چگونه bn را به صورت تصاعدی پیدا کنیم. همیشه در حال و هوا باشید

فرمول عضو n یک پیشرفت هندسی چیز بسیار ساده ای است. هم در معنا و هم در کل. اما انواع و اقسام مشکلات برای فرمول عضو n وجود دارد - از خیلی ابتدایی تا کاملا جدی. و در روند آشنایی مان قطعا هر دو را در نظر خواهیم گرفت. خوب، بیایید ملاقات کنیم؟)

بنابراین، برای شروع، در واقع فرمولn

او اینجاست:

b n = ب 1 · q n -1

فرمول به عنوان یک فرمول، هیچ چیز ماوراء طبیعی نیست. به نظر می رسد حتی ساده تر و فشرده تر از فرمول مشابه برای . معنی فرمول نیز مانند چکمه نمدی ساده است.

این فرمول به شما امکان می دهد هر عضوی از یک پیشرفت هندسی را بر اساس عدد آن پیدا کنید. n".

همانطور که می بینید، معنی یک قیاس کامل با یک تصاعد حسابی است. ما عدد n را می دانیم - همچنین می توانیم عبارت را زیر این عدد محاسبه کنیم. چیزی که ما می خواهیم. به صورت متوالی در "q" چندین و چند بار ضرب نمی شود. این تمام نکته است.)

من درک می کنم که در این سطح از کار با پیشرفت ها، تمام مقادیر موجود در فرمول باید از قبل برای شما واضح باشد، اما وظیفه خود می دانم که هر کدام را رمزگشایی کنم. محض احتیاط.

پس بزن بریم:

ب 1 – اولینعضو یک پیشرفت هندسی؛

q – ;

n- شماره عضو؛

b n – نهمین (nث)عضو یک پیشرفت هندسی

این فرمول چهار پارامتر اصلی هر پیشرفت هندسی را به هم مرتبط می کند - بn, ب 1 , qو n. و حول این چهار چهره کلیدی، همه وظایف در حال پیشرفت می چرخند.

"و چگونه نمایش داده می شود؟"- من یک سوال کنجکاو می شنوم ... ابتدایی! نگاه کن

چه چیزی برابر است دومینعضو پیشرفت؟ مشکلی نیست! ما مستقیماً می نویسیم:

b 2 = b 1 q

و عضو سوم؟ مشکلی هم نیست! جمله دوم را ضرب می کنیم دوباره درq.

مثل این:

B 3 \u003d b 2 q

اکنون به یاد بیاورید که جمله دوم به نوبه خود برابر با b 1 q است و این عبارت را با برابری خود جایگزین کنید:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

ما گرفتیم:

ب 3 = b 1 q 2

حال بیایید مدخل خود را به زبان روسی بخوانیم: سومعبارت برابر است با جمله اول ضرب در q در دومیندرجه. متوجه شدي؟ نه هنوز؟ باشه یه قدم دیگه

ترم چهارم چیست؟ همه همین طور! تکثیر کردن قبلی(یعنی ترم سوم) در q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

جمع:

ب 4 = b 1 q 3

و دوباره به روسی ترجمه می کنیم: چهارمعبارت برابر است با جمله اول ضرب در q در سومدرجه.

و غیره. خوب ... چطوره؟ الگو رو گرفتی؟ آره! برای هر جمله با هر عدد، تعداد عوامل مساوی q (یعنی توان مخرج) همیشه خواهد بود. یک عدد کمتر از تعداد عضو مورد نظرn.

بنابراین، فرمول ما بدون گزینه خواهد بود:

b n =ب 1 · q n -1

همین.)

خوب، بیایید مشکلات را حل کنیم؟)

حل مسائل بر اساس فرمولnترم یک پیشرفت هندسی.

بیایید، طبق معمول، با استفاده مستقیم از فرمول شروع کنیم. در اینجا یک مشکل معمولی وجود دارد:

به صورت تصاعدی شناخته شده است که ب 1 = 512 و q = -1/2. جمله دهم پیشرفت را پیدا کنید.

البته این مشکل بدون هیچ فرمولی قابل حل است. درست مانند یک پیشرفت هندسی. اما ما باید با فرمول ترم n گرم شویم، درست است؟ اینجا داریم از هم جدا میشیم

داده های ما برای اعمال فرمول به شرح زیر است.

اصطلاح اول شناخته شده است. این 512 است.

ب 1 = 512.

مخرج پیشرفت نیز شناخته شده است: q = -1/2.

فقط باید بفهمیم که تعداد عبارت n برابر است. مشکلی نیست! آیا ما به ترم دهم علاقه مندیم؟ بنابراین در فرمول کلی به جای n ده را جایگزین می کنیم.

و با دقت حساب را محاسبه کنید:

پاسخ 1

همانطور که می بینید، دهمین ترم پیشرفت با منهای بود. جای تعجب نیست: مخرج پیشروی -1/2 است، یعنی. منفیعدد. و این به ما می گوید که نشانه های پیشرفت ما به طور متناوب، بله.)

اینجا همه چیز ساده است. و در اینجا یک مشکل مشابه وجود دارد، اما از نظر محاسبات کمی پیچیده تر است.

در پیشرفت هندسی می دانیم که:

ب 1 = 3

جمله سیزدهم پیشرفت را پیدا کنید.

همه چیز یکسان است، فقط این بار مخرج پیشرفت - غیر منطقی. ریشه دو. خوب، چیز مهمی نیست. فرمول یک چیز جهانی است، با هر عددی مقابله می کند.

ما مستقیماً طبق فرمول کار می کنیم:

فرمول، البته، آن طور که باید کار کرد، اما ... اینجا جایی است که برخی معلق خواهند ماند. بعد با روت چه کار کنیم؟ چگونه یک ریشه را به توان دوازدهم برسانیم؟

چگونه ... شما باید درک کنید که هر فرمولی، البته، چیز خوبی است، اما دانش تمام ریاضیات قبلی لغو نمی شود! چگونه بزرگ کنیم؟ بله، خواص درجات را به خاطر بسپارید! بیایید ریشه را به درجه کسریو - با فرمول بالا بردن یک قدرت به یک قدرت.

مثل این:

جواب: 192

و همه چیز.)

مشکل اصلی در کاربرد مستقیم فرمول ترم n چیست؟ آره! مشکل اصلی این است کار با مدرک!یعنی توان اعداد منفی، کسرها، ریشه ها و ساختارهای مشابه. پس کسانی که در این مورد مشکل دارند درخواست عاجل برای تکرار درجات و خواص آنها! در غیر این صورت سرعت شما در این تاپیک کاهش می یابد، بله ...)

اکنون بیایید مشکلات جستجوی معمولی را حل کنیم یکی از عناصر فرمولاگر همه بقیه داده شود. برای حل موفقیت آمیز چنین مشکلاتی، دستور غذا تنها و ساده تا ترسناک است - فرمول را بنویسnعضو هفتم به طور کلی!درست در دفترچه کنار شرایط. و سپس، از روی شرط، متوجه می شویم که چه چیزی به ما داده شده و چه چیزی کافی نیست. و مقدار مورد نظر را از فرمول بیان می کنیم. همه!

به عنوان مثال، چنین مشکل بی ضرر.

جمله پنجم یک تصاعد هندسی با مخرج 3 567 است. جمله اول این تصاعد را بیابید.

هیچ چیز پیچیده ای نیست. ما مستقیماً طبق طلسم کار می کنیم.

فرمول ترم n را می نویسیم!

b n = ب 1 · q n -1

چه چیزی به ما داده می شود؟ ابتدا مخرج پیشرفت داده می شود: q = 3.

علاوه بر این، به ما داده می شود عضو پنجم: ب 5 = 567 .

همه؟ نه! به ما نیز عدد n داده شده است! این یک پنج است: n = 5.

امیدوارم قبلاً متوجه شده باشید که چه چیزی در پرونده وجود دارد ب 5 = 567 دو پارامتر به طور همزمان پنهان می شوند - این پنجمین عضو خود (567) و شماره آن (5) است. در درس مشابهی قبلاً در مورد این موضوع صحبت کردم، اما فکر می کنم یادآوری در اینجا اضافی نیست.)

اکنون داده های خود را با فرمول جایگزین می کنیم:

567 = ب 1 3 5-1

ما حساب را در نظر می گیریم، ساده می کنیم و یک معادله خطی ساده به دست می آوریم:

81 ب 1 = 567

حل می کنیم و می گیریم:

ب 1 = 7

همانطور که می بینید، هیچ مشکلی برای یافتن عضو اول وجود ندارد. اما وقتی به دنبال مخرج می گردید qو اعداد nممکن است شگفتی وجود داشته باشد و همچنین باید برای آنها آماده باشید (سورپرایزها)، بله.)

به عنوان مثال، چنین مشکلی:

جمله پنجم یک تصاعد هندسی با مخرج مثبت 162 و جمله اول این تصاعد 2 است. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

این بار اعضای اول و پنجم به ما داده می شود و از آنها خواسته می شود مخرج پیشرفت را پیدا کنیم. در اینجا شروع می کنیم.

فرمول را می نویسیمnعضو ام!

b n = ب 1 · q n -1

داده های اولیه ما به شرح زیر خواهد بود:

ب 5 = 162

ب 1 = 2

n = 5

ارزش کافی نیست q. مشکلی نیست! بیایید اکنون آن را پیدا کنیم.) هر آنچه را که می دانیم در فرمول جایگزین می کنیم.

ما گرفتیم:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

معادله ساده درجه چهارم. اما حالا - با دقت!در این مرحله از حل، بسیاری از دانش آموزان بلافاصله با خوشحالی ریشه (درجه چهارم) را استخراج می کنند و پاسخ می گیرند. q=3 .

مثل این:

q4 = 81

q = 3

اما به طور کلی، این یک پاسخ ناتمام است. یا بهتر بگوییم ناقص. چرا؟ نکته این است که پاسخ q = -3 همچنین مناسب است: (-3) 4 نیز 81 خواهد بود!

این به دلیل معادله قدرت است x n = آهمیشه داشته است دو ریشه متضاددر زوجn . مثبت و منفی:

هر دو مناسب هستند.

به عنوان مثال، حل کردن (یعنی دومیندرجه)

x2 = 9

به دلایلی از ظاهر شگفت زده نمی شوید دوریشه x=±3؟ اینجا هم همینطوره و با هر دیگری زوجدرجه (چهارم، ششم، دهم و ...) به همین ترتیب خواهد بود. جزئیات - در موضوع در مورد

بنابراین راه حل صحیح این خواهد بود:

q 4 = 81

q= 3±

خوب، ما نشانه ها را کشف کرده ایم. کدام یک درست است - مثبت یا منفی؟ خوب، در جستجوی دوباره شرایط مشکل را می خوانیم اطلاعات اضافیالبته ممکن است وجود نداشته باشد، اما در این مشکل چنین اطلاعاتی وجود دارد در دسترس.در شرایط ما مستقیماً گفته می شود که یک پیشرفت با داده می شود مخرج مثبت

پس جواب واضح است:

q = 3

اینجا همه چیز ساده است. فکر می کنید اگر بیان مشکل به این صورت باشد چه اتفاقی می افتد:

جمله پنجم یک تصاعد هندسی 162 است و جمله اول این پیشروی 2 است. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

تفاوت در چیست؟ آره! در شرایط هیچ چیبدون ذکر مخرج نه مستقیم و نه غیر مستقیم. و در اینجا مشکل از قبل وجود داشت دو راه حل!

q = 3 و q = -3

بله بله! و با مثبت و منفی.) از نظر ریاضی، این واقعیت به این معنی است که وجود دارد دو پیشرفتکه متناسب با وظیفه است. و برای هر یک - مخرج خود را. برای سرگرمی، پنج ترم اول هر کدام را تمرین کرده و یادداشت کنید.)

حالا بیایید پیدا کردن شماره عضو را تمرین کنیم. این سخت ترین است، بله. بلکه خلاق تر است.

با توجه به یک پیشرفت هندسی:

3; 6; 12; 24; …

768 در این پیشروی چه عددی است؟

مرحله اول به همین صورت است: فرمول را بنویسnعضو ام!

b n = ب 1 · q n -1

و اکنون، طبق معمول، داده های شناخته شده را در آن جایگزین می کنیم. هوم... جور نمیشه! عضو اول کجا، مخرج کجا، بقیه کجا؟!

کجا، کجا... چرا به چشم نیاز داریم؟ تکان دادن مژه ها؟ این بار پیشرفت مستقیم در فرم به ما داده می شود دنباله هاآیا می توانیم ترم اول را ببینیم؟ می بینیم! این یک سه گانه است (b 1 = 3). در مورد مخرج چطور؟ ما هنوز آن را نمی بینیم، اما شمارش آن بسیار آسان است. البته اگر بفهمی

در اینجا ما در نظر می گیریم. به طور مستقیم با توجه به معنای یک پیشرفت هندسی: هر یک از اعضای آن را (به جز اولین) می گیریم و بر قبلی تقسیم می کنیم.

حداقل اینجوری:

q = 24/12 = 2

دیگر چه می دانیم؟ ما همچنین برخی از اعضای این پیشروی را می شناسیم که برابر با 768 است. تحت تعدادی عدد n:

b n = 768

ما شماره او را نمی دانیم، اما وظیفه ما دقیقاً یافتن او است.) بنابراین ما به دنبال آن هستیم. ما قبلاً تمام داده های لازم برای جایگزینی را در فرمول دانلود کرده ایم. به طور نامحسوس.)

در اینجا ما جایگزین می کنیم:

768 = 3 2n -1

ما موارد ابتدایی را می سازیم - هر دو قسمت را به سه تقسیم می کنیم و معادله را به شکل معمول بازنویسی می کنیم: مجهول در سمت چپ، شناخته شده در سمت راست.

ما گرفتیم:

2 n -1 = 256

در اینجا یک معادله جالب وجود دارد. ما باید "n" را پیدا کنیم. چه چیز غیرعادی است؟ بله، من بحث نمی کنم. در واقع، این ساده ترین است. به این دلیل نامیده می شود که مجهول (در این مورد، عدد است n) در می ایستد نشانگردرجه.

در مرحله آشنایی با یک تصاعد هندسی (این کلاس نهم) معادلات نمایی برای حل آموزش داده نمی شود، بله ... این موضوع برای دبیرستان است. اما هیچ چیز وحشتناکی وجود ندارد. حتی اگر نمی دانید چنین معادلاتی چگونه حل می شوند، بیایید سعی کنیم خودمان را پیدا کنیم nبا منطق ساده و عقل سلیم هدایت می شود.

شروع به بحث می کنیم. در سمت چپ ما یک دوش داریم تا حدی مشخص. ما هنوز نمی دانیم که این مدرک دقیقاً چیست، اما این ترسناک نیست. اما از طرف دیگر ما به طور قطع می دانیم که این مدرک برابر با 256 است! بنابراین ما به یاد می آوریم که تا چه حد دوس به ما 256 می دهد. آره! که در هشتمدرجه!

256 = 2 8

اگر درجات مشکل را به خاطر نیاوردید یا با تشخیص درجات مشکل، اشکالی ندارد: ما فقط این دو را به صورت متوالی به مربع، به مکعب، به توان چهارم، پنجم، و غیره برسانیم. انتخاب، در واقع، اما در این سطح، کاملاً سواری است.

به هر طریقی به این موارد خواهیم رسید:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

بنابراین 768 است نهمعضو پیشرفت ما همین، مشکل حل شد.)

جواب: 9

چی؟ حوصله سر بر؟ از ابتدایی خسته شده اید؟ موافق. و من هم همینطور بیایید به سطح بعدی برویم.)

وظایف پیچیده تر

و حالا پازل ها را به صورت ناگهانی تر حل می کنیم. نه دقیقاً فوق العاده است، اما برای رسیدن به پاسخ باید کمی روی آن کار کنید.

مثلا اینجوری

جمله دوم یک تصاعد هندسی را در صورتی بیابید که جمله چهارم آن 24- و جمله هفتم آن 192 باشد.

این یک کلاسیک از این ژانر است. برخی از دو عضو مختلف از پیشرفت شناخته شده اند، اما یک عضو دیگر باید پیدا شود. علاوه بر این، همه اعضا همسایه نیستند. چیزی که در ابتدا گیج کننده است، بله ...

همانطور که در ، ما دو روش را برای حل چنین مشکلاتی در نظر می گیریم. راه اول جهانی است. جبری. بی عیب و نقص با هر داده منبع کار می کند. بنابراین از اینجا شروع خواهیم کرد.)

هر عبارت را طبق فرمول رنگ می کنیم nعضو ام!

همه چیز دقیقاً مانند یک پیشرفت حسابی است. فقط این بار با آن کار می کنیم یکی دیگرفرمول کلی این همه است.) اما اصل یکسان است: ما می گیریم و به نوبه خودما داده های اولیه خود را با فرمول ترم n جایگزین می کنیم. برای هر عضو - خود آنها.

برای ترم چهارم می نویسیم:

ب 4 = ب 1 · q 3

-24 = ب 1 · q 3

بخور یک معادله کامل است.

برای ترم هفتم می نویسیم:

ب 7 = ب 1 · q 6

192 = ب 1 · q 6

در مجموع دو معادله برای همان پیشرفت .

ما یک سیستم از آنها جمع آوری می کنیم:

علیرغم ظاهر فوق العاده آن، این سیستم بسیار ساده است. واضح ترین راه حل، جایگزینی معمولی است. بیان می کنیم ب 1 از معادله بالا و جایگزینی به معادله پایینی:

کمی درگیر کردن با معادله پایین تر (کاهش توان و تقسیم بر 24-) به دست می آید:

q 3 = -8

اتفاقاً می توان به همین معادله به روش ساده تری هم رسید! چی؟ اکنون راه دیگری راز اما بسیار زیبا، قدرتمند و مفید برای حل چنین سیستم هایی را به شما نشان خواهم داد. چنین سیستم هایی که در معادلات آن می نشینند فقط کار می کندحداقل در یکی. تماس گرفت روش تقسیم ترمیک معادله به معادله دیگر

بنابراین ما یک سیستم داریم:

در هر دو معادله سمت چپ - کار کردن، و در سمت راست فقط یک عدد است. این خیلی نشانه خوبی است.) بیایید بگیریم و ... را تقسیم کنیم، مثلاً معادله پایین را بر بالا! یعنی چی، یک معادله را بر معادله دیگر تقسیم کنیم؟بسیار ساده. می گیریم سمت چپیک معادله (پایین تر) و تقسیم می کنیماو در سمت چپمعادله دیگر (بالا). سمت راست مشابه است: سمت راستیک معادله تقسیم می کنیمبر سمت راستیکی دیگر.

کل فرآیند تقسیم به صورت زیر است:

اکنون، با کاهش هر چیزی که کاهش می یابد، دریافت می کنیم:

q 3 = -8

چه چیزی در مورد این روش خوب است؟ بله، زیرا در فرآیند چنین تقسیمی، هر چیز بد و ناخوشایندی را می توان با خیال راحت کاهش داد و یک معادله کاملاً بی ضرر باقی می ماند! به همین دلیل است که داشتن آن بسیار مهم است فقط ضربحداقل در یکی از معادلات سیستم. ضرب وجود ندارد - چیزی برای کاهش وجود ندارد، بله ...

به طور کلی، این روش (مانند بسیاری از روش های غیر پیش پا افتاده دیگر برای حل سیستم ها) حتی شایسته یک درس جداگانه است. من قطعا نگاه دقیق تری به آن خواهم داشت. روزی…

با این حال، مهم نیست که چگونه سیستم را حل کنید، در هر صورت، اکنون باید معادله حاصل را حل کنیم:

q 3 = -8

مشکلی نیست: ریشه (مکعب) را استخراج می کنیم و - انجام شد!

لطفاً توجه داشته باشید که هنگام استخراج نیازی به قرار دادن +/minus در اینجا نیست. ما یک ریشه فرد (سوم) درجه داریم. و پاسخ همان است، بله.

بنابراین، مخرج پیشرفت پیدا می شود. منهای دو عالی! فرآیند در حال انجام است.)

برای جمله اول (مثلاً از معادله بالا) دریافت می کنیم:

عالی! عبارت اول را می دانیم، مخرج را می دانیم. و اکنون ما این فرصت را داریم که هر عضوی از پیشرفت را پیدا کنیم. از جمله دوم.)

برای عضو دوم، همه چیز بسیار ساده است:

ب 2 = ب 1 · q= 3 (-2) = -6

پاسخ: -6

بنابراین، ما راه جبری حل مسئله را مرتب کرده ایم. دشوار؟ زیاد نیست، موافقم طولانی و خسته کننده؟ بله قطعا. اما گاهی اوقات می توانید میزان کار را به میزان قابل توجهی کاهش دهید. برای این وجود دارد روش گرافیکیخوب و آشنا برای ما توسط .)

بیایید مشکل را ترسیم کنیم!

آره! دقیقا. دوباره پیشرفت خود را بر روی محور اعداد به تصویر می کشیم. نه لزوما توسط یک خط کش، لازم نیست فواصل مساوی بین اعضا حفظ شود (که اتفاقاً یکسان نخواهد بود، زیرا پیشرفت هندسی است!)، بلکه به سادگی به صورت شماتیکدنباله ما را بکشید

من اینجوری گرفتم:

حالا به عکس نگاه کنید و فکر کنید. چند عامل مساوی "q" سهم دارند چهارمو هفتماعضا؟ درست است، سه!

بنابراین، ما حق داریم بنویسیم:

-24q 3 = 192

از اینجا اکنون به راحتی می توان q را پیدا کرد:

q 3 = -8

q = -2

این عالی است، مخرج از قبل در جیب ما است. و اکنون دوباره به تصویر نگاه می کنیم: چه تعداد از این مخرج ها بین آنها نشسته است دومینو چهارماعضا؟ دو! بنابراین برای ثبت رابطه بین این اعضا، مخرج را مطرح می کنیم مربع.

در اینجا می نویسیم:

ب 2 · q 2 = -24 ، جایی که ب 2 = -24/ q 2

مخرج پیدا شده خود را با عبارت b 2 جایگزین می کنیم، بشماریم و بدست آوریم:

پاسخ: -6

همانطور که می بینید، همه چیز بسیار ساده تر و سریعتر از سیستم است. علاوه بر این، در اینجا ما اصلاً نیازی به شمارش اولین ترم نداشتیم! اصلا.)

در اینجا یک راه نور ساده و بصری وجود دارد. اما یک عیب جدی نیز دارد. حدس زدید؟ آره! فقط برای قطعات بسیار کوتاه پیشرفت خوب است. آنهایی که فاصله بین اعضای مورد علاقه ما خیلی زیاد نیست. اما در همه موارد دیگر ترسیم یک تصویر از قبل دشوار است، بله... سپس ما مشکل را به صورت تحلیلی، از طریق یک سیستم حل می کنیم.) و سیستم ها یک چیز جهانی هستند. با هر شماره ای معامله کنید.

حماسه دیگر:

ترم دوم پیشرفت هندسی 10 بیشتر از جمله اول و جمله سوم 30 بیشتر از دومی است. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

چه باحاله؟ اصلا! همه یکسان. ما دوباره شرط مسئله را به جبر خالص ترجمه می کنیم.

1) هر عبارت را طبق فرمول رنگ می کنیم nعضو ام!

جمله دوم: b 2 = b 1 q

ترم سوم: b 3 \u003d b 1 q 2

2) رابطه بین اعضا را از شرط مسئله یادداشت می کنیم.

خواندن شرط: عبارت دوم یک پیشروی هندسی 10 عدد بیشتر از جمله اول است.بس کن، این ارزشمند است!

پس می نویسیم:

ب 2 = ب 1 +10

و ما این عبارت را به ریاضیات محض ترجمه می کنیم:

ب 3 = ب 2 +30

دو معادله به دست آوردیم. ما آنها را در یک سیستم ترکیب می کنیم:

سیستم ساده به نظر می رسد. اما تعداد زیادی شاخص مختلف برای حروف وجود دارد. به جای اعضای دوم و سوم بیان آنها را از طریق عضو و مخرج اول جایگزین کنیم! بیهوده، یا چه، ما آنها را رنگ آمیزی کردیم؟

ما گرفتیم:

اما چنین سیستمی دیگر یک هدیه نیست، بله ... چگونه این را حل کنیم؟ متاسفانه، طلسم مخفی جهانی برای حل پیچیده است غیر خطیهیچ سیستمی در ریاضیات وجود ندارد و نمی تواند وجود داشته باشد. این خارق العاده است! اما اولین چیزی که هنگام تلاش برای شکستن چنین مهره سختی باید به ذهن شما برسد این است که بفهمید اما آیا یکی از معادلات سیستم به شکلی زیبا خلاصه نمی شود که مثلا بیان یکی از متغیرها بر حسب دیگری آسان شود؟

بیایید حدس بزنیم. معادله اول سیستم به وضوح ساده تر از معادله دوم است. ما او را شکنجه خواهیم کرد.) چرا از همان معادله اول تلاش نکنیم چیزیبیان از طریق چیزی؟از آنجایی که می خواهیم مخرج را پیدا کنیم q، در این صورت بیان آن برای ما بسیار سودمند خواهد بود ب 1 از طریق q.

بنابراین بیایید سعی کنیم این روش را با معادله اول و با استفاده از معادله های خوب قدیمی انجام دهیم:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

همه! در اینجا بیان کرده ایم غیر ضروریما متغیر (b 1) را از طریق لازم است(ق). بله، ساده ترین عبارت دریافت شده نیست. نوعی کسری ... اما سیستم ما در سطح مناسبی است، بله.)

معمول. چه کنیم - ما می دانیم.

ما ODZ را می نویسیم (لزوما!) :

q ≠ 1

همه چیز را در مخرج (q-1) ضرب می کنیم و همه کسرها را کاهش می دهیم:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

همه چیز را بر ده تقسیم می کنیم، براکت ها را باز می کنیم، همه چیز را در سمت چپ جمع می کنیم:

q 2 – 4 q + 3 = 0

نتیجه را حل می کنیم و دو ریشه می گیریم:

q 1 = 1

q 2 = 3

تنها یک پاسخ نهایی وجود دارد: q = 3 .

پاسخ: 3

همانطور که می بینید، راه حل اکثر مسائل برای فرمول عضو n یک پیشرفت هندسی همیشه یکسان است: می خوانیم با دقتشرط مسئله و با استفاده از فرمول عبارت n، تمام اطلاعات مفید را به جبر خالص تبدیل می کنیم.

برای مثال:

1) هر عضو داده شده در مسئله را طبق فرمول جداگانه می نویسیمnعضو ام

2) از شرط مسئله، ارتباط بین اعضا را به شکل ریاضی تبدیل می کنیم. ما یک معادله یا یک سیستم معادلات می سازیم.

3) معادله یا سیستم معادلات حاصل را حل می کنیم، پارامترهای مجهول پیشرفت را پیدا می کنیم.

4) در صورت وجود پاسخ مبهم، در جستجوی اطلاعات اضافی (در صورت وجود) شرایط مشکل را با دقت مطالعه می کنیم. همچنین پاسخ دریافتی را با شرایط ODZ (در صورت وجود) بررسی می کنیم.

و اکنون ما مشکلات اصلی را لیست می کنیم که اغلب منجر به خطا در روند حل مشکلات پیشرفت هندسی می شود.

1. حساب ابتدایی. عملیات با کسر و اعداد منفی.

2. اگر حداقل یکی از این سه نکته مشکل ساز باشد، به ناچار در این تاپیک دچار اشتباه خواهید شد. متأسفانه ... پس تنبل نباشید و آنچه در بالا ذکر شد را تکرار کنید. و پیوندها را دنبال کنید - بروید. گاهی اوقات کمک می کند.)

فرمول های اصلاح شده و مکرر

و اکنون اجازه دهید به چند مشکل معمولی امتحان با ارائه ای کمتر آشنا از شرایط نگاه کنیم. بله، بله، درست حدس زدید! این اصلاح شدهو عود کنندهفرمول های عضو n ما قبلاً با چنین فرمول هایی روبرو شده ایم و در پیشرفت حسابی کار کرده ایم. اینجا همه چیز شبیه است. اصل موضوع همین است.

به عنوان مثال، چنین مشکلی از OGE:

پیشرفت هندسی با فرمول داده می شود b n = 3 2 n . مجموع جمله اول و چهارم را پیدا کنید.

این بار پیشرفت نه کاملاً طبق معمول به ما داده می شود. نوعی فرمول پس چی؟ این فرمول است همچنین یک فرمولnعضو ام!همه ما می دانیم که فرمول عبارت n را می توان هم به صورت کلی، از طریق حروف و هم برای نوشت پیشرفت خاص. با خاصجمله اول و مخرج

در مورد ما، در واقع، یک فرمول اصطلاح کلی برای یک پیشروی هندسی با پارامترهای زیر به ما داده می شود:

ب 1 = 6

q = 2

بیایید بررسی کنیم؟) بیایید فرمول عبارت n را به صورت کلی بنویسیم و آن را جایگزین کنیم ب 1 و q. ما گرفتیم:

b n = ب 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

ما با استفاده از ویژگی های فاکتورسازی و توان، ساده می کنیم و به دست می آوریم:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

همانطور که می بینید، همه چیز منصفانه است. اما هدف ما از شما نشان دادن اشتقاق یک فرمول خاص نیست. این چنین است، یک انحراف غزلی. صرفاً برای درک.) هدف ما حل مشکل طبق فرمولی است که در شرط به ما داده شده است. آیا آن را می گیرید؟) بنابراین ما مستقیماً با فرمول اصلاح شده کار می کنیم.

ترم اول را حساب می کنیم. جایگزین n=1 به فرمول کلی:

ب 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

مثل این. ضمنا من زیاد تنبل نیستم و یک بار دیگر توجه شما را به یک اشتباه معمولی با محاسبه ترم اول جلب می کنم. به فرمول نگاه نکنید b n= 3 2n، بلافاصله عجله کنید بنویسید که اولین عضو یک تروئیکا است! این یک اشتباه بزرگ است، بله...)

ادامه می دهیم. جایگزین n=4 و اصطلاح چهارم را در نظر بگیرید:

ب 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

و در نهایت مقدار مورد نیاز را محاسبه می کنیم:

ب 1 + ب 4 = 6+48 = 54

جواب: 54

مشکل دیگر.

پیشرفت هندسی با شرایط زیر داده می شود:

ب 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

جمله چهارم پیشرفت را پیدا کنید.

در اینجا پیشرفت با فرمول مکرر داده می شود. بسیار خوب.) نحوه کار با این فرمول - ما هم می دانیم.

اینجا ما در حال بازیگری هستیم. گام به گام.

1) دو شمردن پی در پیعضو پیشرفت

اولین ترم قبلاً به ما داده شده است. منهای هفت. اما ترم بعدی، دوم، به راحتی با استفاده از فرمول بازگشتی قابل محاسبه است. البته اگر درک کنید که چگونه کار می کند.)

در اینجا اصطلاح دوم را در نظر می گیریم به قول معروف اول:

ب 2 = 3 ب 1 = 3 (-7) = -21

2) مخرج پیشروی را در نظر می گیریم

همچنین مشکلی نیست. مستقیم، به اشتراک بگذارید دومیندیک در اولین.

ما گرفتیم:

q = -21/(-7) = 3

3) فرمول را بنویسیدnعضو را به شکل معمول در نظر بگیرید و عضو مورد نظر را در نظر بگیرید.

بنابراین، ما اولین عبارت، مخرج را نیز می دانیم. در اینجا می نویسیم:

b n= -7 3n -1

ب 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

پاسخ: -189

همانطور که می بینید، کار با چنین فرمول هایی برای یک پیشروی هندسی اساساً هیچ تفاوتی با پیشرفت حسابی ندارد. فقط درک ماهیت و معنای کلی این فرمول ها مهم است. خوب، معنای پیشرفت هندسی نیز باید درک شود، بله.) و در این صورت هیچ اشتباه احمقانه ای وجود نخواهد داشت.

خوب، بیایید خودمان تصمیم بگیریم؟)

کارهای کاملا ابتدایی برای گرم کردن:

1. با توجه به یک پیشرفت هندسی که در آن ب 1 = 243 و q = -2/3. جمله ششم پیشرفت را پیدا کنید.

2. عبارت مشترک یک پیشروی هندسی با فرمول داده می شود b n = 5∙2 n +1 . شماره آخرین عضو سه رقمی این پیشرفت را پیدا کنید.

3. پیشروی هندسی با شرایط داده می شود:

ب 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

جمله پنجم پیشرفت را پیدا کنید.

کمی پیچیده تر:

4. با توجه به یک پیشرفت هندسی:

ب 1 =2048; q =-0,5

ششمین جمله منفی آن چیست؟

چه چیزی فوق العاده سخت به نظر می رسد؟ اصلا. منطق و درک معنای پیشرفت هندسی باعث نجات خواهد شد. خوب، فرمول ترم n، البته.

5. جمله سوم پیشرفت هندسی 14- و جمله هشتم 112 است. مخرج پیشروی را بیابید.

6. مجموع جمله های اول و دوم یک تصاعد هندسی 75 و مجموع جمله های دوم و سوم 150 است. جمله ششم پیشروی را بیابید.

پاسخ ها (به هم ریخته): 6; -3888; -1؛ 800; -32; 448.

این تقریباً تمام است. فقط برای یادگیری نحوه شمارش باقی مانده است مجموع n جمله اول یک پیشرفت هندسیبله کشف کنید پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش استو مقدار آن اتفاقاً یک چیز بسیار جالب و غیر معمول! در درس های بعدی بیشتر در مورد آن توضیح دهید.)

پیشرفت هندسیدر ریاضیات کمتر از حساب اهمیت ندارد. پیشروی هندسی به دنباله ای از اعداد b1، b2،...، b[n] گفته می شود که هر عضو بعدی از ضرب عضو قبلی در یک عدد ثابت به دست می آید. این عدد که میزان رشد یا کاهش پیشرفت را نیز مشخص می کند، نامیده می شود مخرج یک پیشرفت هندسیو نشان دهند

برای انتساب کامل یک تصاعد هندسی، علاوه بر مخرج، لازم است اولین جمله آن را نیز بشناسیم یا تعیین کنیم. برای مقدار مثبت مخرج، پیشروی یک دنباله یکنواخت است، و اگر این دنباله اعداد به طور یکنواخت کاهش می یابد و یکنواخت افزایش می یابد. موردی که مخرج برابر با یک باشد در عمل در نظر گرفته نمی شود، زیرا ما دنباله ای از اعداد یکسان داریم و جمع آنها مورد توجه عملی نیست.

اصطلاح کلی یک پیشرفت هندسیطبق فرمول محاسبه می شود

مجموع n جمله اول یک پیشرفت هندسیبا فرمول تعیین می شود

اجازه دهید راه حل مسائل پیشروی هندسی کلاسیک را در نظر بگیریم. بیایید با ساده ترین برای درک شروع کنیم.

مثال 1. جمله اول یک تصاعد هندسی 27 و مخرج آن 1/3 است. شش جمله اول یک تصاعد هندسی را پیدا کنید.

راه حل: شرط مسئله را در فرم می نویسیم

برای محاسبات، از فرمول n ام یک پیشرفت هندسی استفاده می کنیم

بر اساس آن، ما اعضای ناشناخته پیشرفت را پیدا می کنیم

همانطور که می بینید، محاسبه شرایط یک پیشرفت هندسی دشوار نیست. خود پیشرفت به این شکل خواهد بود

مثال 2. سه عضو اول یک تصاعد هندسی آورده شده است: 6; -12; 24. مخرج و جمله هفتم را بیابید.

راه حل: مخرج پیشروی هندسی را بر اساس تعریف آن محاسبه می کنیم

ما یک تصاعد هندسی متناوب داریم که مخرج آن -2 است. جمله هفتم با فرمول محاسبه می شود

در این کار حل شده است.

مثال 3. یک تصاعد هندسی توسط دو نفر از اعضای آن ارائه شده است . جمله دهم پیشرفت را پیدا کنید.

راه حل:

بیایید مقادیر داده شده را از طریق فرمول ها بنویسیم

طبق قوانین، لازم است مخرج را پیدا کرده و سپس مقدار مورد نظر را جستجو کنیم، اما برای جمله دهم داریم

همین فرمول را می توان بر اساس دستکاری های ساده با داده های ورودی به دست آورد. ترم ششم سریال را بر دیگری تقسیم می کنیم در نتیجه به دست می آوریم

اگر مقدار حاصل در جمله ششم ضرب شود، عدد دهم را بدست می آوریم

بنابراین، برای چنین مشکلاتی، با کمک تبدیل های ساده به روشی سریع، می توانید راه حل مناسب را پیدا کنید.

مثال 4. پیشروی هندسی با فرمول های مکرر داده می شود

مخرج پیشروی هندسی و مجموع شش جمله اول را پیدا کنید.

راه حل:

داده های داده شده را در قالب یک سیستم معادلات می نویسیم

مخرج را با تقسیم معادله دوم بر معادله اول بیان کنید

جمله اول پیشروی را از معادله اول بیابید

پنج عبارت زیر را محاسبه کنید تا مجموع پیشرفت هندسی را به دست آورید

درس و ارائه با موضوع: "توالی اعداد. پیشرفت هندسی"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، انتقادات، پیشنهادات خود را فراموش نکنید! تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی می شود.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه نهم
قدرت و ریشه توابع و نمودارها

بچه ها امروز با نوع دیگری از پیشرفت آشنا می شویم.
موضوع درس امروز پیشرفت هندسی است.

پیشرفت هندسی

مثال. 1،2،4،8،16… پیشرفت هندسی، که در آن عضو اول برابر با یک و $q=2$ است.

مثال. 8،8،8،8… یک تصاعد هندسی که اولین جمله آن هشت است،
و $q=1$.

مثال. 3,-3,3,-3,3... یک تصاعد هندسی که اولین جمله آن سه است،
و $q=-1$.

پیشروی هندسی دارای خاصیت یکنواختی است.
اگر $b_(1)>0$، $q>1$،
سپس توالی در حال افزایش است.
اگر $b_(1)>0$، $0 دنباله معمولاً به صورت: $b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n)، ...$ نشان داده می شود.

درست مانند یک تصاعد حسابی، اگر تعداد عناصر در یک تصاعد هندسی محدود باشد، آن پیشروی را یک پیشرفت هندسی محدود می نامند.

$b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n-2)، b_(n-1)، b_(n)$.
توجه داشته باشید که اگر دنباله یک تصاعد هندسی است، دنباله عبارت های مربعی نیز یک تصاعد هندسی است. دنباله دوم عبارت اول $b_(1)^2$ و مخرج $q^2$ دارد.

فرمول عضو n یک پیشرفت هندسی

بیایید به مثال های خود برگردیم.

مثال. 1،2،4،8،16... یک تصاعد هندسی که جمله اول آن برابر با یک است،
و $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

مثال. 16،8،4،2،1،1/2... یک تصاعد هندسی که جمله اول آن شانزده و $q=\frac(1)(2)$ است.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

مثال. 8،8،8،8... یک تصاعد هندسی که در آن جمله اول هشت و $q=1$ است.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

مثال. 3،-3،3،-3،3... یک تصاعد هندسی که اولین جمله آن سه و $q=-1$ است.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

مثال. با توجه به یک پیشرفت هندسی $b_(1)، b_(2)، …، b_(n)، … $.
الف) معلوم است که $b_(1)=6، q=3$. $b_(5)$ را پیدا کنید.
ب) معلوم است که $b_(1)=6، q=2، b_(n)=768$. n را پیدا کنید.
ج) معلوم است که $q=-2، b_(6)=96$. $b_(1)$ را پیدا کنید.
د) معلوم است که $b_(1)=-2، b_(12)=4096$. q را پیدا کنید.

راه حل.
الف) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ب) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ از $2^7=128 => n-1=7; n=8 دلار
ج) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
د) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

مثال. تفاوت بین اعضای هفتم و پنجم پیشرفت هندسی 192 است، مجموع اعضای پنجم و ششم پیشروی 192 است. عضو دهم این پیشروی را پیدا کنید.

راه حل.
می دانیم که: $b_(7)-b_(5)=192$ و $b_(5)+b_(6)=192$.
ما همچنین می دانیم: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
سپس:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
ما یک سیستم معادلات بدست آوردیم:
$\begin(موارد)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(موارد)$.
با معادل سازی، معادلات ما به دست می آیند:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
ما دو راه حل q دریافت کردیم: $q_(1)=2، q_(2)=-1$.
به طور متوالی در معادله دوم جایگزین کنید:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ هیچ راه حلی وجود ندارد.
دریافتیم که: $b_(1)=4، q=2$.
بیایید عبارت دهم را پیدا کنیم: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

مجموع یک پیشرفت هندسی محدود

اجازه دهید یک پیشرفت هندسی محدود داده شود: $b_(1)،b_(2)،…،b_(n-1)،b_(n)$.
بیایید نماد را برای مجموع عبارت‌های آن معرفی کنیم: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
در صورتی که $q=1$. همه اعضای پیشروی هندسی برابر با عضو اول هستند، پس واضح است که $S_(n)=n*b_(1)$.
اکنون مورد $q≠1$ را در نظر بگیرید.
مقدار فوق را در q ضرب کنید.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
توجه داشته باشید:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

ما فرمول مجموع یک پیشرفت هندسی محدود را به دست آورده ایم.

راه حل.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

مثال.
پنجمین عضو پیشروی هندسی را پیدا کنید که مشخص است: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

راه حل.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
4095-$(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

ویژگی مشخصه یک پیشرفت هندسی

یک دنباله اعداد فقط زمانی یک تصاعد هندسی است که مجذور هر یک از جمله های آن برابر با حاصل ضرب دو جمله همسایه آن پیشرفت باشد. فراموش نکنید که برای یک پیشرفت محدود این شرط برای ترم اول و آخر برآورده نمی شود.

مدول هر عضو یک پیشروی هندسی برابر است با میانگین هندسی دو عضو مجاور آن.

راه حل.
بیایید از ویژگی مشخصه استفاده کنیم:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ و $x_(2)=-1$.
راه حل های ما را به ترتیب در عبارت اصلی جایگزین کنید:
با $x=2$، دنباله را دریافت کردیم: 4;6;9 یک پیشروی هندسی با $q=1.5$ است.
با $x=-1$، دنباله را دریافت کردیم: 1;0;0.
پاسخ: $x=2.$

وظایف برای راه حل مستقل

بیایید یک سری را در نظر بگیریم.

7 28 112 448 1792...

کاملاً واضح است که ارزش هر یک از عناصر آن دقیقاً چهار برابر بیشتر از عنصر قبلی است. بنابراین این سریال یک پیشرفت است.

پیشروی هندسی دنباله ای نامتناهی از اعداد است که ویژگی اصلی آن این است که با ضرب در یک عدد خاص عدد بعدی از عدد قبلی بدست می آید. این با فرمول زیر بیان می شود.

a z +1 =a z q، که z تعداد عنصر انتخاب شده است.

بر این اساس، z ∈ N.

دوره ای که یک پیشرفت هندسی در مدرسه مطالعه می شود کلاس 9 است. مثال ها به شما در درک مفهوم کمک می کنند:

0.25 0.125 0.0625...

بر اساس این فرمول، مخرج پیشرفت را می توان به صورت زیر یافت:

نه q و نه b z نمی توانند صفر باشند. همچنین هر یک از عناصر پیشرفت نباید برابر با صفر باشد.

بر این اساس، برای پیدا کردن عدد بعدی در سری، باید عدد آخر را در q ضرب کنید.

برای مشخص کردن این پیشرفت باید اولین عنصر و مخرج آن را مشخص کنید. پس از آن، امکان یافتن هر یک از عبارت های بعدی و مجموع آنها وجود دارد.

انواع

بسته به q و a 1، این پیشرفت به چند نوع تقسیم می شود:

• اگر هر دو a 1 و q بزرگتر از یک باشند، چنین دنباله ای یک پیشرفت هندسی است که با هر عنصر بعدی افزایش می یابد. نمونه ای از این موارد در زیر ارائه شده است.

مثال: a 1 =3، q=2 - هر دو پارامتر بزرگتر از یک هستند.

سپس دنباله عددی را می توان به صورت زیر نوشت:

3 6 12 24 48 ...

• اگر |q| کمتر از یک، یعنی ضرب در آن معادل تقسیم است، سپس یک پیشروی با شرایط مشابه یک پیشرفت هندسی کاهشی است. نمونه ای از این موارد در زیر ارائه شده است.

مثال: a 1 =6، q=1/3 - a 1 بزرگتر از یک است، q کمتر است.

سپس دنباله عددی را می توان به صورت زیر نوشت:

6 2 2/3 ... - هر عنصری 3 برابر بزرگتر از عنصر بعدی است.

• متغیر- علامت. اگر q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

مثال: a 1 = -3، q = -2 - هر دو پارامتر کمتر از صفر هستند.

سپس دنباله را می توان اینگونه نوشت:

3, 6, -12, 24,...

فرمول ها

برای استفاده راحت از پیشرفت های هندسی، فرمول های زیادی وجود دارد:

• فرمول عضو z. به شما امکان می دهد عنصر را با یک عدد خاص بدون محاسبه اعداد قبلی محاسبه کنید.

مثال:q = 3, آ 1 = 4. محاسبه عنصر چهارم پیشرفت الزامی است.

راه حل:آ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• مجموع اولین عناصری که تعداد آنها برابر است z. به شما امکان می دهد مجموع تمام عناصر یک دنباله را تا سقف محاسبه کنیدیک zشامل.

از آنجایی که (1-q) در مخرج است، سپس (1 - q)≠ 0، بنابراین q برابر با 1 نیست.

نکته: اگر q=1 باشد، آنگاه پیشرفت یک سری از یک عدد بی نهایت تکرار خواهد شد.

مجموع یک تصاعد هندسی، مثال:آ 1 = 2, q= -2. S 5 را محاسبه کنید.

راه حل:اس 5 = 22 - محاسبه با فرمول.

• مقدار اگر |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

مثال:آ 1 = 2 , q= 0.5. مقدار را پیدا کنید.

راه حل:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

برخی از خواص:

• خاصیت مشخصه اگر شرط زیر باشد برای هر کدام انجام می شودz، سپس سری اعداد داده شده یک پیشرفت هندسی است:

یک z 2 = یک z -1 · آz+1

• همچنین، مجذور هر عدد از یک تصاعد هندسی با جمع کردن مربع های هر دو عدد دیگر در یک سری داده شده، در صورتی که از این عنصر مساوی فاصله داشته باشند، به دست می آید.

یک z 2 = یک z - تی 2 + یک z + تی 2 ، جایی کهتیفاصله بین این اعداد است.

• عناصردر q متفاوت استیک بار.
• لگاریتم های عناصر پیشروی نیز یک پیشرفت را تشکیل می دهند، اما از قبل حسابی، یعنی هر یک از آنها با یک عدد معین از قبلی بزرگتر است.

نمونه هایی از برخی مسائل کلاسیک

برای درک بهتر پیشرفت هندسی، مثال هایی با راه حل برای درجه 9 می تواند کمک کند.

• شرایط:آ 1 = 3, آ 3 = 48. پیدا کنیدq.

راه حل: هر عنصر بعدی بزرگتر از عنصر قبلی استq یک بار.بیان برخی از عناصر از طریق برخی دیگر با استفاده از مخرج ضروری است.

از این رو،آ 3 = q 2 · آ 1

هنگام تعویضq= 4

• شرایط:آ 2 = 6, آ 3 = 12. S 6 را محاسبه کنید.

راه حل:برای انجام این کار کافی است q، اولین عنصر را پیدا کرده و آن را در فرمول جایگزین کنید.

آ 3 = q· آ 2 از این رو،q= 2

a 2 = q یک 1،از همین رو a 1 = 3

S 6 = 189

• · آ 1 = 10, q= -2. عنصر چهارم پیشرفت را پیدا کنید.

راه حل: برای این کار کافی است عنصر چهارم را از طریق اولی و از طریق مخرج بیان کنیم.

a 4 = q 3· a 1 = -80

مثال کاربردی:

• مشتری بانک مبلغ 10000 روبل سپرده گذاری کرد که طبق شرایط آن هر سال مشتری 6٪ از آن را به مبلغ اصلی اضافه می کند. بعد از 4 سال چقدر پول در حساب شما خواهد بود؟

راه حل: مبلغ اولیه 10 هزار روبل است. بنابراین یک سال پس از سرمایه گذاری، حساب مبلغی معادل 10000 + 10000 خواهد داشت. · 0.06 = 10000 1.06

بر این اساس مبلغ در حساب پس از یک سال دیگر به شرح زیر بیان می شود:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

یعنی هر سال این مقدار 1.06 برابر افزایش می یابد. یعنی برای یافتن مقدار وجوه موجود در حساب پس از 4 سال کافی است عنصر چهارم پیشرفت را پیدا کنید که عنصر اول برابر با 10 هزار و مخرج آن برابر با 1.06 است.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

نمونه هایی از وظایف برای محاسبه مجموع:

در مسائل مختلف از پیشروی هندسی استفاده می شود. مثالی برای یافتن مجموع می توان به صورت زیر ارائه کرد:

آ 1 = 4, q= 2، محاسبه کنیدS5.

راه حل: تمام داده های لازم برای محاسبه مشخص است، فقط باید آنها را در فرمول جایگزین کنید.

اس 5 = 124

• آ 2 = 6, آ 3 = 18. مجموع شش عنصر اول را محاسبه کنید.

راه حل:

Geom. پیشرفت، هر عنصر بعدی q برابر بیشتر از قبلی است، یعنی برای محاسبه مجموع، باید عنصر را بدانیدآ 1 و مخرجq.

آ 2 · q = آ 3

q = 3

به همین ترتیب، ما باید پیدا کنیمآ 1 ، دانستنآ 2 وq.

آ 1 · q = آ 2

a 1 =2

اس 6 = 728.

قبلاً در مصر باستان، آنها نه تنها حساب، بلکه پیشرفت هندسی را نیز می دانستند. برای مثال، وظیفه‌ای از پاپیروس رایند آمده است: «هفت چهره هفت گربه دارد. هر گربه هفت موش می خورد، هر موش هفت خوشه ذرت می خورد، هر خوشه می تواند هفت پیمانه جو بکارد. اعداد این مجموعه و مجموع آنها چقدر است؟

برنج. 1. مسئله پیشرفت هندسی مصر باستان

این کار بارها با تغییرات مختلف در میان مردمان دیگر در زمان های دیگر تکرار شد. به عنوان مثال، در نوشته شده در قرن سیزدهم. «کتاب چرتکه» نوشته لئوناردو پیزا (فیبوناچی) مشکلی دارد که در آن 7 پیرزن در راه رم (ظاهراً زائر) ظاهر می شوند که هر کدام دارای 7 قاطر است که هر کدام دارای 7 کیسه است که هر کدام از آنها. دارای 7 نان که هر کدام دارای 7 کارد است که هر کدام در 7 غلاف است. مشکل می پرسد چند آیتم وجود دارد.

مجموع n عضو اول پیشرفت هندسی S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . این فرمول را می توان به عنوان مثال به صورت زیر ثابت کرد: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

بیایید عدد b 1 q n را به S n اضافه کنیم و بدست آوریم:

از این رو S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) ، و فرمول لازم را بدست می آوریم.

قبلاً روی یکی از لوح های گلی بابل باستان که قدمت آن به قرن ششم بازمی گردد. قبل از میلاد مسیح e.، شامل مجموع 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1 است. درست است، مانند تعدادی از موارد دیگر، ما نمی دانیم که این واقعیت از کجا برای بابلی ها شناخته شده است. .

رشد سریع یک پیشرفت هندسی در تعدادی از فرهنگ ها، به ویژه در هند، مکرراً به عنوان نماد روشنی از بیکران بودن جهان استفاده می شود. در افسانه معروف پیدایش شطرنج، حاکم به مخترعشان این فرصت را می دهد که خودش جایزه ای انتخاب کند و از او خواسته می شود تا آنقدر دانه گندم که اگر در خانه اول شطرنج قرار گیرد به دست می آید. صفحه شطرنج، دو در دوم، چهار در سوم، هشت در چهارم، و غیره، هر بار تعداد دو برابر می شود. ولادیکا فکر می کرد که حداکثر چند کیسه است، اما او اشتباه محاسبه کرد. به راحتی می توان فهمید که برای تمام 64 مربع صفحه شطرنج، مخترع باید دانه (2 64 - 1) را دریافت کند که به عنوان یک عدد 20 رقمی بیان می شود. حتی اگر تمام سطح زمین کاشته شود، حداقل 8 سال طول می کشد تا تعداد مورد نیاز دانه جمع آوری شود. این افسانه گاهی اوقات به عنوان اشاره ای به امکانات تقریبا نامحدود پنهان در بازی شطرنج تعبیر می شود.

این واقعیت که این عدد واقعا 20 رقمی است به راحتی قابل مشاهده است:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (محاسبه دقیق تر 1.84 10 19 را می دهد). اما من نمی دانم آیا می توانید بفهمید که این عدد با چه رقمی ختم می شود؟

اگر مخرج در قدر مطلق بزرگتر از 1 باشد، یک تصاعد هندسی افزایش می یابد، یا اگر کمتر از یک باشد، کاهش می یابد. در مورد دوم، عدد q n می تواند به طور دلخواه برای n به اندازه کافی بزرگ کوچک شود. در حالی که افزایش نمایی به طور غیرمنتظره ای سریع افزایش می یابد، نمایی کاهشی به همان سرعت کاهش می یابد.

هرچه n بزرگتر باشد، عدد q n ضعیفتر از صفر متفاوت است و مجموع n عضو پیشرفت هندسی S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) به عدد S \u003d b 1 نزدیکتر است. / (1 - ق) . (به عنوان مثال، F. Viet چنین استدلال کرد). عدد S را مجموع یک تصاعد هندسی بی نهایت در حال کاهش می نامند. با این حال، برای قرن‌های متمادی، این پرسش که معنای مجموع پیشرفت هندسی ALL چیست، با تعداد نامتناهی اصطلاحات آن، به اندازه کافی برای ریاضیدانان روشن نبود.

به عنوان مثال، در آپوریاهای زنو "گزیدن" و "آخیل و لاک پشت" یک پیشرفت هندسی رو به کاهش را می توان مشاهده کرد. در حالت اول، به وضوح نشان داده می شود که کل جاده (طول 1 را فرض کنید) مجموع تعداد بی نهایت قطعه 1/2، 1/4، 1/8 و غیره است. البته این مورد از دیدگاه ایده ها در مورد پیشرفت هندسی بینهایت جمع محدود. و با این حال - چگونه می تواند باشد؟

در آپوریا درباره آشیل، وضعیت کمی پیچیده‌تر است، زیرا در اینجا مخرج پیشروی برابر با 1/2 نیست، بلکه با عدد دیگری برابر است. مثلا آشیل با سرعت v بدود، لاک پشت با سرعت u حرکت کند و فاصله اولیه بین آنها l باشد. آشیل این فاصله را در زمان l/v خواهد دوید، لاک پشت در طول این مدت فاصله lu/v را طی خواهد کرد. وقتی آشیل از این بخش عبور می کند، فاصله بین او و لاک پشت برابر با l (u / v) 2 و غیره می شود. معلوم می شود که رسیدن به لاک پشت به معنای یافتن مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش با اول است. عبارت l و مخرج u/v. این مجموع - قطعه ای که آشیل در نهایت به نقطه ملاقات با لاک پشت خواهد رفت - برابر است با l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . اما باز هم، این نتیجه را چگونه باید تفسیر کرد و چرا اصلاً منطقی است، برای مدت طولانی چندان روشن نبود.

مجموع یک پیشروی هندسی توسط ارشمیدس هنگام تعیین مساحت قسمتی از سهمی استفاده شد. بگذارید بخش داده شده از سهمی با وتر AB محدود شود و مماس در نقطه D سهمی موازی با AB باشد. فرض کنید C نقطه وسط AB، E نقطه وسط AC، F نقطه وسط CB باشد. رسم خطوط موازی با DC از طریق نقاط A، E، F، B. اجازه دهید مماس رسم شده در نقطه D، این خطوط در نقاط K، L، M، N قطع شوند. بیایید بخش های AD و DB را نیز ترسیم کنیم. بگذارید خط EL خط AD را در نقطه G و سهمی را در نقطه H قطع کند. خط FM خط DB را در نقطه Q و سهمی را در نقطه R قطع می کند. بر اساس تئوری کلی مقاطع مخروطی، DC قطر یک سهمی است (یعنی قطعه ای موازی با محور آن). آن و مماس در نقطه D می توانند به عنوان محورهای مختصات x و y عمل کنند، که در آن معادله سهمی به صورت y 2 \u003d 2px نوشته می شود (x فاصله D تا هر نقطه با قطر معین است، y طول a است. پاره موازی با مماس معین از این نقطه قطر تا نقطه ای در خود سهمی).

به موجب معادله سهمی، DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , و از آنجایی که DK = 2DL , پس KA = 4LH . از آنجایی که KA = 2LG , LH = HG . مساحت بخش ADB سهمی برابر است با مساحت مثلث ΔADB و مساحت قطعات AHD و DRB با هم. به نوبه خود، مساحت بخش AHD به طور مشابه برابر با مساحت مثلث AHD و بخش های باقی مانده AH و HD است که با هر یک از آنها می توان همان عملیات را انجام داد - به یک مثلث (Δ) تقسیم می شود و دو بخش باقی مانده () و غیره:

مساحت مثلث ΔAHD برابر با نصف مساحت مثلث ΔALD است (پایه مشترک AD دارند و ارتفاعات 2 برابر متفاوت است) که به نوبه خود برابر است با نصف مساحت . مثلث ΔAKD و بنابراین نصف مساحت مثلث ΔACD. بنابراین، مساحت مثلث ΔAHD برابر با یک چهارم مساحت مثلث ΔACD است. به همین ترتیب، مساحت مثلث ΔDRB برابر با یک چهارم مساحت مثلث ΔDFB است. بنابراین مساحت مثلث های ∆AHD و ∆DRB با هم برابر با یک چهارم مساحت مثلث ∆ADB است. با تکرار این عمل همانطور که در بخش های AH، HD، DR و RB اعمال می شود، مثلث هایی نیز از بین آنها انتخاب می شود که مساحت آنها با هم 4 برابر کمتر از مساحت مثلث های ΔAHD و ΔDRB گرفته شده است. با هم، و بنابراین 16 برابر کمتر از مساحت مثلث ΔADB. و به همین ترتیب:

بنابراین، ارشمیدس ثابت کرد که "هر قطعه محصور بین یک خط مستقیم و یک سهمی چهار سوم مثلث است که قاعده یکسان و ارتفاع برابر با آن دارد."