معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن خطی با ضرایب ثابت

مبانی حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم (LNDE-2) با ضرایب ثابت (PC)

یک CLDE مرتبه دوم با ضرایب ثابت $p$ و $q$ به شکل $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$، جایی که $f\left( x \right)$ یک تابع پیوسته است.

دو عبارت زیر در رابطه با LNDE دوم با PC درست است.

فرض کنید که برخی از تابع $U$ یک راه حل خاص دلخواه از یک معادله دیفرانسیل ناهمگن است. اجازه دهید همچنین فرض کنیم که برخی از تابع $Y$ یک راه حل کلی (OR) معادله دیفرانسیل همگن خطی مربوطه (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ است. سپس OR از LHDE-2 برابر است با مجموع راه حل های خصوصی و عمومی نشان داده شده، یعنی $y=U+Y$.

اگر سمت راست LIDE مرتبه دوم مجموع توابع باشد، یعنی $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$، سپس ابتدا می توانید PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ را پیدا کنید که مربوط به هر کدام است از توابع $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ و بعد از آن بنویسید LNDE-2 PD به صورت $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

راه حل LNDE مرتبه دوم با کامپیوتر

بدیهی است که شکل یک یا آن PD $U$ یک LNDE-2 معین به شکل خاص سمت راست آن $f\left(x\right)$ بستگی دارد. ساده ترین موارد جستجوی PD LNDE-2 به صورت چهار قانون زیر فرموله شده است.

قانون شماره 1.

سمت راست LNDE-2 به شکل $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ است که در آن $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $، یعنی a نامیده می شود چند جمله ای درجه $n$. سپس PR $U$ آن به شکل $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ جستجو می‌شود که $Q_(n) \left(x\right)$ دیگری است. چند جمله ای با درجه یکسان $P_(n) \left(x\right)$ و $r$ تعداد ریشه های صفر معادله مشخصه LODE-2 مربوطه است. ضرایب چند جمله ای $Q_(n) \left(x\right)$ با روش ضرایب نامعین (NC) پیدا می شود.

قانون شماره 2.

سمت راست LNDE-2 به شکل $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ است که در آن $P_(n) \left(x\right)$ یک چند جمله ای درجه $n$ است. سپس PD $U$ آن به شکل $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ جستجو می‌شود، جایی که $Q_(n ) \ left(x\right)$ چند جمله‌ای دیگر با همان درجه $P_(n) \left(x\right)$ است و $r$ تعداد ریشه‌های معادله مشخصه LODE-2 مربوطه است. برابر با $\alpha $. ضرایب چند جمله ای $Q_(n) \left(x\right)$ با روش NK پیدا می شود.

قانون شماره 3.

قسمت سمت راست LNDE-2 به شکل $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x است. \right) $، که در آن $a$، $b$ و $\beta $ اعداد شناخته شده هستند. سپس PD $U$ آن به شکل $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) جستجو می‌شود. )\right )\cdot x^(r) $، که $A$ و $B$ ضرایب ناشناخته هستند، و $r$ تعداد ریشه های معادله مشخصه LODE-2 مربوطه برابر با $i\cdot است. \بتا $. ضرایب $A$ و $B$ با روش NDT یافت می شوند.

قانون شماره 4.

سمت راست LNDE-2 به شکل $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ است که $P_(n) \left(x\right)$ است. یک چند جمله ای درجه $ n$، و $P_(m) \left(x\right)$ یک چند جمله ای درجه $m$ است. سپس PD $U$ آن به شکل $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ جستجو می‌شود، جایی که $Q_(s) \left(x\right) $ و $ R_(s) \left(x\right)$ چند جمله ای درجه $s$ هستند، عدد $s$ حداکثر دو عدد $n$ و $m$ است و $r$ تعداد ریشه های معادله مشخصه LODE-2 مربوطه، برابر با $\alpha +i\cdot \beta $. ضرایب چند جمله‌ای $Q_(s) \left(x\right)$ و $R_(s) \left(x\right)$ با روش NK پیدا می‌شوند.

روش NK شامل اعمال قانون زیر است. برای یافتن ضرایب مجهول چند جمله ای که بخشی از حل خاص معادله دیفرانسیل ناهمگن LNDE-2 هستند، لازم است:

PD $U$ را که به شکل کلی نوشته شده است، در قسمت چپ LNDE-2 جایگزین کنید.
در سمت چپ LNDE-2، ساده سازی ها را انجام دهید و اصطلاحات را با قدرت های یکسان $x$ انجام دهید.
در هویت به دست آمده، ضرایب عبارت ها را با قدرت های یکسان $x$ سمت چپ و راست برابر کنید.
سیستم معادلات خطی حاصل را برای ضرایب مجهول حل کنید.

مثال 1

وظیفه: OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ را پیدا کنید. PR، شرایط اولیه $y=6$ برای $x=0$ و $y"=1$ برای $x=0$ را برآورده می‌کند.

LODA-2 مربوطه را بنویسید: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

معادله مشخصه: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. ریشه های معادله مشخصه: $k_(1) =-3$، $k_(2) =6$. این ریشه ها واقعی و متمایز هستند. بنابراین، OR مربوط به LODE-2 شکل دارد: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

قسمت سمت راست این LNDE-2 به شکل $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ است. لازم است ضریب توان نمایی $\alpha =3$ را در نظر بگیریم. این ضریب با هیچ یک از ریشه های معادله مشخصه منطبق نیست. بنابراین، PR این LNDE-2 به شکل $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ است.

با استفاده از روش NK به دنبال ضرایب $A$, $B$ خواهیم بود.

اولین مشتق CR را پیدا می کنیم:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \راست)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ما مشتق دوم CR را پیدا می کنیم:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ما توابع $U""$، $U"$ و $U$ را به جای $y""$، $y"$ و $y$ در LNDE-2 $y""-3\cdot y" جایگزین می کنیم. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ در همان زمان، از آنجایی که توان $e^(3\cdot x) $ گنجانده شده است به عنوان یک عامل در تمام اجزاء، پس از آن می توان آن را حذف کرد.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

ما اقداماتی را در سمت چپ برابری حاصل انجام می دهیم:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

ما از روش NC استفاده می کنیم. ما یک سیستم معادلات خطی با دو مجهول دریافت می کنیم:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

راه حل این سیستم این است: $A=-2$، $B=-1$.

CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ برای مشکل ما به این شکل است: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ برای مشکل ما به این صورت است: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

برای جستجوی یک PD که شرایط اولیه داده شده را برآورده کند، مشتق $y"$ OR را پیدا می کنیم:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

ما در $y$ و $y"$ شرایط اولیه $y=6$ را با $x=0$ و $y"=1$ را برای $x=0$ جایگزین می کنیم:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

ما یک سیستم معادلات بدست آوردیم:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

حلش می کنیم. ما $C_(1) $ را با استفاده از فرمول Cramer پیدا می کنیم و $C_(2) $ از معادله اول تعیین می شود:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

بنابراین، PD این معادله دیفرانسیل عبارت است از: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

این مقاله مسئله حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم را با ضرایب ثابت نشان می دهد. این نظریه همراه با مثال هایی از مسائل ارائه شده در نظر گرفته می شود. برای رمزگشایی اصطلاحات نامفهوم باید به مبحث تعاریف و مفاهیم اساسی نظریه معادلات دیفرانسیل مراجعه کرد.

یک معادله دیفرانسیل خطی (LDE) مرتبه دوم با ضرایب ثابت به شکل y "" + p y " + q y \u003d f (x) را در نظر بگیرید، که در آن p و q اعداد دلخواه هستند و تابع موجود f (x) است. پیوسته در بازه ادغام x.

اجازه دهید به فرمول بندی قضیه حل کلی برای LIDE بپردازیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

قضیه حل کلی برای LDNU

قضیه 1

راه حل کلی، واقع در بازه x، معادله دیفرانسیل ناهمگن به شکل y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) با ضرایب ادغام پیوسته در بازه x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . ، f n - 1 (x) و تابع پیوسته f (x) برابر است با مجموع جواب کلی y 0 که مربوط به LODE و مقداری جواب خاص y ~ است که در آن معادله ناهمگن اصلی y = y 0 است. + y ~ .

این نشان می دهد که حل چنین معادله ای مرتبه دوم به شکل y = y 0 + y ~ است. الگوریتم برای یافتن y 0 در مقاله معادلات دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت در نظر گرفته شده است. پس از آن باید به سراغ تعریف y ~ رفت.

انتخاب یک راه حل خاص برای LIDE بستگی به نوع تابع موجود f (x) واقع در سمت راست معادله دارد. برای این کار لازم است حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت را جداگانه در نظر بگیرید.

وقتی f (x) را چند جمله ای از درجه n در نظر بگیریم f (x) = P n (x) ، نتیجه می شود که یک راه حل خاص از LIDE با فرمولی به شکل y ~ = Q n (x) پیدا می شود. ) x γ، که در آن Q n (x) چند جمله ای درجه n است، r تعداد ریشه های صفر معادله مشخصه است. مقدار y ~ یک راه حل خاص است y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) ، سپس ضرایب موجود که توسط چند جمله ای تعریف می شوند.
Q n (x) ، ما با استفاده از روش ضرایب نامعین از برابری y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) پیدا می کنیم.

مثال 1

با استفاده از قضیه کوشی y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 را محاسبه کنید.

راه حل

به عبارت دیگر، لازم است به یک راه حل خاص از یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت y "" - 2 y " = x 2 + 1 گذر کرد که شرایط داده شده را برآورده می کند y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

جواب کلی یک معادله ناهمگن خطی مجموع جواب کلی است که با معادله y 0 یا یک جواب خاص از معادله ناهمگن y ~ مطابقت دارد، یعنی y = y 0 + y ~ .

ابتدا بیایید یک راه حل کلی برای LNDE و سپس یک راه حل خاص پیدا کنیم.

بیایید به یافتن y 0 برویم. نوشتن معادله مشخصه به یافتن ریشه ها کمک می کند. ما آن را دریافت می کنیم

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0، k 2 \u003d 2

ما متوجه شدیم که ریشه ها متفاوت و واقعی هستند. بنابراین، ما می نویسیم

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

بیایید y را پیدا کنیم. می توان دید که سمت راست معادله داده شده چند جمله ای درجه دوم است، سپس یکی از ریشه ها برابر با صفر است. از اینجا دریافتیم که یک راه حل خاص برای y ~ خواهد بود

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x، که در آن مقادیر A، B، C ضرایب تعریف نشده را بگیرید

بیایید آنها را از یک برابری به شکل y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 پیدا کنیم.

سپس دریافت می کنیم که:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

با معادل سازی ضرایب با نماهای یکسان x ، سیستمی از عبارات خطی بدست می آوریم - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . هنگام حل به هر یک از روش ها ، ضرایب را پیدا می کنیم و می نویسیم: A \u003d - 1 6 ، B \u003d - 1 4 ، C \u003d - 3 4 و y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

این ورودی حل کلی معادله دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن خطی اصلی با ضرایب ثابت نامیده می شود.

برای یافتن یک راه حل خاص که شرایط y (0) = 2, y " (0) = 1 4 را برآورده کند، باید مقادیر را تعیین کرد. C1و C2، بر اساس برابری شکل y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

دریافتیم که:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

ما با سیستم معادلات حاصل به شکل C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 کار می کنیم که در آن C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

با استفاده از قضیه کوشی، این را داریم

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

پاسخ: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

وقتی تابع f (x) به صورت حاصل ضرب یک چند جمله‌ای با درجه n و توان f (x) = P n (x) e a x نشان داده می‌شود، از اینجا به دست می‌آییم که راه‌حل خاصی از LIDE مرتبه دوم خواهد بود. معادله ای به شکل y ~ = e a x Q n ( x) · x γ، که در آن Q n (x) چند جمله ای درجه n است و r تعداد ریشه های معادله مشخصه برابر با α است.

ضرایب متعلق به Q n (x) با برابری y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) یافت می شود.

مثال 2

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل به شکل y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x را بیابید.

راه حل

معادله عمومی y = y 0 + y ~ . معادله نشان داده شده مطابق با LOD y "" - 2 y " = 0 است. مثال قبلی نشان می دهد که ریشه های آن k1 = 0و k 2 = 2 و y 0 = C 1 + C 2 e 2 x با توجه به معادله مشخصه.

می توان دید که سمت راست معادله x 2 + 1 · e x است. از اینجا، LNDE از طریق y ~ = e a x Q n (x) x γ پیدا می شود، که در آن Q n (x) که یک چند جمله ای درجه دوم است، جایی که α = 1 و r = 0 است، زیرا معادله مشخصه نمی باشد. ریشه ای برابر با 1 داشته باشد. از این رو ما آن را دریافت می کنیم

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A، B، C ضرایب ناشناخته ای هستند که می توان آنها را با برابری y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x پیدا کرد.

گرفتش

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

شاخص ها را برای همان ضرایب برابر می کنیم و یک سیستم معادلات خطی به دست می آوریم. از اینجا ما A، B، C را پیدا می کنیم:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

پاسخ:می توان دید که y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 راه حل خاصی از LIDE است و y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

وقتی تابع به صورت f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x نوشته می شود، و الف 1و در 1اعداد هستند، سپس معادله ای به شکل y ~ = A cos β x + B sin β x x γ، که در آن A و B به عنوان ضرایب نامعین در نظر گرفته می شوند، و r تعداد ریشه های مزدوج پیچیده مربوط به معادله مشخصه، برابر است با ± من β. در این مورد، جستجوی ضرایب با برابری y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) انجام می شود.

مثال 3

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل به شکل y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) را بیابید.

راه حل

قبل از نوشتن معادله مشخصه، y 0 را پیدا می کنیم. سپس

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

ما یک جفت ریشه مزدوج پیچیده داریم. بیایید تبدیل کنیم و دریافت کنیم:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

ریشه های معادله مشخصه به صورت یک جفت مزدوج ± 2 i در نظر گرفته می شوند، سپس f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . این نشان می دهد که جستجوی y ~ از y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. ناشناخته ها انجام می شود. ضرایب A و B از یک برابری به شکل y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) جستجو می شوند.

بیایید تبدیل کنیم:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

سپس دیده می شود که

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

لازم است ضرایب سینوس ها و کسینوس ها را برابر کنیم. ما یک سیستم از فرم را دریافت می کنیم:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

نتیجه می شود که y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

پاسخ:جواب کلی LIDE اصلی مرتبه دوم با ضرایب ثابت در نظر گرفته می شود

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

وقتی f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) ، آنگاه y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ داریم که r تعداد جفت‌های مزدوج پیچیده ریشه‌های مربوط به معادله مشخصه است، برابر α ± i β، که در آن P n (x) , Q k (x) , L m ( x) و N m (x)چند جمله ای درجه n، k، m هستند که در آن m = m a x (n، k). یافتن ضرایب L m (x)و N m (x)بر اساس برابری y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) تولید می شود.

مثال 4

جواب کلی y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) را پیدا کنید.

راه حل

از این شرط معلوم می شود که

α = 3، β = 5، Pn (x) = - 38 x - 45، Q k (x) = - 8 x + 5، n = 1، k = 1

سپس m = m a x (n , k) = 1 . y 0 را با نوشتن معادله مشخصه شکل بدست می آوریم:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1، k 2 = 3 + 1 2 = 2

ما دریافتیم که ریشه ها واقعی و متمایز هستند. از این رو y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . در مرحله بعد، لازم است به دنبال یک راه حل کلی بر اساس یک معادله ناهمگن y ~ از شکل باشیم.

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

مشخص است که A، B، C ضرایب، r = 0 هستند، زیرا هیچ جفت ریشه مزدوج مربوط به معادله مشخصه با α ± i β = 3 ± 5 · i وجود ندارد. این ضرایب از برابری حاصل به دست می آیند:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

پیدا کردن مشتق و اصطلاحات مشابه را می دهد

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

پس از معادل سازی ضرایب، سیستمی از فرم را به دست می آوریم

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

از همه آن نتیجه می شود که

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1) sin (5x))

پاسخ:حال جواب کلی معادله خطی داده شده به دست آمده است:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

الگوریتم برای حل LDNU

تعریف 1

هر نوع دیگری از تابع f (x) برای حل، الگوریتم حل را ارائه می دهد:

یافتن جواب کلی معادله همگن خطی مربوطه، که در آن y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 y 1و y2راه حل های خاص مستقل خطی LODE هستند، از 1و از 2ثابت دلخواه در نظر گرفته می شوند.
پذیرش به عنوان راه حل کلی LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 .
تعریف مشتقات یک تابع از طریق سیستمی به شکل C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) و یافتن توابع C 1 (x)و C 2 (x) از طریق ادغام.

مثال 5

جواب کلی برای y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

راه حل

ما به نوشتن معادله مشخصه ادامه می دهیم و قبلاً y 0 , y "" + 36 y = 0 نوشته بودیم. بیایید بنویسیم و حل کنیم:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = گناه (6 x)

داریم که رکورد جواب کلی معادله داده شده به شکل y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) خواهد بود. لازم است به تعریف توابع مشتق برویم C 1 (x)و C2 (x)با توجه به سیستم با معادلات:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (سین (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1" (x) (- 6 sin (6 x) + C 2" (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

باید در مورد آن تصمیم گیری شود C 1 "(x)و C2" (x)با استفاده از هر روشی سپس می نویسیم:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2"(x) \u003d 4 sin (6) x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

هر یک از معادلات باید یکپارچه شوند. سپس معادلات حاصل را می نویسیم:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

نتیجه این است که راه حل کلی به شکل زیر خواهد بود:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

پاسخ: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن با ضرایب ثابت

ساختار راه حل کلی

یک معادله خطی ناهمگن از این نوع به شکل زیر است:

جایی که پ, q- اعداد ثابت (که هم می توانند واقعی و هم مختلط باشند). برای هر یک از این معادله ها می توان معادله مربوطه را نوشت معادله همگن:

قضیه: جواب کلی معادله ناهمگن حاصل جمع جواب کلی است y 0 (ایکس) معادله همگن مربوطه و یک راه حل خاص y 1 (ایکس) معادله ناهمگن:

در زیر دو روش برای حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن در نظر می گیریم.

روش تغییرات ثابت

اگر راه حل کلی y 0 معادله همگن مرتبط شناخته شده است، سپس جواب کلی معادله ناهمگن را می توان با استفاده از روش تغییرات ثابت. حل کلی یک معادله دیفرانسیل همگن مرتبه دوم به شکل زیر باشد:

به جای دائمی سی 1 و سی 2 ما توابع کمکی را در نظر خواهیم گرفت سی 1 (ایکس) و سی 2 (ایکس). ما به دنبال این توابع خواهیم بود تا راه حل

معادله ناهمگن با سمت راست را برآورده می کند f(ایکس). ویژگی های ناشناخته سی 1 (ایکس) و سی 2 (ایکس) از سیستم دو معادله تعیین می شود:

روش ضرایب نامشخص

قسمت سمت راست f(ایکس) یک معادله دیفرانسیل ناهمگن اغلب یک چند جمله ای، یک تابع نمایی یا مثلثاتی یا ترکیبی از این توابع است. در این مورد، پیدا کردن راه حل با استفاده از آن راحت تر است روش ضرایب نامشخص. تأکید می کنیم که این روش فقط برای یک کلاس محدود از توابع در سمت راست کار می کند، مانند

در هر دو مورد، انتخاب یک راه حل خاص باید با ساختار سمت راست معادله دیفرانسیل ناهمگن مطابقت داشته باشد. در مورد 1، اگر شماره α در تابع نمایی با ریشه معادله مشخصه منطبق است، سپس راه حل خاص حاوی یک عامل اضافی خواهد بود. ایکس س، جایی که س- تعدد ریشه α در معادله مشخصه در مورد 2 اگر شماره α + βiبا ریشه معادله مشخصه منطبق است، سپس عبارت برای راه حل خاص حاوی یک عامل اضافی خواهد بود ایکس. ضرایب ناشناخته را می توان با جایگزین کردن عبارت یافت شده برای یک راه حل خاص در معادله دیفرانسیل ناهمگن اصلی تعیین کرد.

اصل برهم نهی

اگر سمت راست معادله ناهمگن باشد میزانچندین عملکرد فرم

سپس راه حل خاص معادله دیفرانسیل نیز مجموع راه حل های خاص ساخته شده به طور جداگانه برای هر جمله در سمت راست خواهد بود.

مثال 1

حل معادله دیفرانسیل y"" + y= گناه (2 ایکس).

راه حل.

ابتدا معادله همگن مربوطه را حل می کنیم y"" + y= 0. در این مورد، ریشه های معادله مشخصه کاملاً خیالی هستند:

بنابراین، جواب کلی معادله همگن به دست آمده است

اجازه دهید دوباره به معادله ناهمگن برگردیم. راه حل آن را در فرم جستجو خواهیم کرد

با استفاده از روش تغییرات ثابت کارکرد سی 1 (ایکس) و سی 2 (ایکس) را می توان از سیستم معادلات زیر پیدا کرد:

مشتق را بیان می کنیم سی 1 " (ایکس) از معادله اول:

با جایگزینی معادله دوم، مشتق را پیدا می کنیم سی 2 " (ایکس):

از این رو نتیجه می شود که

ادغام عبارات برای مشتقات سی 1 " (ایکس) و سی 2 " (ایکس)، ما گرفتیم:

جایی که آ 1 , آ 2 - ثابت های یکپارچه سازی. حالا توابع یافت شده را جایگزین می کنیم سی 1 (ایکس) و سی 2 (ایکس) در فرمول برای y 1 (ایکس) و جواب کلی معادله ناهمگن را بنویسید:

مثال 2

یک جواب کلی برای معادله پیدا کنید y"" + y" −6y = 36ایکس.

راه حل.

از روش ضرایب نامشخص استفاده می کنیم. سمت راست معادله داده شده یک تابع خطی است f(ایکس)= تبر + ب. بنابراین، ما به دنبال یک راه حل خاص در فرم خواهیم بود

مشتقات عبارتند از:

با جایگزینی این معادله به معادله دیفرانسیل، دریافت می کنیم:

آخرین معادله یک هویت است، یعنی برای همه معتبر است ایکس، بنابراین ضرایب عبارت ها را با توان های یکسان برابر می کنیم ایکسدر سمت چپ و راست:

از سیستم به دست آمده در می یابیم: آ = −6, ب= -1. در نتیجه، راه حل خاص در فرم نوشته می شود

حالا بیایید جواب کلی معادله دیفرانسیل همگن را پیدا کنیم. اجازه دهید ریشه های معادله مشخصه کمکی را محاسبه کنیم:

بنابراین، جواب کلی معادله همگن مربوطه به شکل زیر است:

بنابراین، جواب کلی معادله ناهمگن اصلی با فرمول بیان می شود

انتگرال عمومی DE.

حل معادله دیفرانسیل

اما نکته خنده دار این است که پاسخ از قبل مشخص است: به طور دقیق تر، باید یک ثابت را نیز اضافه کنیم: انتگرال کلی یک راه حل برای معادله دیفرانسیل است.

روش تغییر ثابت های دلخواه نمونه های راه حل

از روش تغییر ثابت های دلخواه برای حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن استفاده می شود. این درس برای آن دسته از دانش آموزانی در نظر گرفته شده است که در حال حاضر کم و بیش به این موضوع مسلط هستند. اگر تازه شروع به آشنایی با کنترل از راه دور کرده اید، یعنی. اگر اهل قوری هستید، توصیه می کنم از درس اول شروع کنید: معادلات دیفرانسیل مرتبه اول نمونه های راه حل. و اگر قبلاً در حال اتمام هستید، لطفاً تصور پیش فرض احتمالی که روش دشوار است را کنار بگذارید. چون او ساده است.

در چه مواردی از روش تغییرات ثابت دلخواه استفاده می شود؟

1) برای حل می توان از روش تغییر یک ثابت دلخواه استفاده کرد خطی ناهمگن DE از مرتبه 1. از آنجایی که معادله مرتبه اول است، پس ثابت (ثابت) نیز یک است.

2) از روش تغییر ثابت های دلخواه برای حل برخی استفاده می شود معادلات ناهمگن خطی مرتبه دوم. در اینجا، دو ثابت (ثابت) متفاوت است.

منطقی است که فرض کنیم درس از دو پاراگراف تشکیل شده است. من این پیشنهاد را نوشتم و حدود 10 دقیقه به طرز دردناکی به این فکر می‌کردم که برای انتقال آرام به نمونه‌های عملی چه مزخرفات هوشمند دیگری اضافه کنم. اما به دلایلی هیچ فکری بعد از تعطیلات وجود ندارد ، اگرچه به نظر می رسد که من از چیزی سوء استفاده نکردم. پس بیایید به پاراگراف اول برویم.

روش تغییرات ثابت دلخواه برای یک معادله مرتبه اول ناهمگن خطی

قبل از در نظر گرفتن روش تغییر یک ثابت دلخواه، بهتر است با مقاله آشنا شوید معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول. در آن درس تمرین کردیم اولین راه حل DE ناهمگن از مرتبه 1. این اولین راه حل، یادآوری می کنم، نام دارد روش جایگزینییا روش برنولی(با آن اشتباه نشود معادله برنولی!!!)

اکنون در نظر خواهیم گرفت راه دوم برای حل- روش تغییر یک ثابت دلخواه. من فقط سه مثال می زنم و آنها را از درس بالا می گیرم. چرا اینقدر کم؟ زیرا در واقع راه حل در راه دوم بسیار شبیه به راه حل در راه اول خواهد بود. علاوه بر این، با توجه به مشاهدات من، روش تغییر ثابت های دلخواه کمتر از روش جایگزینی استفاده می شود.

مثال 1

جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید (از مثال شماره 2 درس DE ناهمگن خطی از مرتبه 1)

راه حل:این معادله خطی ناهمگن است و شکلی آشنا دارد:

در مرحله اول، حل یک معادله ساده تر ضروری است: یعنی ما احمقانه سمت راست را تنظیم مجدد می کنیم - در عوض صفر می نویسیم. معادله ای که من فرا خواهم خواند معادله کمکی.

در این مثال باید معادله کمکی زیر را حل کنید:

قبل از ما معادله قابل تفکیک، که راه حل آن (امیدوارم) دیگر برای شما سخت نباشد:

بنابراین: حل کلی معادله کمکی است.

در پله دوم جایگزین کردنثابت برخی هنوزتابع ناشناخته که به "x" بستگی دارد:

از این رو نام روش - ما ثابت را تغییر می دهیم. از طرف دیگر، ثابت می تواند تابعی باشد که اکنون باید آن را پیدا کنیم.

که در اولیهمعادله غیر همگن را جایگزین می کنیم:

جایگزین در معادله:

لحظه کنترل - دو عبارت سمت چپ لغو می شود. اگر این اتفاق نیفتاد، باید به دنبال خطای بالا بگردید.

در نتیجه جایگزینی، معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک به دست می آید. متغیرها را جدا کرده و ادغام کنید.

چه برکتی است که شارحان نیز در حال کوچک شدن هستند:

یک ثابت "عادی" را به تابع یافت شده اضافه می کنیم:

در مرحله نهایی، جایگزین خود را به یاد می آوریم:

تابع تازه پیدا شد!

بنابراین راه حل کلی این است:

پاسخ:تصمیم مشترک:

اگر دو راه حل را چاپ کنید، به راحتی متوجه خواهید شد که در هر دو مورد ما انتگرال های یکسانی پیدا کردیم. تنها تفاوت در الگوریتم حل است.

حالا چیزی پیچیده تر، من در مورد مثال دوم نیز نظر خواهم داد:

مثال 2

جواب کلی معادله دیفرانسیل را بیابید (تفاوت از مثال شماره 8 درس DE ناهمگن خطی از مرتبه 1)

راه حل:بیایید معادله را به شکل زیر در بیاوریم:

سمت راست را صفر کنید و معادله کمکی را حل کنید:

متغیرها را جدا کرده و ادغام کنید: حل کلی معادله کمکی:

در معادله ناهمگن، جایگزینی را انجام می دهیم:

طبق قانون تمایز محصول:

معادله ناهمگن اصلی را جایگزین کنید:

دو عبارت سمت چپ لغو می شوند، به این معنی که ما در مسیر درست هستیم:

ما با قطعات ادغام می کنیم. یک حرف خوشمزه از فرمول ادغام توسط قطعات قبلاً در راه حل دخیل است ، بنابراین برای مثال از حروف "a" و "be" استفاده می کنیم:

در نهایت:

حالا بیایید به جایگزینی نگاه کنیم:

پاسخ:تصمیم مشترک:

روش تغییر ثابت های دلخواه برای یک معادله خطی ناهمگن مرتبه دوم با ضرایب ثابت

اغلب این عقیده شنیده می شود که روش تغییر ثابت های دلخواه برای یک معادله مرتبه دوم کار آسانی نیست. اما من موارد زیر را حدس می زنم: به احتمال زیاد، این روش برای بسیاری دشوار به نظر می رسد، زیرا چندان رایج نیست. اما در واقعیت، هیچ مشکل خاصی وجود ندارد - مسیر تصمیم روشن، شفاف و قابل درک است. و زیبا.

برای تسلط بر روش، مطلوب است که بتوان با انتخاب یک راه حل خاص مطابق شکل سمت راست، معادلات ناهمگن مرتبه دوم را حل کرد. این روش در مقاله به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است. DE ناهمگن از مرتبه 2. به یاد می آوریم که یک معادله ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت به شکل زیر است:

روش انتخاب که در درس بالا در نظر گرفته شد، فقط در موارد محدودی کار می کند، زمانی که چند جمله ای، توان، سینوس، کسینوس در سمت راست قرار دارند. اما وقتی در سمت راست، به عنوان مثال، کسری، لگاریتم، مماس، چه باید کرد؟ در چنین شرایطی، روش تغییر ثابت ها به کمک می آید.

مثال 4

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را پیدا کنید

راه حل:کسری در سمت راست این معادله وجود دارد، بنابراین می توان بلافاصله گفت که روش انتخاب یک راه حل خاص کار نمی کند. ما از روش تغییر ثابت های دلخواه استفاده می کنیم.

هیچ چیز طوفان رعد و برق را به تصویر نمی کشد، آغاز راه حل کاملاً معمولی است:

بیایید پیدا کنیم تصمیم مشترکمتناظر همگنمعادلات:

معادله مشخصه را می سازیم و حل می کنیم: - ریشه های پیچیده مزدوج به دست می آید، بنابراین راه حل کلی این است:

به رکورد راه حل کلی توجه کنید - اگر براکت وجود دارد، آنها را باز کنید.

اکنون تقریباً همان ترفند معادله مرتبه اول را انجام می دهیم: ثابت ها را تغییر می دهیم و آنها را با توابع مجهول جایگزین می کنیم. به این معنا که، راه حل کلی ناهمگنما به دنبال معادلات به شکل زیر خواهیم بود:

جایی که - هنوزتوابع ناشناخته

به نظر می رسد یک زباله دانی است، اما اکنون همه چیز را مرتب می کنیم.

مشتقات توابع به عنوان مجهول عمل می کنند. هدف ما یافتن مشتقات است و مشتقات یافت شده باید هر دو معادله اول و دوم سیستم را برآورده کنند.

"بازی ها" از کجا می آیند؟ لک لک آنها را می آورد. ما به راه حل کلی که قبلاً به دست آمده نگاه می کنیم و می نویسیم:

بیایید مشتقات را پیدا کنیم:

با سمت چپ برخورد کرد. سمت راست چیه؟

سمت راست معادله اصلی است، در این مورد:

این سخنرانی با LNDE - معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی سروکار دارد. ساختار جواب کلی، حل LNDE با روش تغییر ضرایب دلخواه، حل LNDE با ضرایب ثابت و سمت راست یک فرم خاص در نظر گرفته شده است. موضوعات مورد بررسی در مطالعه نوسانات اجباری در فیزیک، مهندسی برق و الکترونیک و تئوری کنترل خودکار استفاده می شود.

1. ساختار حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه 2.

ابتدا یک معادله ناهمگن خطی با نظم دلخواه را در نظر بگیرید:

با توجه به نماد، می توانیم بنویسیم:

در این صورت فرض می کنیم که ضرایب و سمت راست این معادله در یک بازه مشخص پیوسته هستند.

قضیه. جواب کلی یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی در برخی حوزه ها مجموع هر یک از جواب های آن و حل کلی معادله دیفرانسیل همگن خطی مربوطه است.

اثباتفرض کنید Y حل معادله ناهمگن باشد.

سپس با جایگزینی این راه حل به معادله اصلی، هویت را بدست می آوریم:

اجازه دهید
- سیستم اساسی راه حل های یک معادله همگن خطی
. سپس جواب کلی معادله همگن را می توان به صورت زیر نوشت:

به طور خاص، برای یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی از مرتبه 2، ساختار جواب کلی به شکل زیر است:

جایی که
سیستم اساسی حل معادله همگن مربوطه است و
- هر راه حل خاصی از معادله ناهمگن.

بنابراین، برای حل یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی، باید یک جواب کلی از معادله همگن مربوطه پیدا کرد و به نحوی یک راه حل خاص از معادله ناهمگن را یافت. معمولاً با انتخاب پیدا می شود. روش های انتخاب یک راه حل خاص در سوالات زیر مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

2. روش تنوع

در عمل، استفاده از روش تغییر ثابت های دلخواه راحت است.

برای انجام این کار ابتدا جواب کلی معادله همگن مربوطه را به شکل زیر پیدا کنید:

سپس ضرایب را تنظیم کنید سی منتوابع از ایکس، حل معادله ناهمگن جستجو می شود:

می توان نشان داد که برای یافتن توابع سی من (ایکس) شما باید سیستم معادلات را حل کنید:

مثال.معادله را حل کنید

معادله همگن خطی را حل می کنیم

حل معادله ناهمگن به صورت زیر خواهد بود:

ما یک سیستم معادلات را می سازیم:

بیایید این سیستم را حل کنیم:

از رابطه تابع را پیدا می کنیم اوه).

حالا پیدا می کنیم B(x).

مقادیر به دست آمده را با فرمول حل کلی معادله ناهمگن جایگزین می کنیم:

جواب نهایی:

به طور کلی، روش تغییر ثابت های دلخواه برای یافتن راه حل برای هر معادله ناهمگن خطی مناسب است. اما از آنجایی که یافتن سیستم اساسی راه حل های معادله همگن مربوطه می تواند کار بسیار دشواری باشد، این روش عمدتاً برای معادلات غیر همگن با ضرایب ثابت استفاده می شود.

3. معادلات با سمت راست یک فرم خاص

به نظر می رسد می توان شکل یک راه حل خاص را بسته به شکل سمت راست معادله ناهمگن نشان داد.

موارد زیر وجود دارد:

I. سمت راست معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی به شکل زیر است:

چند جمله ای درجه کجاست متر.

سپس یک راه حل خاص به شکل زیر جستجو می شود:

اینجا س(ایکس) چند جمله ای هم درجه است پ(ایکس) ، اما با ضرایب تعریف نشده و r- عددی که نشان می دهد چند برابر عدد  ریشه معادله مشخصه معادله دیفرانسیل همگن خطی مربوطه است.

مثال.معادله را حل کنید
.

معادله همگن مربوطه را حل می کنیم:

حال بیایید یک راه حل خاص برای معادله ناهمگن اصلی پیدا کنیم.

اجازه دهید سمت راست معادله را با شکل سمت راست مورد بحث در بالا مقایسه کنیم.

ما به دنبال یک راه حل خاص در این شکل هستیم:
، جایی که

آن ها

حال ضرایب مجهول را تعریف می کنیم آو که در.

اجازه دهید یک راه حل خاص را به شکل کلی با معادله دیفرانسیل ناهمگن اصلی جایگزین کنیم.

بنابراین، یک راه حل خصوصی:

سپس حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی:

II. سمت راست معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی به شکل زیر است:

اینجا آر 1 (ایکس)و آر 2 (ایکس)چند جمله ای درجه هستند متر 1 و متر 2 به ترتیب.

سپس جواب خاص معادله ناهمگن به شکل زیر خواهد بود:

جایی که شماره rچند برابر یک عدد را نشان می دهد
ریشه معادله مشخصه معادله همگن مربوطه است و س 1 (ایکس) و س 2 (ایکس) - حداکثر چند جمله ای درجه متر، جایی که متر- بزرگترین درجه متر 1 و متر 2 .

جدول خلاصه انواع راه حل های خاص

برای انواع مختلف قطعات مناسب

سمت راست معادله دیفرانسیل	معادله مشخصه	انواع خصوصی
	1. عدد ریشه معادله مشخصه نیست
	2. عدد ریشه معادله تعدد مشخصه است
	1. شماره ریشه معادله مشخصه نیست
	2. شماره ریشه معادله تعدد مشخصه است
	1. اعداد
	2. اعداد ریشه های معادله تعدد مشخصه هستند
	1. اعداد ریشه های معادله تعدد مشخصه نیستند
	2. اعداد ریشه های معادله تعدد مشخصه هستند

توجه داشته باشید که اگر سمت راست معادله ترکیبی از عبارات شکل در نظر گرفته شده در بالا باشد، آنگاه راه حل به صورت ترکیبی از حل معادلات کمکی است که هر کدام سمت راستی مطابق با عبارت موجود در ترکیب دارند.

آن ها اگر معادله به شکل زیر باشد:
، سپس راه حل خاصی از این معادله خواهد بود
جایی که در 1 و در 2 راه حل های خاص معادلات کمکی هستند