر باشد. فراموش نکنید که شمارنده ها را در فاکتورهای اضافی به دست آمده نیز ضرب کنید، اما در اینجا یک مثال برای راحتی وجود دارد:



اگر می خواهید کسرهایی را با مخرج های مختلف کم کنید، ابتدا باید یک مخرج مشترک برای این دو کسر پیدا کنید. و سپس دومی را از عدد کسر اول کم کنید. به نظر می رسد کسر جدید، با یک مقدار جدید.

تا جایی که من از درس ریاضی سوم دبستان به یاد دارم برای تفریق کسری با مخرج های مختلف ابتدا باید مخرج مشترک را محاسبه کرده و به آن بیاورید و سپس به سادگی اعداد از یکدیگر کم می شوند و مخرج همان مشترک باقی می ماند.

برای تفریق کسری با مخرج های مختلف، ابتدا باید کوچکترین مخرج مشترک این کسرها را پیدا کنیم.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:



عدد بزرگتر 25 را بر 20 کوچکتر تقسیم کنید. غیر قابل تقسیم. بنابراین مخرج 25 را در عددی ضرب می کنیم که مجموع حاصل را می توان بر 20 تقسیم کرد. این عدد 4 خواهد بود. 25x4 \u003d 100. 100:20=5. بنابراین، ما کمترین مخرج مشترک را پیدا کردیم - 100.

حال باید برای هر کسری یک عامل اضافی پیدا کنیم. برای انجام این کار، مخرج جدید را بر مخرج قدیمی تقسیم می کنیم.

9 را در 4 = 36 ضرب کنید. 7 را در 5 = 35 ضرب کنید.

با داشتن یک مخرج مشترک، همانطور که در مثال نشان داده شده است، کم می کنیم و به نتیجه می رسیم.

قوانین جمع کسری با مخرج های مختلف بسیار ساده است.

قوانین جمع کردن کسرهایی با مخرج های مختلف را در مراحل زیر در نظر بگیرید:

1. LCM (کمترین مضرب مشترک) مخرج ها را پیدا کنید. LCM حاصل مخرج مشترک کسرها خواهد بود.

2. کسرها را به مخرج مشترک بیاورید.

3. کسرهای کاهش یافته را به مخرج مشترک اضافه کنید.

با استفاده از یک مثال ساده می آموزیم که چگونه قوانین جمع کسری با مخرج های مختلف را اعمال کنیم.

مثال

نمونه ای از جمع کسری با مخرج های مختلف.

کسری با مخرج های مختلف اضافه کنید:

بیایید قدم به قدم تصمیم بگیریم.

1. LCM (کمترین مضرب مشترک) مخرج ها را پیدا کنید.

عدد 12 بر 6 بخش پذیر است.

از اینجا نتیجه می گیریم که 12 کمترین مضرب مشترک اعداد 6 و 12 است.

پاسخ: نوک اعداد 6 و 12 12 است:

LCM(6، 12) = 12

NOC حاصل مخرج مشترک دو کسر 1/6 و 5/12 خواهد بود.

2. کسرها را به مخرج مشترک بیاورید.

در مثال ما، فقط کسر اول باید به مخرج مشترک 12 کاهش یابد، زیرا کسر دوم قبلاً مخرج 12 دارد.

مخرج مشترک 12 را بر مخرج کسر اول تقسیم کنید:

2 یک ضریب اضافی دارد.

صورت و مخرج کسر اول (1/6) را در ضریب اضافی 2 ضرب کنید.

توجه داشته باشید!قبل از نوشتن پاسخ نهایی، ببینید آیا می توانید کسری را که دریافت کرده اید کاهش دهید.

تفریق کسری با مخرج یکسان مثال ها:

,

,

کم کردن کسر مناسب از یک

اگر لازم باشد کسر صحیح را از واحد کم کنیم، واحد به صورت کسر نامناسب تبدیل می شود، مخرج آن برابر با مخرج کسر تفریق شده است.

مثالی از تفریق کسر مناسب از یک:

مخرج کسری که باید تفریق شود = 7 ، یعنی واحد را به عنوان یک کسر نامناسب 7/7 نشان می دهیم و طبق قانون تفریق کسری با مخرج یکسان از آن کم می کنیم.

کم کردن کسر مناسب از یک عدد کامل

قوانین تفریق کسرها -درست از عدد صحیح (عدد طبیعی):

• کسرهای داده شده را که شامل یک عدد صحیح هستند به کسرهای نامناسب ترجمه می کنیم. ما عبارات عادی را دریافت می کنیم (مهم نیست که مخرج های متفاوتی داشته باشند) که طبق قوانین ذکر شده در بالا در نظر می گیریم.
• در مرحله بعد تفاضل کسری که دریافت کردیم را محاسبه می کنیم. در نتیجه، تقریباً پاسخ را خواهیم یافت.
• ما تبدیل معکوس را انجام می دهیم، یعنی از کسر نامناسب خلاص می شویم - قسمت صحیح را در کسری انتخاب می کنیم.

کسر مناسب را از یک عدد کامل کم کنید: یک عدد طبیعی را به صورت یک عدد مختلط نشان می دهیم. آن ها واحدی را در یک عدد طبیعی می گیریم و آن را به صورت کسر نامناسب ترجمه می کنیم، مخرج همان کسر کسر است.

مثال تفریق کسری:

در مثال، واحد را با یک کسر نامناسب 7/7 جایگزین کردیم و به جای 3، یک عدد مختلط را یادداشت کردیم و یک کسری از قسمت کسری کم کردیم.

تفریق کسری با مخرج های مختلف.

یا به بیان دیگر، تفریق کسرهای مختلف.

قانون تفریق کسری با مخرج های مختلف.برای تفریق کسری با مخرج های مختلف، ابتدا لازم است که این کسرها را به کمترین مخرج مشترک (LCD) برسانیم و تنها پس از آن مانند کسرهایی با مخرج یکسان از آن کسر کنیم.

مخرج مشترک چند کسر است LCM (کمترین مضرب مشترک)اعداد طبیعی که مخرج کسرهای داده شده هستند.

توجه!اگر در کسر پایانی صورت و مخرج فاکتورهای مشترکی داشته باشند، کسر باید کاهش یابد. کسر نامناسب به بهترین وجه به عنوان کسر مختلط نشان داده می شود. ترک نتیجه تفریق بدون کاهش کسر در صورت امکان، یک راه حل ناتمام برای مثال است!

روش تفریق کسری با مخرج های مختلف.

• LCM را برای همه مخرج ها پیدا کنید.
• ضریب های اضافی را برای همه کسری ها قرار دهید.
• همه اعداد را در یک عامل اضافی ضرب کنید.
• ما محصولات حاصل را در صورتگر می نویسیم و یک مخرج مشترک را در زیر همه کسرها امضا می کنیم.
• اعداد کسرها را کم کنید و مخرج مشترک را زیر اختلاف امضا کنید.

به همین ترتیب، جمع و تفریق کسرها در حضور حروف در صورت حساب انجام می شود.

تفریق کسری، مثال:

تفریق کسرهای مختلط.

در تفریق کسرهای مختلط (اعداد)به طور جداگانه، قسمت صحیح از قسمت صحیح و قسمت کسری از قسمت کسری کم می شود.

گزینه اول تفریق کسرهای مختلط است.

اگر قطعات کسری همانمخرج و صورت بخش کسری مینیوند (از آن کم می کنیم) ≥ صورت بخش کسری جزء فرعی (آن را کم می کنیم).

مثلا:

گزینه دوم تفریق کسرهای مختلط است.

زمانی که قطعات کسری مختلفمخرج ها برای شروع، قسمت های کسری را به یک مخرج مشترک تقلیل می دهیم و سپس عدد صحیح را از عدد صحیح و عدد کسری را از عدد کسری کم می کنیم.

مثلا:

گزینه سوم تفریق کسرهای مختلط است.

قسمت کسری مینوئند کمتر از قسمت کسری زیر خط است.

مثال:

زیرا قطعات کسری مخرج های مختلفی دارند، یعنی مانند گزینه دوم، ابتدا کسرهای معمولی را به یک مخرج مشترک می آوریم.

شمارنده قسمت کسری مینیوند کوچکتر از شمارنده قسمت کسری زیرترهند است.3 < 14. بنابراین از قسمت صحیح یک واحد می گیریم و این واحد را به صورت کسر نامناسب با مخرج و صورت یکسان می آوریم. = 18.

در صورت حساب از سمت راست مجموع اعداد را می نویسیم، سپس از سمت راست پرانتزها را در صورت باز می کنیم، یعنی همه چیز را ضرب می کنیم و موارد مشابه را می دهیم. ما پرانتز را در مخرج باز نمی کنیم. مرسوم است که محصول را در مخرج ها بگذارید. ما گرفتیم:

جمع و تفریق کسری با مخرج یکسان
جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف
مفهوم NOC
آوردن کسرها به مخرج یکسان
چگونه یک عدد کامل و یک کسری را جمع کنیم

1 جمع و تفریق کسری با مخرج یکسان

برای اضافه کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را اضافه کنید و مخرج را یکسان بگذارید، برای مثال:

برای تفریق کسری با مخرج یکسان، کسر کسر دوم را از صورت کسر اول کم کنید و مخرج را ثابت بگذارید، برای مثال:

برای اضافه کردن کسرهای مختلط باید تمام قسمت های آنها را جداگانه اضافه کنید و سپس قسمت های کسری آنها را اضافه کنید و نتیجه را به صورت کسر مختلط بنویسید.

اگر هنگام جمع کردن کسری کسر نامناسب به دست آمد، قسمت صحیح را از آن انتخاب می کنیم و به جزء صحیح اضافه می کنیم، مثلا:

2 جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف

برای جمع یا تفریق کسری با مخرج های مختلف، ابتدا باید آنها را به یک مخرج بیاورید و سپس همانطور که در ابتدای این مقاله نشان داده شده است عمل کنید. مخرج مشترک چند کسر LCM (کمترین مضرب مشترک) است. برای صورت‌دهنده هر یک از کسرها، با تقسیم LCM بر مخرج این کسر، عوامل اضافی پیدا می‌شود. بعد از اینکه متوجه شدیم LCM چیست، بعداً به یک مثال نگاه خواهیم کرد.

3 کمترین مضرب مشترک (LCM)

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد (LCM) کوچکترین عدد طبیعی است که بر هر دوی این اعداد بدون باقیمانده بخش پذیر است. گاهی اوقات LCM را می توان به صورت شفاهی یافت، اما بیشتر اوقات، به خصوص هنگام کار با اعداد زیاد، باید LCM را به صورت نوشتاری با استفاده از الگوریتم زیر پیدا کنید:

برای پیدا کردن LCM چندین عدد، شما نیاز دارید:

1. این اعداد را به عوامل اول تجزیه کنید
2. بزرگترین بسط را بگیرید و این اعداد را به عنوان یک محصول بنویسید
3. در بسط های دیگر اعدادی را انتخاب کنید که در بزرگترین بسط رخ نمی دهند (یا تعداد دفعات کمتری در آن رخ می دهند) و آنها را به محصول اضافه کنید.
4. تمام اعداد موجود در محصول را ضرب کنید، این LCM خواهد بود.

برای مثال، بیایید LCM اعداد 28 و 21 را پیدا کنیم:

4کاهش کسرها به مخرج یکسان

بیایید به جمع کسری با مخرج های مختلف برگردیم.

وقتی کسرها را به مخرج یکسان تقلیل می‌دهیم، برابر LCM هر دو مخرج، باید شمارنده‌های این کسرها را در ضرب کنیم. ضرب کننده های اضافی. می توانید آنها را با تقسیم LCM بر مخرج کسر مربوطه پیدا کنید، به عنوان مثال:

بنابراین، برای اینکه کسرها را به یک نشانگر بیاورید، ابتدا باید LCM (یعنی کوچکترین عددی که بر هر دو مخرج قابل تقسیم است) از مخرج این کسرها را پیدا کنید، سپس ضرایب اضافی را روی شمارنده کسرها قرار دهید. می توانید آنها را با تقسیم مخرج مشترک (LCD) بر مخرج کسر مربوطه پیدا کنید. سپس باید عدد هر کسر را در یک عامل اضافی ضرب کنید و LCM را به عنوان مخرج قرار دهید.

5 چگونه یک عدد کامل و یک کسری را جمع کنیم

برای جمع کردن یک عدد کامل و یک کسری فقط باید این عدد را جلوی کسر جمع کنید و مثلاً یک کسر مختلط به دست می آید.

درک عبارات کسری برای کودک دشوار است. اکثر مردم با . هنگام مطالعه مبحث "جمع کسری با اعداد صحیح"، کودک در حالت گیجی فرو می رود و برای حل این کار دشوار است. در بسیاری از مثال ها، قبل از انجام یک عمل، یک سری محاسبات باید انجام شود. مثلاً کسرها را تبدیل کنید یا کسر نامناسب را به کسر مناسب تبدیل کنید.

به کودک به وضوح توضیح دهید. سه سیب را بردارید که دو تای آنها کامل است و سومی به 4 قسمت تقسیم می شود. یک برش از سیب بریده شده جدا کنید و سه عدد باقیمانده را در کنار دو میوه کامل قرار دهید. از یک طرف ¼ سیب و از طرف دیگر 2 ¾ سیب می گیریم. اگر آنها را با هم ترکیب کنیم، سه سیب کامل به دست می آید. بیایید سعی کنیم 2 ¾ سیب را ¼ کاهش دهیم، یعنی یک برش دیگر برداریم، 2 2/4 سیب می گیریم.

بیایید نگاهی دقیق تر به اقدامات با کسری بیندازیم که شامل اعداد صحیح می شود:

ابتدا، بیایید قانون محاسبه عبارات کسری با مخرج مشترک را به یاد بیاوریم:

در نگاه اول، همه چیز آسان و ساده است. اما این فقط در مورد عباراتی است که نیازی به تبدیل ندارند.

چگونه می توان مقدار یک عبارت را که مخرج آن متفاوت است، پیدا کرد

در برخی از کارها، لازم است مقدار یک عبارت را پیدا کنیم که مخرج ها متفاوت است. یک مورد خاص را در نظر بگیرید:
3 2/7+6 1/3

مقدار این عبارت را پیدا کنید، برای این یک مخرج مشترک برای دو کسر پیدا می کنیم.

برای اعداد 7 و 3 این 21 است. قسمت های صحیح را یکسان می گذاریم و قسمت های کسری را به 21 کاهش می دهیم ، برای این کسر اول را در 3 ضرب می کنیم ، دومی را در 7 ضرب می کنیم ، به دست می آوریم:
6/21+7/21، فراموش نکنید که کل قطعات در معرض تبدیل نیستند. در نتیجه دو کسر با یک مخرج بدست می آوریم و مجموع آنها را محاسبه می کنیم:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
اگر نتیجه جمع یک کسری نامناسب باشد که قبلاً یک قسمت صحیح دارد چه می شود:
2 1/3+3 2/3
در این صورت، اجزای صحیح و کسری را اضافه می کنیم، به دست می آوریم:
5 3/3، همانطور که می دانید، 3/3 یک است، بنابراین 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

با یافتن مجموع، همه چیز روشن است، بیایید تفریق را تجزیه و تحلیل کنیم:

از تمام آنچه گفته شد، قانون عملیات روی اعداد مختلط به دست می آید که به نظر می رسد:

• اگر لازم است یک عدد صحیح را از یک عبارت کسری کم کنیم، لازم نیست عدد دوم را به صورت کسری نشان دهیم، کافی است فقط روی قسمت های صحیح عمل کنیم.

بیایید سعی کنیم ارزش عبارات را به تنهایی محاسبه کنیم:

بیایید نگاهی دقیق تر به مثال زیر حرف "m" بیندازیم:

4 5/11-2 8/11، صورت کسر اول کوچکتر از دوم است. برای این کار، یک عدد صحیح از کسر اول می گیریم،
3 5/11+11/11=3 کل 16/11، دومی را از کسر اول کم کنید:
3 16/11-2 8/11=1 کل 8/11

• هنگام تکمیل کار مراقب باشید، فراموش نکنید که کسرهای نامناسب را به ترکیبی تبدیل کنید و کل قسمت را برجسته کنید. برای انجام این کار، لازم است که مقدار صورت را بر مقدار مخرج تقسیم کنیم، سپس آنچه اتفاق افتاده است، جای عدد صحیح را می گیرد، باقیمانده صورتگر خواهد بود، به عنوان مثال:

19/4=4 ¾، بررسی کنید: 4*4+3=19، در مخرج 4 بدون تغییر باقی می ماند.

خلاصه کردن:

قبل از انجام کار مربوط به کسرها، لازم است تجزیه و تحلیل شود که چه نوع بیانی است، چه تبدیلی باید روی کسری انجام شود تا راه حل صحیح باشد. به دنبال راه حل های منطقی تر باشید. راه سخت را نرو تمام اقدامات را برنامه ریزی کنید، ابتدا در یک نسخه پیش نویس تصمیم بگیرید، سپس به دفترچه یادداشت مدرسه منتقل کنید.

برای جلوگیری از سردرگمی هنگام حل عبارات کسری، لازم است از قانون دنباله پیروی کنید. همه چیز را با دقت و بدون عجله تصمیم بگیرید.