محیط یک شکل با اضلاع مختلف. نحوه محاسبه محیط چند ضلعی مختصات داده شده

هندسه اگر اشتباه نکنم در زمان من از پنجم دبستان خوانده می شد و محیط یکی از مفاهیم کلیدی بوده و هست. بنابراین، محیط مجموع طول همه اضلاع است (که با حرف لاتین P مشخص می شود). به طور کلی، این اصطلاح به روش های مختلفی تفسیر می شود، به عنوان مثال:

• طول کل مرز شکل،
• طول تمام اضلاع آن،
• مجموع طول صورت های آن،
• طول خط مرزی،
• مجموع تمام طول های اضلاع یک چند ضلعی

اشکال مختلف فرمول خاص خود را برای تعیین محیط دارند. برای درک خود معنی، من پیشنهاد می کنم به طور مستقل چند فرمول ساده را استنباط کنم:

1. برای یک مربع
2. برای یک مستطیل
3. برای متوازی الاضلاع
4. برای مکعب
5. برای یک جعبه

محیط یک مربع

به عنوان مثال، بیایید ساده ترین را در نظر بگیریم - محیط یک مربع.

تمام اضلاع یک مربع برابر است. بگذارید یک طرف "الف" (و همچنین سه طرف دیگر) نامیده شود

P = a + a + a + a

یا نمادهای فشرده تر

محیط یک مستطیل

بیایید کار را پیچیده کنیم و یک مستطیل بگیریم. در این صورت دیگر نمی توان گفت که همه ضلع ها مساوی هستند، بنابراین طول اضلاع مستطیل برابر با a و b باشد.

سپس فرمول به شکل زیر خواهد بود:

P = a + b + a + b

محیط متوازی الاضلاع

وضعیت مشابهی با متوازی الاضلاع خواهد بود (محیط مستطیل را ببینید)

محیط مکعب

اگر با یک فیگور سه بعدی روبرو هستیم چه کنیم؟ مثلا یک مکعب بگیرید. یک مکعب 12 ضلع دارد و همه آنها با هم برابرند. بر این اساس، محیط یک مکعب را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

محیط جعبه

خوب، برای ثابت کردن مواد، محیط متوازی الاضلاع را محاسبه می کنیم. در اینجا لازم است کمی فکر کنیم. بیا با هم انجامش بدیم. همانطور که می دانیم مکعب شکلی است که اضلاع آن مستطیل است. هر متوازی الاضلاع دارای دو پایه است. بیایید یکی از پایه ها را برداریم و به اضلاع آن نگاه کنیم - آنها طول های a و b دارند. بر این اساس، محیط پایه P = 2a + 2b است. سپس محیط دو پایه است

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

اما ما یک طرف "ج" هم داریم. بنابراین فرمول محاسبه محیط متوازی الاضلاع به صورت زیر خواهد بود:

P = 4a + 4b + 4c

همانطور که از مثال های بالا می بینید، تمام کاری که برای تعیین محیط یک شکل باید انجام شود این است که طول هر یک از اضلاع را پیدا کرده و سپس آنها را با هم جمع کنید.

در پایان، من می خواهم توجه داشته باشم که هر شکل دارای محیط نیست. به عنوان مثال، یک کره هیچ محیطی ندارد.

درس و ارائه با موضوع: "محیط و مساحت یک مستطیل"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، انتقادات، پیشنهادات خود را فراموش نکنید. تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی می شود.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه 3
شبیه ساز کلاس 3 "قوانین و تمرینات در ریاضیات"
کتاب الکترونیکی کلاس سوم "ریاضیات در 10 دقیقه"

مستطیل و مربع چیست

مستطیلیک چهار ضلعی با تمام زوایای قائمه است. پس اضلاع مقابل با هم برابرند.

مربعمستطیلی است با اضلاع و زوایای مساوی. به آن چهارضلعی منظم می گویند.

مثال.

به این صورت خوانده می شود: ABCD چهار ضلعی; مربع EFGH.

محیط یک مستطیل چقدر است؟ فرمول محاسبه محیط

محیط با حرف لاتین مشخص می شود پ. از آنجایی که محیط طول تمام اضلاع مستطیل است، محیط بر حسب واحد طول نوشته می شود: mm، cm، m، dm، km.

به عنوان مثال، محیط یک مستطیل ABCD به صورت نشان داده می شود پ ABCD، که در آن A، B، C، D رئوس مستطیل هستند.

بیایید فرمول محیط چهار ضلعی ABCD را بنویسیم:

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

راه حل:
1. یک مستطیل ABCD با داده های اولیه رسم می کنیم.
2. بیایید یک فرمول برای محاسبه محیط این مستطیل بنویسیم:

پ ABCD = 2 * (AB + BC)

پ ABCD=2*(5cm+3cm)=2*8cm=16cm

فرمول محاسبه محیط مربع

پ ABCD=2*(AB+BC)

پ ABCD=4*AB

راه حل.
1. یک مربع ABCD با داده های اصلی رسم کنید.

2. فرمول محاسبه محیط مربع را به یاد بیاورید:

پ ABCD=4*AB

پ ABCD=4*6cm=24cm

جواب: P ABCD = 24 سانتی متر.

مشکلات پیدا کردن محیط مستطیل

1. عرض و طول مستطیل ها را اندازه بگیرید. محیط آنها را مشخص کنید.

2. یک مستطیل ABCD با اضلاع 4 سانتی متر و 6 سانتی متر بکشید. محیط مستطیل را مشخص کنید.

3. مربع CEOM با ضلع 5 سانتی متر رسم کنید محیط مربع را مشخص کنید.

از محاسبه محیط مستطیل در کجا استفاده می شود؟

در این کار، لازم است که محیط سایت را به طور دقیق محاسبه کنید تا مواد اضافی برای ساخت نرده خریداری نشود.

2. والدین تصمیم گرفتند در اتاق کودکان تعمیراتی انجام دهند. برای محاسبه صحیح تعداد کاغذ دیواری ها باید محیط اتاق و مساحت آن را بدانید.
طول و عرض اتاقی که در آن زندگی می کنید را تعیین کنید. محیط اتاق خود را مشخص کنید.

مساحت یک مستطیل چقدر است؟

برای پیدا کردن مساحت یک مستطیل، طول مستطیل را در عرض آن ضرب کنید.
مساحت مستطیل با ضرب طول AK در عرض کیلومتر محاسبه می شود. بیایید این را به عنوان یک فرمول بنویسیم.

اس AKMO=AK*KM

اس AKMO \u003d AK * KM \u003d 7 cm * 2 cm \u003d 14 cm 2.

جواب: 14 سانتی متر مربع.

فرمول محاسبه مساحت مربع

مثال.
در این مثال، مساحت مربع با ضرب ضلع AB در عرض BC محاسبه می شود، اما از آنجایی که آنها مساوی هستند، ضلع AB در AB ضرب می شود.

اس ABCO = AB * BC = AB * AB

اس AKMO = AK * KM = 8 سانتی متر * 8 سانتی متر = 64 سانتی متر 2

جواب: 64 سانتی متر مربع.

مشکلات پیدا کردن مساحت یک مستطیل و یک مربع

2. یک منطقه حومه شهر به اندازه 20 متر در 30 متر خریداری شد. مساحت کلبه تابستانی را تعیین کنید ، پاسخ را در سانتی متر مربع بنویسید.

هدف:یاد بگیرید چگونه محیط مستطیل را پیدا کنید.

وظایف:ایجاد توانایی حل مسائل مربوط به یافتن محیط اشکال، توسعه توانایی ترسیم اشکال هندسی، تثبیت توانایی محاسبه با استفاده از خاصیت جابجایی جمع، توسعه مهارت شمارش ذهنی، تفکر منطقی، پرورش فعالیت شناختی و توانایی کار در یک تیم.

تجهیزات: ICT (پروژکتور چند رسانه ای، ارائه برای درس)، تصاویر با اشکال هندسی برای یک دقیقه فیزیکی، مدل مربع جادویی، دانش آموزان مدل های اشکال هندسی، تابلوهای نشانگر، خط کش، کتاب های درسی، دفترچه یادداشت دارند.

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی

آمادگی برای درس را بررسی کنید. با درود.

درس شروع می شود
او برای آینده به سراغ بچه ها خواهد رفت.
سعی کنید همه چیز را بفهمید -
و با دقت بشمار

2. حساب ذهنی

الف) استفاده از فیگورهای جادویی. ( پیوست 1 )

- خانه های مربع جادویی را پر می کنیم، ویژگی های آن را نام می بریم (مجموع اعداد در امتداد افقی، عمودی و مورب برابر است) و عدد جادویی را تعیین می کنیم. (39)

در یک زنجیر، بچه ها یک مربع را روی تخته و دفترچه ها پر می کنند.

ب) آشنایی با خواص مثلث های جادویی. ( ضمیمه 2 )

- مجموع اعداد در گوشه هایی که مثلث را تشکیل می دهند برابر است. بیایید اعداد جادویی را در مثلث پیدا کنیم. عدد گم شده را پیدا کنید روی تخته وایت برد علامت گذاری کنید.

3. آمادگی برای یادگیری مطالب جدید

- قبل از شما اشکال هندسی. آنها را در یک کلمه نام ببرید. (چهار ضلعی).
- آنها را به 2 گروه تقسیم کنید. ( پیوست 3 )
مستطیل ها چیست؟ (مستطیل ها چهار ضلعی هستند با تمام زوایای قائمه.)
با دانستن طول اضلاع چهارضلعی چه چیزی می توان آموخت؟ محیط مجموع طول اضلاع شکل هاست.
– محیط شکل سفید، زرد را پیدا کنید.
چرا مستطیل ها برای همه ضلع ها شناخته نمی شوند؟
خواص اضلاع مقابل مستطیل ها چیست؟ (یک مستطیل دارای اضلاع مخالف برابر است.)
اگر اضلاع مقابل با هم برابر باشند، آیا همه اضلاع باید اندازه گیری شوند؟ (خیر)
- درست است، فقط طول و عرض را اندازه بگیرید.
- چگونه به روشی راحت محاسبه کنیم؟ (دانش آموزان به صورت شفاهی با نظرات کار می کنند.)

4. یک موضوع جدید را کاوش کنید

- موضوع درس ما را بخوانید: "محیط مستطیل". ( پیوست 4 )
- به من کمک کنید محیط این شکل را پیدا کنم، اگر طول آن است - آ، و عرض است V.

کسانی که مایلند R را در تخته سیاه پیدا کنند. دانش آموزان راه حل را در دفترچه یادداشت می کنند.

چگونه آن را متفاوت بنویسیم؟

P = آ + آ + V + V,
P = آ x 2+ V x 2،
R = ( آ + V) x 2.

ما فرمول پیدا کردن محیط یک مستطیل را به دست آورده ایم. ( پیوست 5 )

5. تعمیر

صفحه 44 شماره 2.

بچه ها یک شرط، یک سوال را می خوانند و یادداشت می کنند، یک شکل ترسیم می کنند، P را به روش های مختلف پیدا می کنند، پاسخ را یادداشت می کنند.

6. دقیقه فیزیکی. کارت های سیگنال

چند سلول سبز
اینهمه شیب
چند بار دست می زنیم.
ما چندین بار پاهایمان را می کوبندیم.
ما اینجا چند دایره داریم
اینهمه پرش
چند بار قسم میخوریم
پس بیایید همین الان بالا بکشیم.

7. کار عملی

- شما اشکال هندسی در پاکت روی میز خود دارید. چگونه آنها را صدا کنیم؟
- مستطیل ها چیست؟
در مورد اضلاع مخالف مستطیل ها چه می دانید؟
- اضلاع شکل ها را با توجه به گزینه ها اندازه بگیرید، محیط را به روش های مختلف پیدا کنید.
با همسایه چک می کنیم.

بررسی متقابل نوت بوک ها.

- بخوانید: چگونه محیط را پیدا کردید؟ در مورد محیط این ارقام چه می توان گفت؟ (با هم برابرند).
- یک مستطیل با P یکسان، اما اضلاع متفاوت بکشید.

R 1 \u003d (2 + 6) x 2 \u003d 16 R 1 \u003d 2 x 2 + 6 x 2 \u003d 16
R 1 \u003d 2 + 2 + 6 + 6 \u003d 16
R 2 \u003d 3 + 3 + 5 + 5 \u003d 16 R 2 \u003d (3 + 5) x 2 \u003d 16
R 3 \u003d 4 + 4 + 4 + 4 \u003d 16 R 4 \u003d 1 + 1 + 7 + 7 \u003d 16

8. دیکته گرافیکی

6 سلول باقی مانده است. نکته ای را بیان کردند. شروع به حرکت می کنیم. 2 - راست، 4 - راست پایین، 10 - چپ، 4 - راست بالا. چه رقمی؟ آن را به یک مستطیل تبدیل کنید. کامل. R را به روش های مختلف پیدا کنید.

P \u003d (5 + 2) x 2 \u003d 14.
P \u003d 5 + 5 + 2 + 2 \u003d 14.
P \u003d 5 x 2 + 2 x 2 \u003d 14.

9. ژیمناستیک انگشت

زیاد شدند، زیاد شدند.
ما خیلی خیلی خسته ایم.
ما انگشتان خود را در هم می بندیم و کف دست ها را به هم وصل می کنیم.
و سپس به محض اینکه بتوانیم آن را محکم فشار می دهیم.
روی درها قفل وجود دارد.
چه کسی نتوانست آن را باز کند؟
به قفل زدیم
قفل را چرخاندیم
قفل را پیچیدیم و باز کردیم.

(کلمات با حرکات همراه است)

10. ترسیم و حل مسئله به شرط(پیوست 8 )

طول مستطیل - 12 dm
عرض - 3 dm متر.
ر -؟
در مرحله اول، عرض را پیدا می کنیم: 12 - 3 \u003d 9 (dm) - عرض
با دانستن طول و عرض، به یکی از راه ها به P پی می بریم.
P \u003d (12 + 9) x 2 \u003d 42 dm

11. کار مستقل

12. خلاصه درس

- چه یاد می گیرید. P یک مستطیل چگونه پیدا شد؟

13. ارزشیابی

پاسخ های دانش آموزان در تخته سیاه و به صورت انتخابی در فرآیند کار مستقل ارزیابی می شود.

14. تکالیف

س 44 شماره 5 (با توضیحات).

کافی است طول همه اضلاع آن را بیابید و مجموع آنها را بیابید. محیط کل طول مرزهای یک شکل صاف است. به عبارت دیگر، مجموع طول اضلاع آن است. واحد اندازه گیری محیط باید با واحد اندازه گیری اضلاع آن مطابقت داشته باشد. فرمول محیط یک چند ضلعی P \u003d a + b + c ... + n است که P محیط است، اما a، b، c و n طول هر ضلع است. در غیر این صورت، (یا محیط یک دایره) محاسبه می شود: از فرمول p \u003d 2 * π * r استفاده می شود که r شعاع است و π یک عدد ثابت تقریباً برابر با 3.14 است. بیایید به چند مثال ساده نگاه کنیم که به وضوح نحوه یافتن محیط را نشان می دهد. به عنوان مثال، شکل هایی مانند مربع، متوازی الاضلاع و دایره را در نظر می گیریم.

چگونه محیط مربع را پیدا کنیم

مربع یک چهار ضلعی منتظم است که تمام اضلاع و زوایا در آن برابر هستند. از آنجایی که تمام اضلاع یک مربع برابر است، مجموع طول اضلاع آن را می توان با استفاده از فرمول P = 4 * a محاسبه کرد، که در آن a طول یکی از اضلاع است. بنابراین ، با ضلع 16.5 سانتی متر برابر است با P \u003d 4 * 16.5 \u003d 66 سانتی متر. همچنین می توانید محیط یک لوزی متساوی الاضلاع را محاسبه کنید.

نحوه پیدا کردن محیط یک مستطیل

مستطیل چهار ضلعی است که تمام زوایای آن برابر با 90 درجه است. مشخص است که در شکلی مانند مستطیل، طول اضلاع به صورت جفت برابر است. اگر طول و عرض مستطیل یکسان باشد آن را مربع می نامند. معمولاً طول مستطیل را بزرگ‌ترین اضلاع و عرض آن کوچک‌ترین می‌گویند. بنابراین، برای به دست آوردن محیط یک مستطیل، باید مجموع عرض و ارتفاع آن را دو برابر کنید: P = 2 * (a + b)، که در آن a ارتفاع و b عرض است. با توجه به یک مستطیل با یک ضلع به طول 15 سانتی متر و ضلع دیگر آن به عرض 5 سانتی متر، محیطی برابر با P = 2 * (15 + 5) = 40 سانتی متر بدست می آوریم.

چگونه محیط یک مثلث را پیدا کنیم

یک مثلث از سه پاره خط تشکیل می شود که در نقاطی (رئوس مثلث) که روی یک خط قرار ندارند به هم می پیوندند. مثلثی را متساوی الاضلاع می گویند که هر سه ضلع آن مساوی باشد و اگر دو ضلع مساوی باشد متساوی الساقین نامیده می شود. برای پیدا کردن محیط، باید طول ضلع آن را در 3 ضرب کنید: P \u003d 3 * a، جایی که a یکی از اضلاع آن است. اگر اضلاع مثلث با یکدیگر برابر نیستند، لازم است عملیات جمع را انجام دهید: P \u003d a + b + c. محیط یک مثلث متساوی الساقین با اضلاع 33، 33 و 44 به ترتیب برابر است با: P \u003d 33 + 33 + 44 \u003d 110 سانتی متر.

چگونه محیط متوازی الاضلاع را پیدا کنیم

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع آن به صورت جفت موازی باشند. مربع، لوزی و مستطیل موارد خاص شکل هستند. طرف مقابل هر متوازی الاضلاع برابر است، بنابراین، برای محاسبه محیط آن، از فرمول P \u003d 2 (a + b) استفاده می کنیم. در متوازی الاضلاع با اضلاع 16 سانتی متر و 17 سانتی متر ، مجموع اضلاع یا محیط برابر است با P \u003d 2 * (16 + 17) \u003d 66 سانتی متر.

نحوه پیدا کردن محیط دایره

دایره یک خط مستقیم بسته است که تمام نقاط آن در فاصله مساوی از مرکز قرار دارند. محیط دایره و قطر آن همیشه نسبت یکسانی دارند. این نسبت به صورت یک ثابت بیان می شود که با حرف π نوشته می شود و تقریباً برابر با 3.14159 است. می توانید محیط دایره را با ضرب شعاع 2 برابر π پیدا کنید. به نظر می رسد که محیط دایره ای با شعاع 15 سانتی متر برابر با P \u003d 2 * 3.14159 * 15 \u003d 94.2477 خواهد بود.

هنگام حل، باید در نظر داشت که حل مشکل یافتن مساحت یک مستطیل فقط از طول اضلاع آن ممنوع است.

این به راحتی قابل تأیید است. محیط مستطیل 20 سانتی متر باشد اگر اضلاع آن 1 و 9 و 2 و 8 و 3 و 7 سانتی متر باشد این درست خواهد بود که هر سه مستطیل دارای محیط یکسانی برابر با بیست سانتی متر خواهند بود. (1 + 9) * 2 = 20 درست مانند (2 + 8) * 2 = 20 سانتی متر.
همانطور که می بینید، ما می توانیم انتخاب کنیم تعداد بی نهایت گزینهابعاد اضلاع مستطیل که محیط آن برابر با مقدار داده شده خواهد بود.

مساحت مستطیل ها با محیط معین 20 سانتی متر، اما با اضلاع مختلف متفاوت خواهد بود. برای مثال داده شده - به ترتیب 9، 16 و 21 سانتی متر مربع.
S 1 \u003d 1 * 9 \u003d 9 cm 2
S 2 \u003d 2 * 8 \u003d 16 cm 2
S 3 \u003d 3 * 7 \u003d 21 cm 2
همانطور که می بینید، تعداد نامحدودی گزینه برای مساحت یک شکل با محیط معین وجود دارد.

بنابراین، برای محاسبه مساحت یک مستطیل از محیط آن، باید نسبت اضلاع آن یا طول یکی از آنها را دانست. تنها شکلی که وابستگی واضحی به مساحت آن به محیط دارد یک دایره است. فقط برای دایرهو احتمالا یک راه حل

• وظیفه 4. با حفظ مساحت مستطیل، طول اضلاع را تغییر دهید

وظیفه 1. اضلاع یک مستطیل را از ناحیه پیدا کنید

وظیفه 2. اضلاع یک مستطیل را از محیط پیدا کنید

محیط مستطیل 26 سانتی متر و مجموع مساحت مربع های ساخته شده در دو ضلع مجاور آن 89 متر مربع است. به یافتن اضلاع مستطیل مراجعه کنید.
راه حل.
بیایید اضلاع مستطیل را به صورت x و y نشان دهیم.
سپس محیط مستطیل برابر است با:
2(x+y)=26
مجموع مساحت مربع های ساخته شده در هر یک از اضلاع آن (به ترتیب دو مربع وجود دارد و این مربع های عرض و ارتفاع هستند، زیرا اضلاع مجاور یکدیگر هستند) برابر خواهد بود.
x2+y2=89
ما سیستم معادلات حاصل را حل می کنیم. از معادله اول استنباط می کنیم که
x+y=13
y=13-y
اکنون در معادله دوم جایگزینی انجام می دهیم و x را با معادل آن جایگزین می کنیم.
(سیزدهم) 2 + y 2 = 89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y2 -26y+80=0
معادله درجه دوم حاصل را حل می کنیم.
D=676-640=36
x1=5
x2=8
حال بیایید در نظر بگیریم که بر اساس این واقعیت که x+y=13 (نگاه کنید به بالا) در x=5، سپس y=8 و بالعکس، اگر x=8، y=5
جواب: 5 و 8 سانتی متر

وظیفه 3. مساحت یک مستطیل را از نسبت اضلاع آن پیدا کنید

اگر محیط مستطیلی 26 سانتی متر و اضلاع آن 2 به 3 متناسب باشند، مساحت آن را بیابید.

راه حل.
اجازه دهید اضلاع مستطیل را با ضریب تناسب x نشان دهیم.
از جایی که طول یک طرف برابر با 2x خواهد بود، طرف دیگر - 3x.

سپس:
2 (2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
اکنون، بر اساس داده های به دست آمده، مساحت مستطیل را تعیین می کنیم:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40.56 سانتی متر مربع

وظیفه 4. تغییر طول اضلاع با حفظ مساحت یک مستطیل

راه حل.
مساحت مستطیل است
S=ab

در مورد ما، یکی از عوامل 25٪ افزایش یافته است که به معنای 2 = 1.25a است. بنابراین مساحت جدید مستطیل باید باشد
S 2 \u003d 1.25ab

بنابراین، برای برگرداندن مساحت مستطیل به مقدار اولیه خود، سپس
S2 = S / 1.25
S 2 \u003d 1.25ab / 1.25

از آنجایی که اندازه جدید a قابل تغییر نیست، پس
S 2 \u003d (1.25a) b / 1.25

1 / 1,25 = 0,8
بنابراین، مقدار طرف دوم باید با (1 - 0.8) * 100٪ = 20٪ کاهش یابد.

پاسخ: عرض باید 20 درصد کاهش یابد.