چگونه مساحت کل یک مثلث را پیدا کنیم. چگونه مساحت یک مثلث را پیدا کنیم. فرمول های مثلثی

مساحت مثلث - فرمول ها و نمونه هایی از حل مسئله

در زیر آمده است فرمول هایی برای یافتن مساحت یک مثلث دلخواهکه برای یافتن مساحت هر مثلث، صرف نظر از خواص، زوایای یا ابعاد آن مناسب هستند. فرمول ها به صورت تصویر ارائه شده اند، در اینجا توضیحاتی برای کاربرد یا توجیه درستی آنها ارائه شده است. همچنین یک شکل جداگانه مطابقت علامت های حروف در فرمول ها و نمادهای گرافیکی در نقاشی را نشان می دهد.

توجه داشته باشید . اگر مثلث دارای ویژگی‌های خاصی است (متساوی الساقین، مستطیلی، متساوی الاضلاع)، می‌توانید از فرمول‌های زیر و همچنین فرمول‌های ویژه‌ای که فقط برای مثلث‌هایی با این ویژگی‌ها صادق است استفاده کنید:

• "فرمول های مساحت مثلث متساوی الاضلاع"

فرمول های مساحت مثلث

توضیحات برای فرمول ها:
الف، ب، ج- طول اضلاع مثلثی که می خواهیم مساحت آن را پیدا کنیم
r- شعاع دایره محاط شده در مثلث
آر- شعاع دایره محدود شده به دور مثلث
ساعت- ارتفاع مثلث، به طرف پایین آمده است
پ- نیم محیط مثلث، 1/2 مجموع اضلاع آن (محیط محیط)
α - زاویه مقابل ضلع a مثلث
β - زاویه مقابل ضلع b مثلث
γ - زاویه مقابل ضلع c مثلث
ساعت آ, ساعت ب , ساعت ج- ارتفاع مثلث، به ضلع a، b، c کاهش یافته است

لطفاً توجه داشته باشید که نماد داده شده با شکل بالا مطابقت دارد، به طوری که هنگام حل یک مسئله واقعی در هندسه، جایگزین کردن مقادیر صحیح در مکان های مناسب در فرمول از نظر بصری آسان تر خواهد بود.

• مساحت مثلث است نصف حاصلضرب ارتفاع مثلث و طول ضلعی که این ارتفاع روی آن پایین آمده است(فرمول 1). درستی این فرمول را می توان منطقی فهمید. ارتفاع پایین‌تر از پایه، یک مثلث دلخواه را به دو مثلث مستطیلی تقسیم می‌کند. اگر هر یک از آنها را به یک مستطیل با ابعاد b و h کامل کنیم، واضح است که مساحت این مثلث ها دقیقاً برابر با نصف مساحت مستطیل خواهد بود (Spr = bh)
• مساحت مثلث است نصف حاصل ضرب دو ضلع آن و سینوس زاویه بین آنها(فرمول 2) (نمونه ای از حل مسئله با استفاده از این فرمول را در زیر ببینید). علیرغم این واقعیت که به نظر متفاوت از قبلی است، به راحتی می توان آن را به آن تبدیل کرد. اگر ارتفاع را از زاویه B به ضلع b کاهش دهیم، معلوم می شود که حاصل ضرب ضلع a و سینوس زاویه γ، با توجه به ویژگی های سینوس در یک مثلث قائم الزاویه، برابر است با ارتفاع مثلث رسم شده توسط ما که فرمول قبلی را به ما می دهد
• مساحت یک مثلث دلخواه را می توان یافت از طریق کار کردننصف شعاع دایره ای که با مجموع طول تمام اضلاع آن در آن حک شده است(فرمول 3)، به عبارت دیگر، شما باید نیم محیط مثلث را در شعاع دایره محاطی ضرب کنید (به خاطر سپردن آن آسان تر است)
• مساحت یک مثلث دلخواه را می‌توان با تقسیم حاصلضرب تمام اضلاع آن بر 4 شعاع دایره‌ای که به دور آن احاطه شده است پیدا کرد (فرمول 4)
• فرمول 5 مساحت یک مثلث را بر حسب طول اضلاع و نیم محیط آن (نصف مجموع اضلاع آن) پیدا می کند.
• فرمول هرون(6) نمایشی از همان فرمول بدون استفاده از مفهوم نیم محیط، تنها از طریق طول اضلاع است.
• مساحت یک مثلث دلخواه برابر است با حاصل ضرب مربع ضلع مثلث و سینوس های زوایای مجاور این ضلع تقسیم بر سینوس دوگانه زاویه مقابل این ضلع (فرمول 7)
• مساحت یک مثلث دلخواه را می‌توان حاصل ضرب دو مربع دایره‌ای که به دور آن و سینوس‌های هر یک از زوایای آن احاطه شده‌اند، یافت. (فرمول 8)
• اگر طول یک ضلع و قدر دو زاویه مجاور آن مشخص باشد، مساحت مثلث را می توان به عنوان مربع این ضلع، تقسیم بر مجموع مضاعف کتانژانت های این ضلع ها یافت. زاویه (فرمول 9)
• اگر فقط طول هر یک از ارتفاعات یک مثلث مشخص باشد (فرمول 10)، مساحت چنین مثلثی با طول این ارتفاعات نسبت معکوس دارد، مانند فرمول هرون.
• فرمول 11 به شما امکان محاسبه را می دهد مساحت یک مثلث با توجه به مختصات رئوس آن، که به صورت مقادیر (x;y) برای هر یک از رئوس داده می شود. لطفاً توجه داشته باشید که مقدار حاصل باید به صورت مدول گرفته شود، زیرا مختصات رئوس فردی (یا حتی همه) می تواند در ناحیه مقادیر منفی باشد.

توجه داشته باشید. در زیر نمونه هایی از حل مسائل هندسه برای یافتن مساحت مثلث آورده شده است. اگر نیاز به حل مشکلی در هندسه دارید که مشابه آن در اینجا نیست - در مورد آن در انجمن بنویسید. در راه حل ها، تابع sqrt() را می توان به جای نماد "ریشه مربع" استفاده کرد که در آن sqrt نماد ریشه مربع است و عبارت رادیکال در براکت نشان داده شده است..گاهی اوقات می توان از نماد برای عبارات رادیکال ساده استفاده کرد √

یک وظیفه. مساحت دو ضلع و زاویه بین آنها را پیدا کنید

اضلاع مثلث 5 و 6 سانتی متر است که زاویه بین آنها 60 درجه است. مساحت یک مثلث را پیدا کنید.

راه حل.

برای حل این مشکل از فرمول شماره دو از قسمت تئوری درس استفاده می کنیم.
مساحت مثلث را می توان از طول دو ضلع و سینوس زاویه بین آنها پیدا کرد و برابر است با
S=1/2 ab sin γ

از آنجایی که ما تمام داده های لازم برای حل (طبق فرمول) را داریم، فقط می توانیم مقادیر را از بیانیه مشکل در فرمول جایگزین کنیم:
S=1/2*5*6*sin60

در جدول مقادیر توابع مثلثاتی، مقدار سینوس 60 درجه را پیدا کرده و در عبارت جایگزین می کنیم. برابر با ریشه سه در دو خواهد بود.
S = 15 √3 / 2

پاسخ: 7.5 √3 (بسته به نیاز معلم، احتمالاً امکان ترک 15 √3/2 وجود دارد)

یک وظیفه. مساحت مثلث متساوی الاضلاع را پیدا کنید

مساحت مثلث متساوی الاضلاع با ضلع 3 سانتی متر را پیدا کنید.

راه حل .

مساحت یک مثلث را می توان با استفاده از فرمول هرون پیدا کرد:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

از a \u003d b \u003d c، فرمول مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع به شکل زیر خواهد بود:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

پاسخ: 9 √3 / 4.

یک وظیفه. هنگام تغییر طول اضلاع، ناحیه را تغییر دهید

اگر اضلاع آن چهار برابر شود مساحت مثلث چند برابر می شود؟

راه حل.

از آنجایی که ابعاد اضلاع مثلث برای ما ناشناخته است، برای حل مسئله فرض می کنیم که طول اضلاع به ترتیب برابر با اعداد دلخواه a، b، c است. سپس برای پاسخ به سوال، مساحت این مثلث را پیدا می کنیم و سپس مساحت مثلثی را می یابیم که اضلاع آن چهار برابر بزرگتر است. نسبت مساحت این مثلث ها پاسخ مسئله را به ما می دهد.

در مرحله بعد، توضیح متنی حل مسئله را به صورت مرحله ای ارائه می دهیم. با این حال، در انتها، همان راه حل به شکل گرافیکی ارائه شده است که برای درک راحت تر است. کسانی که مایلند می توانند بلافاصله راه حل را رها کنند.

برای حل از فرمول هرون استفاده می کنیم (به قسمت تئوری درس مراجعه کنید). به نظر می رسد این است:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(خط اول تصویر زیر را ببینید)

طول اضلاع یک مثلث دلخواه توسط متغیرهای a,b,c به دست می آید.
اگر اضلاع 4 برابر افزایش یابد، مساحت مثلث جدید c خواهد بود:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(خط دوم را در تصویر زیر ببینید)

همانطور که می بینید، 4 یک عامل مشترک است که می توان از هر چهار عبارت بر اساس قوانین کلی ریاضیات پرانتز کرد.
سپس

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - در خط سوم تصویر
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - خط چهارم

از عدد 256 ریشه مربع کاملاً استخراج می شود بنابراین آن را از زیر ریشه خارج می کنیم
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(خط پنجم شکل زیر را ببینید)

برای پاسخ به سوال مطرح شده در مسئله، کافی است مساحت مثلث حاصل را بر مساحت مثلث اصلی تقسیم کنیم.
نسبت مساحت ها را با تقسیم عبارات به یکدیگر و کاهش کسر حاصل تعیین می کنیم.

مثلث یک شکل هندسی است که از سه خط مستقیم تشکیل شده است که در نقاطی که روی یک خط مستقیم قرار ندارند به هم متصل می شوند. نقاط اتصال خطوط، رئوس مثلث هستند که با حروف لاتین (مثلا A، B، C) مشخص می شوند. خطوط مستقیم متصل کننده یک مثلث را پاره می گویند که معمولاً با حروف لاتین نیز مشخص می شوند. انواع مثلث های زیر وجود دارد:

• مستطیل شکل.
• دیر فهم.
• حاد زاویه دار.
• همه کاره.
• متساوی الاضلاع.
• متساوی الساقین.

فرمول های کلی برای محاسبه مساحت یک مثلث

فرمول مساحت مثلث برای طول و ارتفاع

S=a*h/2،
در جایی که a طول ضلع مثلثی است که مساحت آن پیدا می شود، h طول ارتفاع کشیده شده به قاعده است.

فرمول هرون

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c)،
که در آن √ جذر، p نیمه محیط مثلث، a,b,c طول هر ضلع مثلث است. نیم محیط مثلث را می توان با استفاده از فرمول p=(a+b+c)/2 محاسبه کرد.

فرمول مساحت یک مثلث بر حسب زاویه و طول قطعه

S = (a*b*sin(α))/2،
جایی که b,c طول اضلاع مثلث است، sin(α) سینوس زاویه بین دو ضلع است.

فرمول مساحت یک مثلث با توجه به شعاع دایره محاطی و سه ضلع

S=p*r،
جایی که p نیمه محیط مثلثی است که مساحت آن پیدا می شود، r شعاع دایره ای است که در این مثلث محاط شده است.

فرمول مساحت یک مثلث با سه ضلع و شعاع دایره ای که دور آن محصور شده است.

S= (a*b*c)/4*R،
که در آن a,b,c طول هر ضلع مثلث است، R شعاع دایره محصور شده به دور مثلث است.

فرمول مساحت مثلث در مختصات دکارتی نقاط

مختصات دکارتی نقاط مختصاتی در سیستم xOy هستند که x ابسیسا و y مختصات است. سیستم مختصات دکارتی xOy در یک صفحه، محورهای عددی متقابل عمود بر هم Ox و Oy با نقطه مرجع مشترک در نقطه O نامیده می شود. اگر مختصات نقاط این صفحه به شکل A (x1, y1)، B (x2، y2) و C (x3, y3)، سپس می توانید مساحت یک مثلث را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کنید که از حاصل ضرب متقاطع دو بردار به دست می آید.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
کجا || مخفف ماژول است.

نحوه پیدا کردن مساحت مثلث قائم الزاویه

مثلث قائم الزاویه مثلثی است که یک زاویه آن 90 درجه باشد. یک مثلث فقط می تواند یک چنین زاویه داشته باشد.

فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه روی دو پا

S=a*b/2،
که در آن a,b طول پاها است. پاها به اضلاع مجاور زاویه راست گفته می شود.

فرمول مساحت یک مثلث قائم الزاویه با توجه به هیپوتنوس و زاویه تند

S = a*b*sin(α)/ 2،
که در آن a، b پایه های مثلث هستند، و sin(α) سینوس زاویه ای است که خطوط a، b در آن قطع می شوند.

فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه بر پایه و زاویه مخالف

S = a*b/2*tg(β)،
که در آن a، b پایه های مثلث هستند، tg(β) مماس زاویه ای است که در آن پایه های a، b به هم متصل می شوند.

نحوه محاسبه مساحت مثلث متساوی الساقین

مثلث متساوی الساقین مثلثی است که دو ضلع مساوی داشته باشد. این اضلاع را اضلاع و طرف دیگر قاعده نامیده می شود. برای محاسبه مساحت مثلث متساوی الساقین می توانید از یکی از فرمول های زیر استفاده کنید.

فرمول اصلی برای محاسبه مساحت مثلث متساوی الساقین

S=h*c/2،
جایی که c قاعده مثلث است، h ارتفاع مثلثی است که به قاعده پایین آمده است.

فرمول مثلث متساوی الساقین در ضلع و قاعده جانبی

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4)،
جایی که c قاعده مثلث است، a مقدار یکی از اضلاع مثلث متساوی الساقین است.

نحوه پیدا کردن مساحت مثلث متساوی الاضلاع

مثلث متساوی الاضلاع مثلثی است که همه اضلاع آن برابر باشند. برای محاسبه مساحت مثلث متساوی الاضلاع می توانید از فرمول زیر استفاده کنید:
S = (√3*a*a)/4،
که در آن a طول ضلع مثلث متساوی الاضلاع است.

فرمول های فوق به شما امکان می دهد مساحت مورد نیاز مثلث را محاسبه کنید. لازم به یادآوری است که برای محاسبه فاصله مثلث ها، باید نوع مثلث و داده های موجود را که می توان برای محاسبه استفاده کرد، در نظر گرفت.

بیش از 10 فرمول برای محاسبه مساحت یک مثلث در اینترنت یافت می شود که بسیاری از آنها در مسائل مربوط به اضلاع و زوایای شناخته شده یک مثلث استفاده می شوند. با این حال، تعدادی مثال پیچیده وجود دارد که با توجه به شرایط انتساب، فقط یک ضلع و زوایای مثلث، یا شعاع دایره محصور یا محاط، و یک مشخصه دیگر مشخص است. در چنین مواردی نمی توان یک فرمول ساده را اعمال کرد.

فرمول های زیر 95 درصد از مسائلی را که در آنها باید مساحت مثلث را پیدا کنید حل می کند.
بیایید به بررسی فرمول های منطقه مشترک برویم.
مثلثی که در شکل زیر نشان داده شده است را در نظر بگیرید

در شکل و در ادامه در فرمول ها، عناوین کلاسیک تمام ویژگی های آن معرفی شده است
a,b,c اضلاع مثلث هستند
R شعاع دایره محدود شده است،
r شعاع دایره محاطی است،
h[b]،h[a]،h[c] - ارتفاعات ترسیم شده مطابق با اضلاع a،b،c.
آلفا، بتا، هاما - گوشه های نزدیک رئوس.

فرمول های اصلی برای مساحت مثلث

1. مساحت برابر است با نصف حاصلضرب ضلع مثلث و ارتفاع پایین آمده به این ضلع. در زبان فرمول، این تعریف را می توان به صورت نوشتاری نوشت

بنابراین، اگر ضلع و ارتفاع مشخص باشد، هر دانش آموز منطقه را پیدا می کند.
به هر حال، یک رابطه مفید بین ارتفاعات را می توان از این فرمول به دست آورد

2. اگر در نظر بگیریم که ارتفاع مثلث از ضلع مجاور با وابستگی بیان می شود.

سپس از فرمول اول منطقه همان نوع دوم را دنبال کنید

به دقت به فرمول ها نگاه کنید - آنها به راحتی قابل یادآوری هستند، زیرا کار دارای دو طرف و زاویه بین آنها است. اگر اضلاع و زوایای مثلث را به درستی تعیین کنیم (مانند شکل بالا)، دو ضلع a، b به دست می آید. و زاویه مربوط به سوم استج (هاما).

3. برای زوایای مثلث، رابطه

وابستگی به شما اجازه می دهد تا فرمول های زیر را برای مساحت یک مثلث در محاسبات اعمال کنید

نمونه هایی از این وابستگی بسیار نادر هستند، اما باید به یاد داشته باشید که چنین فرمولی وجود دارد.

4. اگر ضلع و دو زاویه مجاور شناخته شده باشند، مساحت با فرمول پیدا می شود

5. فرمول مساحت بر حسب ضلع و کتانژانت زوایای مجاور به شرح زیر است.

با مرتب کردن مجدد شاخص ها، می توانید وابستگی هایی برای طرف های دیگر دریافت کنید.

6. از فرمول مساحت زیر در وظایف زمانی استفاده می شود که رئوس یک مثلث روی صفحه با مختصات داده شود. در این حالت، مساحت برابر با نصف تعیین کننده مدول است.

7. فرمول هروندر مثال هایی با اضلاع شناخته شده مثلث استفاده می شود.
ابتدا نیم محیط مثلث را پیدا کنید

و سپس مساحت را با فرمول تعیین کنید

یا

اغلب در کد برنامه های ماشین حساب استفاده می شود.

8. اگر تمام ارتفاعات مثلث مشخص باشد، مساحت با فرمول تعیین می شود

محاسبه بر روی ماشین حساب دشوار است، با این حال، در بسته های MathCad، Mathematica، Maple، مساحت "یک دو" است.

9. فرمول های زیر از شعاع شناخته شده دایره های محاطی و محاطی استفاده می کنند.

به ویژه، اگر شعاع و اضلاع یک مثلث یا محیط آن مشخص باشد، مساحت طبق فرمول محاسبه می شود.

10. در مثال هایی که اضلاع و شعاع یا قطر دایره محدود شده آورده شده است، مساحت با فرمول بدست می آید.

11. فرمول زیر مساحت یک مثلث را بر حسب ضلع و زوایای مثلث تعیین می کند.

و در نهایت - موارد خاص:
مساحت مثلث قائم الزاویهبا پاهای a و b برابر است با نصف حاصلضرب آنها

فرمول مساحت مثلث متساوی الاضلاع (منظم).=

\u003d یک چهارم حاصلضرب مربع ضلع و ریشه سه.

مثلث یک شکل شناخته شده است. و این، با وجود تنوع غنی از اشکال آن. مستطیل، متساوی الاضلاع، حاد، متساوی الساقین، منفرد. هر کدام از آنها تا حدودی متفاوت است. اما برای هر کسی باید مساحت مثلث را دانست.

فرمول های رایج برای همه مثلث هایی که از طول اضلاع یا ارتفاع استفاده می کنند

نام های اتخاذ شده در آنها: طرف - a، b، c. ارتفاعات در اضلاع مربوطه در a، n در، n s.

1. مساحت مثلث حاصل ضرب ½، ضلع و ارتفاع کم شده روی آن محاسبه می شود. S = ½ * a * n a. به طور مشابه، باید برای دو طرف دیگر فرمول بنویسید.

2. فرمول هرون که در آن نیم محیط ظاهر می شود (معروف است بر خلاف محیط کامل آن را با حرف کوچک p نشان می دهند). نیم محیط باید به صورت زیر محاسبه شود: تمام اضلاع را جمع کنید و آنها را بر 2 تقسیم کنید. فرمول نیم محیطی: p \u003d (a + b + c) / 2. سپس برابری برای مساحت \ شکل به این شکل است: S \u003d √ (p * (p - a) * (p - c) * (p - c)).

3. اگر نمی خواهید از یک نیمه محیطی استفاده کنید ، چنین فرمولی مفید خواهد بود که در آن فقط طول اضلاع وجود دارد: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( ب + ج - الف) * (الف + ج - ج) * (الف + ب - ج)). تا حدودی طولانی تر از قبلی است، اما اگر فراموش کرده اید که چگونه نیم محیط را پیدا کنید، به شما کمک می کند.

فرمول های کلی که در آن زوایای مثلث ظاهر می شود

نمادی که برای خواندن فرمول ها لازم است: α، β، γ - زاویه. آنها به ترتیب در طرف مقابل a، b، c قرار دارند.

1. بر اساس آن، نصف حاصلضرب دو ضلع و سینوس زاویه بین آنها برابر با مساحت مثلث است. یعنی: S = ½ a * b * sin γ. فرمول دو مورد دیگر باید به روشی مشابه نوشته شود.

2. مساحت یک مثلث را می توان از یک ضلع و سه زاویه شناخته شده محاسبه کرد. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. همچنین فرمولی با یک ضلع شناخته شده و دو زاویه مجاور آن وجود دارد. به نظر می رسد این است: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

دو فرمول آخر ساده ترین نیستند. به خاطر سپردن آنها بسیار سخت است.

فرمول های کلی برای موقعیتی که شعاع دایره های محاطی یا محاطی مشخص است

نام های اضافی: r، R - شعاع. اولین مورد برای شعاع دایره محاطی استفاده می شود. دومی مربوط به موردی است که توضیح داده شد.

1. اولین فرمولی که مساحت یک مثلث را با آن محاسبه می کنند مربوط به نیم محیط است. S = r * r. به روشی دیگر می توان آن را به صورت زیر نوشت: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. در حالت دوم، شما باید تمام اضلاع مثلث را ضرب کنید و آنها را بر شعاع چهارگانه دایره محدود شده تقسیم کنید. در اصطلاح تحت اللفظی به نظر می رسد: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. موقعیت سوم به شما امکان می دهد بدون دانستن اضلاع انجام دهید، اما به مقادیر هر سه زاویه نیاز دارید. S \u003d 2 R 2 * sin α * گناه β * گناه γ.

مورد خاص: مثلث قائم الزاویه

این ساده ترین حالت است، زیرا فقط طول هر دو پا مورد نیاز است. آنها با حروف لاتین a و b نشان داده می شوند. مساحت مثلث قائم الزاویه برابر با نصف مساحت مستطیل اضافه شده به آن است.

از نظر ریاضی، به این صورت است: S = ½ a * b. او ساده ترین برای به خاطر سپردن است. از آنجایی که به نظر می رسد فرمول مساحت یک مستطیل است، فقط یک کسری ظاهر می شود که نشان دهنده نصف است.

مورد خاص: مثلث متساوی الساقین

از آنجایی که دو طرف آن برابر است، برخی از فرمول‌ها برای مساحت آن تا حدودی ساده به نظر می‌رسند. برای مثال، فرمول هرون که مساحت یک مثلث متساوی الساقین را محاسبه می کند، به شکل زیر است:

S = ½ اینچ √((a + ½ اینچ)*(a - ½ اینچ)).

اگر آن را تبدیل کنید کوتاهتر می شود. در این مورد، فرمول هرون برای مثلث متساوی الساقین به صورت زیر نوشته می شود:

S = ¼ در √(4 * a 2 - b 2).

اگر اضلاع و زاویه بین آنها مشخص باشد، فرمول مساحت تا حدودی ساده تر از یک مثلث دلخواه به نظر می رسد. S \u003d ½ a 2 * sin β.

حالت خاص: مثلث متساوی الاضلاع

معمولاً در مشکلاتی که درباره او وجود دارد، طرف شناخته می شود یا به نوعی می توان آن را شناخت. سپس فرمول برای یافتن مساحت چنین مثلثی به شرح زیر است:

S = (a 2 √3) / 4.

اگر مثلث روی کاغذ شطرنجی به تصویر کشیده شود، وظایف پیدا کردن منطقه

ساده ترین حالت زمانی است که یک مثلث قائم الزاویه رسم می شود به طوری که پاهای آن با خطوط کاغذ منطبق می شود. سپس شما فقط باید تعداد سلول هایی که در پاها قرار می گیرند را بشمارید. سپس آنها را ضرب کرده و بر دو تقسیم کنید.

وقتی مثلث حاد یا منفرد است، باید به سمت یک مستطیل کشیده شود. سپس در شکل حاصل 3 مثلث وجود خواهد داشت. یکی آن است که در تکلیف داده شده است. و دو تای دیگر کمکی و مستطیلی هستند. مساحت دو مورد آخر باید با روشی که در بالا توضیح داده شد تعیین شود. سپس مساحت مستطیل را محاسبه کرده و مساحت مستطیل های کمکی را از آن کم کنید. مساحت مثلث مشخص می شود.

وضعیتی که در آن هیچ یک از اضلاع مثلث با خطوط کاغذ منطبق نباشد بسیار دشوارتر است. سپس باید آن را در یک مستطیل نوشته شود تا رئوس شکل اصلی در طرفین آن قرار گیرد. در این حالت سه مثلث قائم الزاویه کمکی وجود خواهد داشت.

مثالی از یک مسئله در فرمول هرون

وضعیت. بعضی مثلث ها اضلاع دارند. آنها برابر با 3، 5 و 6 سانتی متر هستند، باید مساحت آن را بدانید.

اکنون می توانید مساحت یک مثلث را با استفاده از فرمول بالا محاسبه کنید. زیر جذر حاصل ضرب چهار عدد است: 7، 4، 2 و 1. یعنی مساحت √ (4 * 14) = 2 √ (14) است.

اگر به دقت بیشتری نیاز ندارید، می توانید جذر 14 را بگیرید. 3.74 است. سپس مساحت برابر با 7.48 خواهد بود.

پاسخ. S \u003d 2 √14 سانتی متر مربع یا 7.48 سانتی متر مربع.

مثالی از مسئله مثلث قائم الزاویه

وضعیت. یکی از پایه های مثلث قائم الزاویه 31 سانتی متر از دومی بلندتر است و اگر مساحت مثلث 180 سانتی متر مربع باشد باید طول آنها را مشخص کرد.
راه حل. شما باید یک سیستم دو معادله را حل کنید. اولی مربوط به منطقه است. دومی با نسبت پاها است که در مسئله آورده شده است.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
ابتدا مقدار "a" باید در معادله اول جایگزین شود. به نظر می رسد: 180 \u003d ½ (در + 31) * اینچ. این فقط یک کمیت مجهول دارد، بنابراین حل آن آسان است. پس از باز کردن براکت ها، یک معادله درجه دوم به دست می آید: در 2 + 31 در - 360 \u003d 0. دو مقدار برای "in" می دهد: 9 و - 40. عدد دوم به عنوان پاسخ مناسب نیست. ، از آنجایی که طول ضلع مثلث نمی تواند یک مقدار منفی باشد.

باقی مانده است که مرحله دوم را محاسبه کنیم: به عدد حاصل 31 اضافه کنید. معلوم می شود 40. اینها مقادیری هستند که در مسئله جستجو می شوند.

پاسخ. پایه های مثلث 9 و 40 سانتی متر است.

وظیفه یافتن ضلع از طریق مساحت، ضلع و زاویه یک مثلث

وضعیت. مساحت یک مثلث 60 سانتی متر مربع است. اگر ضلع دوم 15 سانتی متر و زاویه بین آنها 30 درجه باشد، باید یکی از اضلاع آن را محاسبه کرد.

راه حل. بر اساس نامگذاری های پذیرفته شده، طرف مورد نظر "a"، "b" شناخته شده، زاویه داده شده "γ" است. سپس فرمول مساحت را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. در اینجا سینوس 30 درجه 0.5 است.

پس از تبدیل، "a" برابر با 60 / (0.5 * 0.5 * 15) می شود. یعنی 16.

پاسخ. ضلع مورد نظر 16 سانتی متر است.

مسئله مربع محاط شده در مثلث قائم الزاویه

وضعیت. راس مربعی با ضلع 24 سانتی متر با زاویه قائم مثلث منطبق است. دو نفر دیگر روی پاها دراز می کشند. سومی متعلق به هیپوتنوز است. طول یکی از پاها 42 سانتی متر است مساحت مثلث قائم الزاویه چقدر است؟

راه حل. دو مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید. اولین مورد در کار مشخص شده است. مورد دوم بر اساس پایه شناخته شده مثلث اصلی است. شبیه هم هستند چون زاویه مشترکی دارند و از خطوط موازی تشکیل شده اند.

سپس نسبت پاهای آنها برابر است. پایه های مثلث کوچکتر 24 سانتی متر (ضلع مربع) و 18 سانتی متر (پایه داده شده 42 سانتی متر منهای ضلع مربع 24 سانتی متر) است. پایه های مربوط به مثلث بزرگ 42 سانتی متر و x سانتی متر است. این "x" است که برای محاسبه مساحت مثلث مورد نیاز است.

18/42 \u003d 24 / x ، یعنی x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (سانتی متر).

سپس مساحت برابر حاصلضرب 56 و 42 تقسیم بر دو یعنی 1176 سانتی متر مربع است.

پاسخ. مساحت مورد نظر 1176 سانتی متر مربع است.

دستورالعمل

مهمانیو گوشه ها عناصر اساسی محسوب می شوند آ. یک مثلث به طور کامل با هر یک از عناصر اصلی زیر تعریف می شود: یا سه ضلع، یا یک ضلع و دو زاویه، یا دو ضلع و یک زاویه بین آنها. برای وجود مثلثبا سه ضلع a، b، c تعریف می شود، لازم و کافی است که نابرابری ها، نامساوی نامیده می شوند. مثلث:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

برای ساخت مثلثدر سه ضلع a , b , c باید از نقطه C از قطعه CB=a چگونه با قطب نما دایره ای به شعاع b رسم کرد. سپس به همین ترتیب از نقطه B دایره ای به شعاع ضلع c رسم کنید. نقطه تقاطع آنها A سومین راس مورد نظر است مثلث ABC، که در آن AB=c، CB=a، CA=b - اضلاع مثلث. اگر اضلاع a، b، c، نابرابری ها را برآورده کنند، مشکل وجود دارد مثلثدر مرحله 1 مشخص شده است.

منطقه S به این ترتیب ساخته شده است مثلث ABC با اضلاع شناخته شده a,b,c با فرمول هرون محاسبه می شود:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c))،
که در آن a، b، c اضلاع هستند مثلث، p نیم محیط است.
p = (a+b+c)/2

اگر مثلث متساوی الاضلاع باشد یعنی تمام اضلاع آن مساوی باشد (a=b=c) مساحت مثلثبا فرمول محاسبه می شود:
S=(a^2 v3)/4

اگر مثلث قائم الزاويه باشد، يعني يكي از زواياي آن 90 درجه باشد و اضلاع تشكيل دهنده آن پايه باشند، ضلع سوم هيپوتنوس است. در این مورد مربعبرابر است با حاصل ضرب پاها تقسیم بر دو.
S=ab/2

برای پیدا کردن مربع مثلث، می توانید از یکی از چندین فرمول استفاده کنید. بسته به داده هایی که قبلاً شناخته شده است، فرمول را انتخاب کنید.

شما نیاز خواهید داشت

• دانش فرمول های یافتن مساحت مثلث

دستورالعمل

اگر مقدار یکی از اضلاع و مقدار ارتفاع پایین‌آمده به این سمت از گوشه مقابل را می‌دانید، می‌توانید با استفاده از موارد زیر مساحت را پیدا کنید: S = a*h/2، که در آن S مساحت ​مثلث a یکی از اضلاع مثلث است و h - ارتفاع به ضلع a.

در صورتی که سه ضلع مثلث مشخص باشد، روشی شناخته شده برای تعیین مساحت یک مثلث وجود دارد. او فرمول هرون است. برای ساده کردن ضبط آن، یک مقدار میانی معرفی شده است - یک نیم محیط: p \u003d (a + b + c) / 2، که در آن a، b، c - . سپس فرمول هرون به صورت زیر است: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ توان.

فرض کنید یکی از اضلاع مثلث و سه زاویه را می شناسید. سپس به راحتی می توان مساحت مثلث را پیدا کرد: S = a²sinα sinγ / (2sinβ)، که β زاویه مقابل ضلع a است و α و γ زوایای مجاور ضلع هستند.

ویدیو های مرتبط

توجه داشته باشید

کلی ترین فرمولی که برای همه موارد مناسب است، فرمول هرون است.

منابع:

نکته 3: چگونه مساحت یک مثلث را با سه ضلع پیدا کنیم

یافتن مساحت مثلث یکی از رایج ترین کارها در پلان سنجی مدرسه است. دانستن سه ضلع مثلث برای تعیین مساحت هر مثلث کافی است. در موارد خاص و مثلث های متساوی الاضلاع کافی است به ترتیب طول دو و یک ضلع را بدانیم.

شما نیاز خواهید داشت

• طول ضلع مثلث ها، فرمول هرون، قضیه کسینوس

دستورالعمل

فرمول هرون برای مساحت مثلث به شرح زیر است: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). اگر نیم محیط p را رنگ کنید، آنگاه دریافت می کنید: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

همچنین می توانید فرمولی برای مساحت مثلث از ملاحظات به دست آورید، به عنوان مثال، با اعمال قضیه کسینوس.

طبق قانون کسینوس، AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). با استفاده از نماد معرفی شده، اینها همچنین می توانند به شکل زیر باشند: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). بنابراین، cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

مساحت یک مثلث نیز با فرمول S = a*c*sin(ABC)/2 از طریق دو ضلع و زاویه بین آنها پیدا می شود. سینوس زاویه ABC را می توان بر حسب آن با استفاده از هویت مثلثاتی اصلی بیان کرد: sin (ABC) = sqrt (1- ((cos (ABC)) ^ 2) با جایگزینی سینوس به فرمول مساحت و رنگ آمیزی آن، می توانید به فرمول مساحت مثلث ABC برسیم.

ویدیو های مرتبط

برای تعمیرات، ممکن است نیاز به اندازه گیری باشد مربعدیوارها. محاسبه مقدار مورد نیاز رنگ یا کاغذ دیواری آسان تر است. برای اندازه گیری، بهتر است از یک متر نوار یا نوار سانتی متر استفاده کنید. اندازه گیری ها باید بعد از آن انجام شود دیوارهاتراز شده اند.

شما نیاز خواهید داشت

• -رولت؛
• -نردبان.

دستورالعمل

برای شمردن مربعدیوارها، باید ارتفاع دقیق سقف ها را بدانید و همچنین طول را در امتداد کف اندازه گیری کنید. این کار به صورت زیر انجام می شود: یک سانتی متر بردارید، آن را روی پایه قرار دهید. معمولاً یک سانتی متر برای کل طول کافی نیست، بنابراین آن را در گوشه ثابت کنید، سپس آن را تا حداکثر طول باز کنید. در این مرحله، یک علامت با مداد بگذارید، نتیجه را یادداشت کنید و اندازه گیری های بعدی را به همین ترتیب، از آخرین نقطه اندازه گیری شروع کنید.

سقف های استاندارد در معمولی - 2 متر 80 سانتی متر، 3 متر و 3 متر و 20 سانتی متر، بسته به خانه. اگر خانه قبل از دهه 50 ساخته شده باشد، به احتمال زیاد ارتفاع واقعی کمی کمتر از آنچه نشان داده شده است. اگر در حال محاسبه هستید مربعبرای کار تعمیر، پس از آن یک حاشیه کوچک ضرری نخواهد داشت - بر اساس استاندارد در نظر بگیرید. اگر هنوز نیاز به دانستن ارتفاع واقعی دارید - اندازه گیری کنید. اصل مشابه اندازه گیری طول است، اما شما به یک پله نیاز دارید.

ارقام حاصل را ضرب کنید - این است مربعشما دیوارها. درست است، برای کار نقاشی یا برای آن باید تفریق شود مربعبازشوهای در و پنجره برای انجام این کار، یک سانتی متر در امتداد دهانه قرار دهید. اگر در مورد دری صحبت می کنیم که قرار است بعداً آن را عوض کنید، با در نظر گرفتن تنها قاب درب را بردارید. مربعخود باز شدن مساحت پنجره در امتداد محیط قاب آن محاسبه می شود. بعد از مربعپنجره و درگاه محاسبه شده، نتیجه را از کل مساحت اتاق به دست آمده کم کنید.

لطفا توجه داشته باشید که اندازه گیری طول و عرض اتاق با هم انجام می شود، آسان تر است که یک سانتی متر یا اندازه گیری نوار را ثابت کنید و بر این اساس، نتیجه دقیق تری به دست آورید. چندین بار اندازه گیری را انجام دهید تا مطمئن شوید اعدادی که به دست می آورید دقیق هستند.

ویدیو های مرتبط

یافتن حجم یک مثلث در واقع یک کار غیر ضروری است. واقعیت این است که یک مثلث یک شکل دو بعدی است، یعنی. به طور کامل در یک صفحه قرار دارد، به این معنی که به سادگی حجم ندارد. البته شما نمی توانید چیزی را پیدا کنید که وجود نداشته باشد. اما بیایید تسلیم نشویم! ما می توانیم فرض زیر را انجام دهیم - حجم یک شکل دو بعدی، این مساحت آن است. ما به دنبال مساحت مثلث هستیم.

شما نیاز خواهید داشت

• ورق کاغذ، مداد، خط کش، ماشین حساب

دستورالعمل

با خط کش و مداد روی یک ورق کاغذ بکشید. با بررسی دقیق مثلث، می توانید مطمئن شوید که واقعاً ندارد، زیرا روی یک صفحه کشیده شده است. اضلاع مثلث را علامت بزنید: بگذارید یک ضلع ضلع "الف"، ضلع دیگر "ب" و ضلع سوم "ج" باشد. رئوس مثلث را با حروف "A" "B" و "C" برچسب بزنید.

هر ضلع مثلث را با خط کش اندازه بگیرید و نتیجه را یادداشت کنید. پس از آن، عمود بر ضلع اندازه گیری شده را از راس مخالف بازگردانید، چنین عمودی ارتفاع مثلث خواهد بود. در حالتی که در شکل نشان داده شده است، عمود «h» به ضلع «c» از راس «A» بازگردانده شده است. ارتفاع حاصل را با خط کش اندازه بگیرید و نتیجه اندازه گیری را ثبت کنید.

ممکن است اتفاق بیفتد که بازیابی عمود دقیق برای شما مشکل باشد. در این مورد، شما باید از فرمول متفاوتی استفاده کنید. تمام اضلاع مثلث را با خط کش اندازه بگیرید. پس از آن، نیم محیط مثلث "p" را با جمع کردن طول های حاصل از اضلاع و تقسیم مجموع آنها به نصف محاسبه کنید. با در اختیار داشتن مقدار نیم محیط، می توانید از فرمول Heron استفاده کنید. برای این کار باید جذر عبارات زیر را بگیرید: p(p-a)(p-b)(p-c).

مساحت مورد نظر مثلث را به دست آورده اید. مشکل یافتن حجم مثلث حل نشده است، اما همانطور که در بالا ذکر شد، حجم حل نشده است. شما می توانید حجمی را که اساساً یک مثلث است در دنیای سه بعدی پیدا کنید. اگر تصور کنیم که مثلث اصلی ما تبدیل به یک هرم سه بعدی شده است، حجم چنین هرمی حاصل ضرب طول قاعده آن و مساحت مثلثی است که دریافت کرده ایم.

توجه داشته باشید

هر چه اندازه گیری ها را با دقت بیشتری انجام دهید، محاسبات دقیق تر خواهند بود.

منابع:

• ماشین حساب همه به همه - پورتال مرجع
• حجم مثلث در سال 2019

سه نقطه ای که یک مثلث را در سیستم مختصات دکارتی به طور منحصر به فردی تعریف می کنند رئوس آن هستند. با دانستن موقعیت آنها نسبت به هر یک از محورهای مختصات، می توانید هر پارامتری از این شکل مسطح را محاسبه کنید، از جمله پارامتری که توسط محیط آن محدود شده است. مربع. این را از راه های گوناگون می توان انجام داد.

دستورالعمل

از فرمول هرون برای محاسبه مساحت استفاده کنید مثلث. این شامل ابعاد سه ضلع شکل است، بنابراین محاسبات را با آن شروع کنید. طول هر ضلع باید برابر با ریشه مجموع مجذورات طول برجستگی های آن بر روی محورهای مختصات باشد. اگر مختصات A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) و C(X3,Y3,Z3) را نشان دهیم، طول اضلاع آنها را می توان به صورت زیر بیان کرد: AB = √((X1- X2)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²)، BC = √(((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²)، AC = √(( X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

برای ساده کردن محاسبات، یک متغیر کمکی - نیم محیط (P) را وارد کنید. از این نظر این نصف مجموع طول همه ضلع ها است: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1- Z₂)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).