نرخ بهره واقعی برابر با نرخ اسمی است. نرخ اسمی و واقعی سپرده. محاسبه سود مستمر

اغلب اوقات می توانید در نگاه اول پیشنهادهای سودآوری را مشاهده کنید که نوید استقلال مالی را می دهند. اینها می توانند هم سپرده های بانکی و هم فرصت هایی برای سبد سرمایه گذاری باشند. اما آیا همه چیز به همان اندازه سودآور است که تبلیغات می گوید؟ ما در این مورد در چارچوب مقاله صحبت خواهیم کرد و متوجه شدیم که نرخ اسمی و نرخ واقعی چیست.

نرخ بهره

اما ابتدا، بیایید در مورد اساس اصول این موضوع - نرخ بهره صحبت کنیم. این نشان دهنده سود اسمی است که یک فرد خاص می تواند هنگام سرمایه گذاری در چیزی دریافت کند. لازم به ذکر است که فرصت های زیادی برای از دست دادن پس انداز یا نرخ بهره ای که شخص باید دریافت کند وجود دارد:

بنابراین، لازم است با جزئیات زیاد مطالعه کنید که در چه چیزی قرار است سرمایه گذاری کنید. باید به خاطر داشت که نرخ بهره اغلب بازتابی از ریسک پذیری پروژه مورد مطالعه است. بنابراین، آنهایی که سطح بازدهی تا 20٪ را ارائه می دهند ایمن ترین در نظر گرفته می شوند. گروه پرخطر شامل دارایی هایی است که تا 70 درصد در سال را وعده می دهند. و هر چیزی که بیش از این شاخص ها باشد منطقه خطری است که نباید بدون تجربه در آن دخالت کرد. اکنون که مبنای نظری وجود دارد، می توان در مورد اینکه نرخ اسمی و نرخ واقعی چیست صحبت کرد.

مفهوم نرخ اسمی

تعیین ارزش اسمی بسیار ساده است - این به عنوان ارزشی است که به دارایی های بازار داده می شود و آنها را بدون تورم ارزیابی می کند. به عنوان مثال شما، خواننده، و بانکی هستید که سالانه 20 درصد سپرده ارائه می دهد. به عنوان مثال، شما 100 هزار روبل دارید و می خواهید آنها را افزایش دهید. بنابراین آن را به مدت یک سال در بانک گذاشتند. و در پایان دوره آنها 120 هزار روبل گرفتند. سود خالص شما به اندازه 20000 است.

اما آیا واقعا اینطور است؟ به هر حال، در این مدت، غذا، پوشاک، سفر می توانست به طور قابل توجهی قیمت داشته باشد - و مثلاً نه 20، بلکه 30 یا 50 درصد. در این صورت برای به دست آوردن تصویر واقعی از چیزها چه باید کرد؟ هنگام انتخاب به چه چیزی باید اولویت داده شود؟ چه چیزی باید به عنوان معیار برای خود انتخاب شود: نرخ اسمی و نرخ واقعی، یا یکی از آنها؟

نرخ واقعی

برای چنین مواردی، شاخصی مانند نرخ بازده واقعی وجود دارد. قابل ذکر است که می توان آن را به راحتی محاسبه کرد. برای انجام این کار، نرخ تورم مورد انتظار باید از نرخ اسمی کم شود. در ادامه مثالی که قبلا داده شد، می توانیم این را بگوییم: شما 100 هزار روبل را با 20٪ در سال در بانک قرار می دهید. تورم فقط 10 درصد بود. در نتیجه، سود خالص اسمی 10 هزار روبل خواهد بود. و اگر هزینه آنها را تنظیم کنید با توجه به قدرت خرید پارسال 9000.

این گزینه به شما امکان می دهد تا سودی هرچند ناچیز اما به دست آورید. حال می‌توان وضعیت دیگری را در نظر گرفت که در آن تورم قبلاً 50 درصد بود. نیازی نیست که یک نابغه ریاضی باشید تا بفهمید که وضعیت امور شما را مجبور می کند به دنبال راه دیگری برای پس انداز و افزایش سرمایه خود باشید. اما همه اینها تا اینجا به سبک یک توصیف ساده بوده است. در علم اقتصاد برای محاسبه همه اینها از معادله فیشر استفاده می شود. بیایید در مورد او صحبت کنیم.

معادله فیشر و تفسیر آن

تنها در موارد تورم یا کاهش تورم می توان از تفاوت نرخ اسمی و واقعی صحبت کرد. بیایید بررسی کنیم که چرا. برای اولین بار، ایده رابطه بین نرخ های اسمی و واقعی با تورم توسط اقتصاددان ایروینگ فیشر مطرح شد. در فرمول به صورت زیر است:

NS=RS+OTI

HC نرخ بازده اسمی است.

GTI - نرخ تورم مورد انتظار؛

RS - نرخ واقعی.

این معادله برای توصیف ریاضی اثر فیشر استفاده می شود. این به نظر می رسد: نرخ بهره اسمی همیشه با مقداری که نرخ واقعی بدون تغییر باقی می ماند تغییر می کند.

ممکن است پیچیده به نظر برسد، اما اکنون با جزئیات بیشتری متوجه خواهیم شد. واقعیت این است که وقتی مقدار مورد انتظار 1٪ باشد، ارزش اسمی نیز 1٪ افزایش می یابد. بنابراین، ایجاد یک فرآیند تصمیم گیری سرمایه گذاری با کیفیت بدون در نظر گرفتن تفاوت بین نرخ ها غیرممکن است. قبلاً فقط در مورد پایان نامه مطالعه می کردید و اکنون شواهد ریاضی دارید که هر آنچه در بالا توضیح داده شد یک داستان ساده نیست، بلکه، افسوس، یک واقعیت غم انگیز است.

نتیجه

و در نتیجه چه می توان گفت؟ هر زمان که یک انتخاب وجود دارد، لازم است که به صورت کیفی به انتخاب یک پروژه سرمایه گذاری برای خود نزدیک شود. مهم نیست که چیست: سپرده بانکی، مشارکت در یک صندوق سرمایه گذاری متقابل یا چیز دیگری. و برای محاسبه درآمدهای آتی یا زیان های احتمالی همیشه از ابزارهای اقتصادی استفاده کنید. بنابراین، نرخ بهره اسمی می تواند در حال حاضر سود بسیار خوبی را به شما وعده دهد، اما هنگام ارزیابی همه پارامترها، معلوم می شود که همه چیز چندان خوشگل نیست. و ابزارهای اقتصادی به محاسبه اینکه کدام تصمیم سودآورتر خواهد بود کمک خواهد کرد.

درصد استقدر مطلق. مثلاً اگر 20000 قرض گرفته شود و بدهکار باید 21000 برگرداند، درصد آن 21000-20000=1000 است.

نرخ (هنجار) بهره وام - قیمت استفاده از پول - درصد معینی از مقدار پول است. در نقطه تعادل عرضه و تقاضا برای پول تعیین می شود.

اغلب در عمل اقتصادی، برای راحتی، وقتی در مورد بهره وام صحبت می کنند، منظور آنها نرخ بهره است.

تفاوت بین نرخ بهره اسمی و واقعی. وقتی مردم در مورد نرخ بهره صحبت می کنند، منظورشان نرخ بهره واقعی است. با این حال، نرخ های واقعی را نمی توان به طور مستقیم مشاهده کرد. هنگام انعقاد قرارداد وام، اطلاعاتی در مورد نرخ بهره اسمی دریافت می کنیم.

نرخ اسمی (i)- بیان کمی نرخ بهره با در نظر گرفتن قیمت های جاری. نرخی که وام با آن صادر می شود. نرخ اسمی همیشه بزرگتر از صفر است (به جز وام رایگان).

نرخ بهره اسمیاز نظر پول درصدی است. به عنوان مثال، اگر برای وام سالانه 10000 واحدی، 1200 واحد den پرداخت می شود. به عنوان بهره، نرخ بهره اسمی 12 درصد در سال خواهد بود. آیا وام دهنده با دریافت 1200 واحد وام درآمدی ثروتمندتر می شود؟ این بستگی به تغییر قیمت ها در طول سال دارد. اگر تورم سالانه 8 درصد بود، درآمد واقعی طلبکار تنها 4 درصد افزایش یافت.

نرخ واقعی (r)= نرخ اسمی - نرخ تورم. نرخ سود بانکی واقعی می تواند صفر یا حتی منفی باشد.

نرخ بهره واقعیافزایش در ثروت واقعی است که به صورت افزایش قدرت خرید سرمایه گذار یا وام دهنده یا نرخ مبادله ای که کالاها و خدمات امروزی، کالاهای واقعی، با کالاها و خدمات آینده مبادله می شود، بیان می شود. این واقعیت که نرخ بهره بازار مستقیماً تحت تأثیر فرآیندهای تورمی قرار خواهد گرفت، ابتدا توسط پیشنهاد شد I. فیشر، که نرخ سود اسمی و نرخ تورم مورد انتظار را تعیین کرد.

رابطه بین نرخ ها را می توان با عبارت زیر نشان داد:

i = r + e،جایی که i نرخ بهره اسمی یا بازار است، r نرخ بهره واقعی است،

e نرخ تورم است.

تنها در موارد خاص که افزایش قیمت در بازار پول وجود ندارد (e=0)، نرخ سود واقعی و اسمی با هم مطابقت دارند. معادله نشان می دهد که نرخ بهره اسمی می تواند به دلیل تغییر در نرخ بهره واقعی یا به دلیل تغییر در تورم تغییر کند. از آنجایی که وام گیرنده و وام دهنده نمی دانند تورم چه نرخی خواهد داشت، از نرخ تورم مورد انتظار استفاده می کنند. معادله به شکل زیر است:

i = r + e e، جایی که e eنرخ تورم مورد انتظار

این معادله به اثر فیشر معروف است.ماهیت آن این است که نرخ بهره اسمی نه با نرخ واقعی تورم، زیرا مشخص نیست، بلکه توسط نرخ تورم مورد انتظار تعیین می شود. پویایی نرخ بهره اسمی حرکت نرخ تورم مورد انتظار را تکرار می کند. باید تاکید کرد که هنگام تعیین نرخ سود بازار، نرخ تورم مورد انتظار در آینده با در نظر گرفتن سررسید تعهد بدهی مهم است و نه نرخ واقعی تورم در گذشته.

اگر تورم پیش بینی نشده رخ دهد، وام گیرندگان به قیمت وام دهندگان سود می برند، زیرا وام را با پول مستهلک شده بازپرداخت می کنند. در صورت کاهش تورم، وام دهنده به هزینه وام گیرنده سود خواهد برد.

گاهی اوقات ممکن است شرایطی پیش بیاید که نرخ بهره واقعی وام دارای ارزش منفی باشد. اگر نرخ تورم از نرخ رشد نرخ اسمی بیشتر شود، ممکن است این اتفاق بیفتد. نرخ‌های بهره منفی می‌توانند در دوره‌های تورم یا تورم شدید، و همچنین در دوره‌های رکود اقتصادی که تقاضا برای اعتبار کاهش می‌یابد و نرخ‌های بهره اسمی کاهش می‌یابد، ایجاد شود. نرخ بهره واقعی مثبت به معنای افزایش درآمد طلبکاران است. این در صورتی اتفاق می افتد که تورم هزینه واقعی وام (اعتبار دریافتی) را کاهش دهد.

نرخ بهره می تواند ثابت یا شناور باشد.

نرخ بهره ثابتبرای کل دوره استفاده از وجوه قرض گرفته شده بدون حق یکجانبه بررسی آن ایجاد می شود.

نرخ بهره شناور- این نرخ وام های میان مدت و بلند مدت است که از دو بخش تشکیل شده است: مبنای منقول که مطابق با بازار تغییر می کند. کنیونکچرو یک ارزش ثابت، معمولاً بدون تغییر در کل دوره اعطای وام یا گردش بدهی

مرسوم است که نرخ بهره را در دو پیش بینی ارزش اسمی و واقعی ارزیابی می کنند.

نرخ بهره اسمی منعکس کننده موقعیت فعلی ارزش دارایی است. تفاوت اصلی آن با نرخ واقعی استقلال آن از شرایط بازار است. نرخ اسمی بر حسب پولی منعکس کننده هزینه سرمایه، به استثنای فرآیندهای تورمی است. نرخ واقعی بر خلاف نرخ اسمی، ارزش هزینه منابع مالی را با در نظر گرفتن ارزش تورم نشان می دهد.

بر اساس تعریف این مفهوم می توان دریافت که نرخ سود اسمی تغییرات افزایش قیمت و سایر ریسک های مالی را در نظر نمی گیرد. نرخ اسمی می تواند توسط فعالان بازار فقط به عنوان یک ارزش مقدماتی در نظر گرفته شود.

اثر ریاضی

وابستگی نرخ های اسمی و واقعی بازتاب ریاضی خود را در معادله فیشر دریافت کرده است. این مدل ریاضی به شکل زیر است:

نرخ واقعی + نرخ تورم مورد انتظار = نرخ اسمی

اثر فیشر از نظر ریاضی به صورت زیر توصیف می شود: نرخ اسمی با مقداری که نرخ واقعی بدون تغییر باقی می ماند تغییر می کند.

این نرخ تورم آتی است که در شکل گیری نرخ بازار با در نظر گرفتن سررسید مطالبات بدهی اهمیت دارد و نه نرخ واقعی که در گذشته بوده است.

برابری نرخ اسمی و واقعی تنها در صورت عدم وجود کامل تورم یا تورم امکان پذیر است. این وضعیت عملاً غیرواقعی است و در علم تنها در قالب شرایط ایده آل برای عملکرد بازار سرمایه مورد توجه قرار می گیرد.

نرخ بهره مرکب اسمی

در اغلب موارد، نرخ بهره اسمی هنگام اعطای وام اعمال می شود. این به دلیل بازار پویا و رقابتی وام است. تعیین هزینه سرمایه در خطوط اعتباری بر اساس مدت وام، ارز و ویژگی های قانونی استقراض ارزیابی می شود. بانک‌ها در تلاش برای به حداقل رساندن ریسک‌های خود، ترجیح می‌دهند در همکاری‌های بلندمدت ارزی و در همکاری کوتاه‌مدت داخلی به مشتریان وام دهند.

به منظور ارزیابی صحیح درآمد مورد انتظار از استفاده از وجوه برای مدت طولانی، اقتصاددانان توصیه می کنند که طرح بهره مرکب را در نظر بگیرید. هنگام تعلق سود به روش بهره مرکب، در ابتدای هر دوره نظارتی جدید، سود به مبلغ دریافتی در پایان دوره قبل تعلق می گیرد.

هر مکانیزم بازار در یک محیط پرنوسان، به ویژه مانند اقتصاد داخلی، همیشه با ریسک های بالایی همراه است. خواه قرارداد وام باشد یا سرمایه گذاری در اوراق بهادار، افتتاح یک تجارت جدید یا همکاری سپرده گذاری با یک بانک. همواره با ارزیابی سود بالقوه، توجه به عوامل خارجی و وضعیت واقعی بازار ضروری است. فقط بر اساس بازده اسمی، می توانید تصمیمات مالی اشتباه، آشکارا زیان آور یا حتی بالقوه فاجعه بار بگیرید.

سود مرکب را می توان چندین بار در سال شارژ کرد

(به عنوان مثال، بر اساس ماه، فصل، ترم). برای بررسی این مورد، مفهوم نرخ اسمی را معرفی می کنیم.

نرخ اسمینرخ سالانه ای است که با آن بهره دریافت می شود متر سالی یک بار ( متر > 1). بیایید آن را با علامت گذاری کنیم j . بنابراین، برای یک دوره، سود به نرخ محاسبه می شود j/m.

مثال.اگر با نرخ اسمی j= 20% 4 بار در سال تعلق می گیرد، سپس نرخ برای یک دوره (ربع) برابر است با

20 % : 4 = 5%.

فرمول (8) اکنون می تواند به صورت زیر نمایش داده شود:

S = P ( 1+j/m) ن , (10)

جایی که N- تعداد کل دوره های تعهدی، N= m×t، t - عدد سالها. با افزایش فرکانس متر اقلام تعهدی در سال، نرخ تعهدی و در نتیجه درآمد مطلق سالانه رشد می کند.

نرخ بهره موثر

برای مقایسه درآمد نسبی واقعی برای سالی که بهره محاسبه می شود یک و متر اجازه دهید مفهوم نرخ بهره موثر را معرفی کنیم.

نرخ بهره سالانه موثر من ef - این نرخی است که درآمد نسبی واقعی را که در کل سال از محاسبه بهره دریافت می شود اندازه گیری می کند. من ef - نرخ بهره مرکب سالانه است که همان نتیجه را می دهد متر- یک بار تعهدی سود با نرخ دوره من = j/m .

نرخ مؤثر از شرط برابری دو اقلام تعهدی متناظر برای یک سال بدست می‌آید:

1+i ef = ( 1+j/m) متر.

از این رو نتیجه می شود که

من ef = ( 1+ j / m) m - 1(11)

مثال.نرخ بهره مرکب موثر را طوری تعیین کنید که همان مقدار تعلق گرفته ای را به دست آورید که انگار از نرخ اسمی استفاده می کنید. j\u003d 18٪ با سود سه ماهه ( متر=4).

راه حل . از فرمول (11) به دست می آید:

منef = (1 + 0.18 / 4) 4 - 1 = 0.1925 (یا 19.25٪).

مثال. اگر نرخ اسمی 25% با بهره ماهانه باشد، نرخ موثر را بیابید.

راه حل . من eff \u003d (1 + 0.25 / 12) 12 - 1 \u003d 0.2807 یا 28.07%.

برای طرفین معامله فرقی نمی کند که نرخ 25% (به صورت ماهانه) را اعمال کنند یا نرخ سالانه 28.07%.

مثال.نرخ بهره اسمی را که به صورت شش ماهه تعلق می گیرد، معادل نرخ اسمی 24 درصد مرکب ماهانه بیابید.

راه حل. اجازه دهید j 2 - نرخ سود منطبق بر تعهدی برای نیم سال. j 12 - به ماه.

از برابری ضرایب رشد به دست می آید:

(1 + j 2 / 2) 2 = (1 + j 12 / 12) 12 ,

1 + j 2 / 2 = (1 + j 12 / 12) 6 Þ j 2 = 2[(1 + j 2 / 12) 6 - 1] =

2 [(1 + 0.24/12) 6 - 1] = 0.25 یا j 2 = 25 %.

محاسبه سود مستمر

مبلغ جمع آوری شده برای تیسال طبق فرمول (10) با نرخ بهره ثابت j mبا افزایش تعداد مترافزایش می یابد، اما با افزایش نامحدود مترمجموع S = S mبه حد نهایی تمایل دارد.

واقعا

این واقعیت دلیلی برای اعمال می کند علاقه مستمربه نرخ سالانه د. در عین حال، مقدار انباشته شده در طول زمان تیبا فرمول تعیین می شود

S = Peد تی . (12)

نرخ بهره دتماس گرفت قدرت رشد.

مثال . بانک با نرخ مستمر d=8% به مبلغ 20 هزار روبل سود تعلق می گیرد. در عرض 5 سال مقدار انباشته شده را پیدا کنید.

راه حل . از فرمول (12) چنین بر می آید که مقدار انباشته شده است

اس\u003d 20000 e 0.08 × 5 \u003d 20000 × e 0.4 \u003d 20000 × 1.49182 \u003d 29،836.49 روبل.

وظایف

3.1. مبلغ 400 هزار روبل است. سرمایه گذاری به مدت 2 سال با 30٪ در سال. مقدار انباشته و بهره مرکب را برای این دوره بیابید.

3.2. وام 500 هزار روبل. با بهره مرکب به مدت 1 سال با نرخ 10 درصد در ماه صادر می شود. کل مبلغ بدهی تا پایان دوره را محاسبه کنید.

3.3. سود مرکب را برای یک سال و نیم تعلق گرفته بر روی 70 هزار روبل تعیین کنید. با نرخ 5 درصد در هر سه ماهه.

3.4. 200 دلار به سپرده مدت دار در بانک با نرخ 6 درصد در سال واریز شد. مبالغ انباشته شده در حساب را پس از 2، 3، 4 و 5 سال، مشروط به تعلق: الف) سود ساده بیابید. ب) بهره مرکب؛ ج) بهره مستمر.

3.5. نرخ بهره موثر را محاسبه کنید، معادل نرخ اسمی 36٪، زمانی که بهره به صورت ماهانه ترکیب می شود. پاسخ: 42.6 درصد.

3.6. برای نرخ اسمی 12٪ با بهره مرکب دو بار در سال، نرخ معادلی را که ماهانه ترکیب می شود محاسبه کنید.

حسابداری تورمی

در شرایط مدرن، تورم اغلب نقش تعیین کننده ای دارد و بدون در نظر گرفتن آن، نتایج نهایی یک مقدار بسیار دلخواه است. در زندگی واقعی، تورم خود را در کاهش قدرت خرید پول و سطح عمومی افزایش قیمت ها نشان می دهد. بنابراین هنگام انجام معاملات مالی باید به آن توجه شود. بیایید نحوه محاسبه آن را در نظر بگیریم.

نرخ تورم با استفاده از سیستم اندازه گیری می شود شاخص های تورمکه مشخص کننده میانگین تغییر سطح قیمت برای برخی از مجموعه (سبد) ثابت کالاها و خدمات در یک دوره زمانی معین است. اجازه دهید ارزش سبد در زمان تی برابر است با S(t) .

لیست قیمتیا شاخص تورم JP از جانب تی 1 قبل از تی 2 کمیت بی بعد نامیده می شود

J P = S(t 1 ) / S(t 2 ),

آ نرخ تورمدر این مدت افزایش نسبی قیمت ها نامیده می شود:

h = = JP- 1.

از این رو شاخص قیمت

J P = 1+h .

در صورتی که دوره بررسی تورم شامل n دوره هایی که در هر یک از آنها میانگین نرخ تورم برابر است ساعت, سپس

J P = ( 1+ h) n.

زمانی که نرخ تورم در من- دوره ام برابر است با سلام ، شاخص تورم برای n دوره ها با فرمول محاسبه می شود

J P = ( 1+h 1 ) ( 1+h 2 )…( 1+hn).

شاخص تورم JP چند بار و نرخ تورم را نشان می دهد ساعت درصد افزایش قیمت ها در دوره مورد بررسی چقدر است؟

شاخص قدرت خرید پول JD برابر است با متقابل شاخص قیمت:

J D = 1 /JP= 1/ ( 1+h).

مثال.شما مبلغ 140 هزار روبل دارید. مشخص است که قیمت ها در دو سال گذشته دو برابر شده است. لیست قیمت JP= 2. در این حالت، شاخص قدرت خرید پول است JD= 1/2. این بدان معنی است که قدرت خرید واقعی 140 هزار روبل است. در زمان دریافت فقط 140 × 1/2 = 70 هزار روبل خواهد بود. به پول دو سال پیش

اگر یک ساعت نرخ تورم سالانه است، سپس شاخص قیمت سالانه برابر است با 1+h ، بنابراین مقدار انباشته شده با در نظر گرفتن تورم

S و = P ( 1+ i) n = P(13)

بدیهی است اگر میانگین نرخ تورم سالانه ساعت برابر با نرخ بهره من, سپس S و = P, آن ها رشدی در مقدار واقعی وجود نخواهد داشت: افزایش جذب تورم خواهد شد. اگر یک h > i ، سپس مقدار واقعی کمتر از اصلی است. فقط در یک موقعیت ساعت< i رشد واقعی وجود دارد

مثال.نرخ تورم ثابت 10 درصد در ماه در سال منجر به افزایش قیمت ها در مقدار JP= 1.1 12 = 3.14. بنابراین، نرخ تورم سالانه h = JP- 1 = 2.14 یا 214٪.

به منظور کاهش تاثیر تورم و جبران زیان ناشی از کاهش قدرت خرید پول، از شاخص‌سازی نرخ بهره استفاده می‌شود. در این حالت نرخ مطابق با نرخ تورم تعدیل می شود.

نرخ تعدیل شده نامیده می شود نرخ ناخالصاجازه دهید این نرخ را محاسبه کنیم و آن را به طور کامل نشان دهیم r.

اگر تورم جبران شود نرخ های ناخالصدر حضور علاقه ساده، سپس ارزش r از برابری ضرایب افزایش پیدا می کنیم:

1+ n × r = ( 1+ n × i) J P = ( 1+ n×i)( 1+ h) n،

(14)

نرخ ناخالص برای تعلق به نرخ بهره مرکب از برابری ( n = 1):

1+ r = ( 1+ من)( 1+h)

r = i + h + h×i(15)

فرمول های (14)، (15) به معنای زیر است: به منظور اطمینان از سودآوری واقعی در من٪، در نرخ تورم h، باید نرخی را تعیین کنید r %.

مثال . بانک به مدت 6 ماه - 5 میلیون روبل وام صادر کرد. نرخ تورم ماهانه مورد انتظار 2 درصد است، سود واقعی مورد نیاز عملیات 10 درصد در سال است. نرخ سود وام را با در نظر گرفتن تورم، مبلغ تعهدی و میزان سود پرداختی تعیین کنید.

راه حل . شاخص تورم JP= (1 + 0.02) 6 = 1.1262. از (14) مقدار نرخ ناخالص را بدست می آوریم:

r = = 0.365 (یا 36.5٪).

مقدار مقدار انباشته شده

S=P( 1+nr)\u003d 5 (1 + 0.5 × 0.365) \u003d 5.9126 میلیون روبل.

مبلغ پرداخت سود (کارمزد وام)

من= 5.9126 - 5.0 = 0.9126 میلیون روبل

مثال . وام 1 میلیون روبلی. به مدت دو سال صادر شد. بازده واقعی باید 11 درصد در سال (بهره مرکب) باشد. نرخ تورم تخمینی 16 درصد در سال. نرخ بهره هنگام صدور وام و همچنین مبلغ انباشته را تعیین کنید.

راه حل . از فرمول (15) داریم:

r= 0.11 + 0.16 + 0.11 × 0.16 = 0.2876;

S= 1.0 (1 + 0.2876) 2 = 1.658 میلیون روبل

وظایف

4.1. اعتبار 500 هزار روبل. صادر شده از 98.06.20. به تاریخ 98/09/15 در هنگام صدور وام در نظر گرفته می شود که شاخص قیمت در زمان بازپرداخت آن 1.3 باشد. نرخ ناخالص و مبلغ قابل بازخرید را تعیین کنید.

پاسخ: آر = 134% ; اس آر= 658194 روبل.

4.2. اعتبار به مبلغ 5 میلیون روبل. به مدت 3 سال صادر شده است. سود واقعی عملیات باید 3 درصد در سال با نرخ مرکب باشد. نرخ تورم تخمینی 10 درصد در سال است. نرخ ناخالص و مبلغ قابل بازخرید را محاسبه کنید. پاسخ : آر = 13,3 % ; S به R= 7272098 روبل.

4.3. سپرده ای به مبلغ 100 هزار روبل در بانک گذاشته شد. 100٪ در سال برای یک دوره 5 ساله. نرخ تورم مورد انتظار در این دوره ساعت= = 50٪ در سال. مقدار واقعی مشتری را پس از پنج سال تعیین کنید: الف) با تورم تعدیل شده است. ب) بدون احتساب تورم.

4.4. بانک باید چه نرخی تعیین کند که با تورم سالانه 11 درصد سود واقعی 6 درصد باشد.

اجاره های مالی

مستمری منظم

تراکنش‌های مالی اغلب شامل پرداخت‌های یک‌باره نیستند، بلکه متوالی از آن‌ها در طول زمان است. به عنوان مثال می توان به بازپرداخت وام، پرداخت اجاره و غیره اشاره کرد. چنین توالی پرداخت ها نامیده می شود جریان پرداخت.

اجازه دهید معامله مالی تحت قرارداد در لحظه شروع شود تی 0, و در لحظه به پایان می رسد t n . پرداخت ها Rk (ک = 1,2,..,n) در لحظاتی رخ می دهد t k . معمولا اعتقاد داشت تی 0 = 0 (شکل 1).

اجاره مالیدنباله ای از پرداخت های دوره ای نامیده می شود R k، R k > 0 در فواصل منظم انجام می شود.

پرداخت ها Rk تماس گرفت اجاره اعضا . اگر همه پرداخت ها یکسان باشد، به عنوان مثال. R k = R ، سپس اجاره نامیده می شود مقدار ثابت.

اجازه دهید د - مدت اجاره، و n - تعداد پرداخت‌ها، سپس حاصل ضرب دوره با تعداد پرداخت‌ها nd نشان می دهد مدت زمان تقویم اجاره. اگر پرداخت در پایان هر دوره انجام شود (شکل 1)، آنگاه اجاره نامیده می شود معمولی، و اگر در ابتدای دوره، پس داده شده(شکل 2).

انتخاب کردن واحد پایه زمان , پرسیدن نرخ بهره اجاره(دشوار). بیایید پیدا کنیم مبلغ تعلق گرفته اس سالیانه عادی سالانه، متشکل از n پرداخت ها، یعنی مجموع همه اعضای جریان پرداخت با بهره ای که تا پایان دوره به آنها تعلق می گیرد. برای انجام این کار، یک مشکل خاص را در نظر بگیرید. بگذار تمام شود n سال، بانک در پایان هر سال پرداخت می شود آر روبل مشارکت ها دارای بهره مرکب با نرخ است من٪ در سال (شکل 3).

مبلغ تعهدی اس شامل n مقررات. دقیقا

S = R + R( 1+ i) + R( 1+ من) 2 + ... + R( 1+ i) n- 1

در سمت راست مقدار است n شرایط یک پیشرفت هندسی با جمله اول آر و مخرج 1+i . با استفاده از فرمول مجموع یک تصاعد هندسی، به دست می آوریم

(16)

s(n;i) و تماس گرفت عامل تجمعاجاره معمولی فرمول (16) را می توان به صورت بازنویسی کرد

S = R  s(n; i)

ارزش فعلی اجاره Aمجموع همه اعضای مستمری است که در ابتدای دوره مستمری تخفیف داده می شود. از شرط هم ارزی برای ارزش جاری و تعهدی سالیانه عادی، ارزش فعلی سالیانه را پیدا می کنیم. ولی:

S = A( 1 + i) nیا A = S( 1 + i) -n.

به این ترتیب،

. (17)

عبارت با نماد نشان داده می شود a (n;i) و تماس گرفت عامل تخفیفاجاره معمولی یا عامل کاهشاجاره. بنابراین، معنای مدرن اجاره

A = R × a (n; i) .

مثال.ارزش فعلی و تعهدی سالیانه را با پرداخت 320 هزار روبل بیابید. در پایان هر ماه به مدت دو سال. سود ماهانه با نرخ اسمی 24 درصد در سال تعلق می گیرد.

راه حل . نرخ موثر ماهانه 24٪ است : 12 = 2% مقدار فعلی با فرمول (17) محاسبه می شود:

آ= 320 = 6052، 4619 هزار روبل.

مقدار انباشته شده با فرمول (14) محاسبه می شود:

اس= = 9734.9952 هزار روبل

مثال . این شرکت تصمیم به ایجاد یک صندوق سرمایه گذاری گرفت. برای این منظور، به مدت 5 سال در پایان هر سال، 100 هزار روبل در بانک سپرده می شود. 20٪ در سال با سرمایه گذاری بعدی آنها، یعنی. علاوه بر مقداری که قبلاً انباشته شده است. مقدار صندوق سرمایه گذاری را بیابید.

راه حل . در اینجا ما مستمری معمول با پرداخت های سالانه را در نظر می گیریم آر= 100 هزار روبل. در حین n= 5 سال نرخ بهره من= 20 درصد از فرمول (16) دریافتیم:

اس= 100 = 744.160 هزار روبل.

کاهش اجاره بها

تفاوت بین مستمری عادی و مستمری کاهش یافته در این است که تمام پرداخت ها آر برای سالیانه کاهش یافته، یک دوره نسبت به پرداخت های مستمری عادی به چپ منتقل می شوند (شکل های 4a و 4b را مقایسه کنید).

به راحتی می توان درک کرد که برای هر دوره از سالیانه کاهش یافته، بهره برای یک دوره بیشتر از سالیانه عادی محاسبه می شود.

از این رو مجموع انباشته اجاره کاهش یافته است اس پی بیشتر در (1 + من) برابر مبلغ تعهدی سالیانه عادی:

اس پی = اس (1 + من) و sP(n; من) = س(n; من) (1 + من).

دقیقاً همین وابستگی با ارزش های مدرن اجاره معمولی مرتبط است. ولیو کاهش اجاره بها A P :

ولی پ=A (1 + من)، آ پ(n; من) = a( n; من) (1 + من) . (18)

مثال . وام به مبلغ 5 میلیون روبل. در 12 اقساط مساوی ماهانه بازپرداخت می شود. نرخ سود وام تعیین شده است من = 3% در ماه قسط ماهانه خود را پیدا کنید آر هنگام پرداخت:

آ ) postnumerando(اجاره عادی)

ب) prenumerndo(کاهش اجاره بها).

راه حل. آ) آر× a (12; 0.03) = 5 میلیون روبل.

ضریب کاهش a(12; 0.03) = = 9,95400 .

از اینجا آر\u003d 5 میلیون روبل / 9.95400 \u003d 502311 روبل.

ب) مشابه قبلی: R× a (12; 0.03) = 5 میلیون روبل از فرمول (18):

آ پ(12; 0.03) = a (12; 0.03) × (1+ من) = 9.954 × 1.03 = 10.25262;

آر\u003d 5 میلیون روبل / 10.25262 \u003d 487680 روبل.

مستمری معوق

اگر مدت مستمری در نقطه ای در آینده شروع شود، چنین مستمری نامیده می شود با تاخیریا با تاخیر. مستمری معوق عادی محسوب خواهد شد. طول بازه زمانی از لحظه حال تا شروع مستمری نامیده می شود مهلت. به این ترتیب، دوره تعویق اجاره با پرداخت در نیم سال و اولین پرداخت در دو سال 1.5 سال است (شکل 5).

روی انجیر 5 عدد 3 (1.5 سال) به معنای آغاز سالیانه است. شروع پرداخت برای مستمری های معوق نسبت به یک نقطه زمانی خاص به جلو منتقل می شود. واضح است که جابجایی زمان به هیچ وجه بر ارزش مبلغ تعهدی تأثیری ندارد. نکته دیگر ارزش مدرن اجاره است ولی .

اجازه دهید دیه بعدا پرداخت شود ک سال ها (یا دوره های) پس از دوره زمانی اولیه. در شکل 5، دوره اولیه با عدد 0 نشان داده شده است و ارزش فعلی اجاره بهای عادی برابر است با ولی . سپس ارزش فعلی ک سال اجاره A k برابر با ارزش تنزیل شده ولی ، به این معنا که

A k = A( 1+ i)-k= R a (n; i) ( 1+ i)-k. (19)

مثال . ارزش فعلی مستمری معوق را با پرداخت 100 هزار روبل بیابید. در پایان هر ترم در صورتی که اولین پرداخت پس از دو سال و آخرین پرداخت پس از پنج سال انجام شود. سود به مدت شش ماه با نرخ 20 درصد محاسبه می شود.

راه حل.شروع اجاره در سه ترم. اولین پرداخت در پایان نیمه چهارم سال و آخرین پرداخت در پایان انجام می شود. در مجموع 7 پرداخت وجود دارد. از فرمول (18) در ک= 3; n = 7; من= 0.2، دریافت می کنیم:

ولی 3 = 100 = 208599 روبل.

مثال.میزان پرداخت سالانه یک سالیانه را که به مدت دو سال برای یک دوره 5 ساله به تعویق افتاده است، بیابید که ارزش فعلی آن 430 هزار روبل است. سود سالانه 21 درصد محاسبه می شود.

راه حل.از فرمول (19) دریافتیم:

آر = A k(1+ من)ک/آ( n;من) .

در ک= 2; n = 5; من= 0.21، دریافت می کنیم:

R= 430 1.21 2 \u003d 215163 روبل.

روش محاسبه مبلغ انباشته و ارزش جاری را در نظر گرفته ایم که پرداخت اجاره بها یک بار در سال انجام می شود و سود نیز یک بار در سال محاسبه می شود. با این حال، در شرایط واقعی (در قراردادها) ممکن است شرایط دیگری برای دریافت پرداخت های اجاره و همچنین روش محاسبه سود آنها فراهم شود.

5.4. مستمری سالانه هنگام تعلق بهره مترسالی یک بار

در این صورت سالی یک بار اجاره بها پرداخت می شود. بهره بر اساس نرخ دریافت خواهد شد j/متر ، جایی که j - نرخ بهره مرکب اسمی (سالانه). مقدار مقدار انباشته را اگر در آن قرار دهیم از فرمول (16) بدست می آید

من = (1+ j/متر)متر- 1 (نگاه کنید به (11)).

در نتیجه، دریافت می کنیم:

(20)

مثال.یک شرکت بیمه که به مدت 3 سال با یک شرکت قرارداد بسته است، حق بیمه سالانه 500 هزار روبل. مکان در بانک در 15٪ در سال با بهره تعلق نیمه سالانه. مبلغ دریافتی شرکت بیمه تحت این قرارداد را تعیین کنید.

راه حل. با فرض فرمول (20) متر = 2; n = 3; آر = 500; j = 0.15، دریافت می کنیم:

اس= 500 = 1746500 روبل.

5.5. پ- اجاره فوری

پرداخت اجاره انجام می شود پ یک بار در سال به مقدار مساوی و یک بار در پایان سال بهره تعلق می گیرد ( متر = 1). در این صورت مدت مقرری برابر خواهد بود آر/پ و فرمول مقدار انباشته از فرمول (16) بدست می آید که در آن نرخ دوره من پی از شرط هم ارزی مالی (کل دوره ها) به دست می آید پ· n ):

(1 + من) = (1 + من پی)پ , من پی = (1+ من) 1/پ – 1.

جایگزینی نرخ دریافتی برای دوره من پی در (16) داریم:

(21)

مثال . شرکت بیمه حق بیمه سالانه 500 هزار روبل را می پذیرد. دو بار در سال به مدت 3 سال بانک خدمات دهنده به شرکت بیمه سود مرکب را با نرخ 15 درصد در سال یک بار در سال دریافت می کند. مبلغ دریافتی شرکت در پایان قرارداد را تعیین کنید.

راه حل . اینجا آر = 500; n = 3; پ = 2; متر= 1. با فرمول (21) در می یابیم:

اس = · = 1779 هزار روبل.

اجاره ابدی

مستمری دائمی به مستمری با تعداد بی نهایت پرداخت اشاره دارد. بدیهی است که مقدار انباشته چنین مستمری نامحدود است، اما ارزش فعلی چنین مستمری برابر است با آ = آر/من. برای اثبات این واقعیت، از فرمول (17) برای اجاره نهایی استفاده می کنیم:

آ = آر/من.

عبور در این فرمول به حد در n® ¥، ما آن را دریافت می کنیم آ = آر/من.

مثال:این شرکت ساختمان را به مبلغ 5000 دلار در سال اجاره می کند. قیمت بازخرید ساختمان با نرخ سود سالانه 10 درصد چقدر است؟

راه حل . قیمت بازخرید ساختمان، ارزش فعلی تمام اجاره نامه های آتی است و برابر با A = است آر/من= 50000 دلار

تجمیع و جایگزینی اجاره بها

قانون کلی برای ترکیب اجاره ها این است که مقادیر فعلی اجاره ها (شرایط) را پیدا کنید و آنها را جمع کنید و سپس اجاره انتخاب می شود - مقدار با چنین ارزش مدرن و سایر پارامترهای لازم.

مثال . اتحاد دو مستمری را پیدا کنید: اولی برای 5 سال با پرداخت سالانه 1000، دومی برای 8 و 800. نرخ بهره سالانه

راه حل . ارزش فعلی اجاره بها برابر است با:

آ 1 = آر 1× آ(5؛ 0.08) = 1000 × 3.993 = 3993; آ 2 = آر × آ(8؛ 0.08) = = 800 × 5.747 = 4598.

ولی= ولی 1 + ولی 2 = 3993 + 4598 = 8591.

در نتیجه، مستمری متحد دارای ارزش مدرن است ولی= 8591. در مرحله بعد، می توانید مدت سالیانه ترکیبی یا پرداخت سالانه را مشخص کنید، سپس دومین پارامتر از فرمول های سالیانه تعیین می شود.

وظایف

5.1. مبالغ 500000 روبل هر کدام به مدت 5 سال به حساب سپرده با بهره مرکب با نرخ 80٪ در سال واریز می شود. در آغاز هر سال مقدار انباشته شده را تعیین کنید.

5.2. در پایان هر سه ماهه مبلغ 12.5 هزار روبل به حساب سپرده واریز می شود که سود مرکب نیز به صورت سه ماهه با نرخ اسمی سالانه 10٪ در سال تعلق می گیرد. مقدار انباشته شده در طول 20 سال را تعیین کنید. پاسخ: 3،104،783 روبل.

5.3. مبلغی را که باید به حساب یک صندوق بازنشستگی خصوصی واریز شود محاسبه کنید تا بتواند ماهانه 10 میلیون روبل به اعضای خود پرداخت کند. صندوق می تواند وجوه خود را با نرخ ثابت 5 درصد در ماه سرمایه گذاری کند.

(نکته: از مدل مستمری دائمی استفاده کنید).

5.4. این تاجر کلبه ای را به قیمت 10000 دلار در سال اجاره کرد. قیمت بازخرید کلبه با نرخ سالانه 5٪ چقدر است. پاسخ: 200000 تومان

5.5. در جلسه دادگاه معلوم شد که آقای A 100 روبل مالیات کمتر پرداخت کرده است. ماهانه بازرسی مالیاتی می خواهد مالیات هایی را که در دو سال گذشته پرداخت نشده است، همراه با بهره (3٪ در ماه) بازپس گیرد. چقدر باید آقای الف.

5.6. برای کارهای احیای زمین، دولت 1000 دلار در سال به کشاورز منتقل می کند. این پول به حساب خاصی واریز می شود و طبق طرح سود مرکب هر شش ماه یکبار 5 درصد به آنها تعلق می گیرد. بعد از 5 سال چقدر در حساب جمع می شود.

5.7. سالیانه پنج ساله را با پرداخت سالانه 1000 دلار برای سالیانه با پرداخت شش ماهه 600 دلار جایگزین کنید. نرخ سالانه 5 درصد

5.8. سالیانه ده ساله را با پرداخت سالانه 700 دلار با سالیانه شش ساله جایگزین کنید. نرخ سالانه 8 درصد

5.9. والدین دانش آموزی که در مؤسسه پولی تحصیل می کنند چه مبلغی باید به بانک واریز شود تا بانک به مدت 4 سال هر شش ماه یکبار 420 دلار به مؤسسه واریز کند. نرخ بانکی 8 درصد در سال

بازپرداخت بدهی (وام)

این بخش کاربرد تئوری اجاره را برای برنامه ریزی بازپرداخت وام (بدهی) ارائه می دهد.

توسعه یک برنامه بازپرداخت وام شامل تهیه برنامه ای برای پرداخت های دوره ای بدهکار است. مخارج بدهکار نامیده می شود هزینه های خدمات بدهی یا استهلاک وام. این هزینه ها شامل پرداخت های بهره جاری، و همچنین بودجه در نظر گرفته شده برای بازپرداخت اصلراه های مختلفی برای بازپرداخت بدهی وجود دارد. شرکت کنندگان در معامله اعتباری آنها را هنگام انعقاد قرارداد شرط می کنند. مطابق با شرایط قرارداد، برنامه بازپرداخت بدهی تنظیم می شود. مهمترین عنصر طرح تعیین تعداد پرداخت ها در طول سال است، یعنی. تعریف عدد پرداخت های فوری