کاربرد مقادیر ویژه ماتریس در مهندسی بردارهای ویژه و مقادیر ویژه یک عملگر خطی

مقادیر ویژه (اعداد) و بردارهای ویژه.
نمونه های راه حل

خودت باش

از هر دو معادله نتیجه می شود که .

پس بگذاریم: .

در نتیجه: بردار ویژه دوم است.

نکات مهم را مرور می کنیم:

- سیستم حاصل مطمئناً یک راه حل کلی دارد (معادلات به صورت خطی وابسته هستند).

- "Y" به گونه ای انتخاب می شود که عدد صحیح و اولین مختصات "x" عدد صحیح، مثبت و تا حد امکان کوچک باشد.

- بررسی می کنیم که راه حل خاص هر معادله سیستم را برآورده کند.

پاسخ .

"نقاط بازرسی" میانی کاملاً کافی بود، بنابراین بررسی برابری ها، در اصل، اضافی است.

در منابع مختلف اطلاعات، مختصات بردارهای ویژه اغلب نه در ستون ها، بلکه در ردیف ها نوشته می شود، به عنوان مثال: (و راستش من خودم آنها را در خط می نوشتم). این گزینه قابل قبول است، اما با توجه به موضوع تبدیل های خطیاستفاده از نظر فنی راحت تر است بردارهای ستونی.

شاید راه حل برای شما بسیار طولانی به نظر می رسید، اما این تنها به این دلیل است که من در مورد مثال اول با جزئیات بسیار توضیح دادم.

مثال 2

ماتریس ها

ما خودمان تمرین می کنیم! نمونه تقریبی طرح نهایی تکلیف در پایان درس.

گاهی اوقات شما نیاز به انجام یک کار اضافی دارید، یعنی:

تجزیه متعارف ماتریس را بنویسید

آن چیست؟

اگر بردارهای ویژه ماتریس تشکیل شود اساس، سپس می توان آن را به صورت زیر نشان داد:

کجا یک ماتریس از مختصات بردارهای ویژه تشکیل شده است، - موربماتریس با مقادیر ویژه مربوطه

این تجزیه ماتریس نامیده می شود ابتدایییا مورب.

ماتریس مثال اول را در نظر بگیرید. بردارهای خودش مستقل خطی(غیر خطی) و پایه را تشکیل می دهند. بیایید یک ماتریس از مختصات آنها بسازیم:

در مورب اصلیماتریس ها به ترتیب مقتضیمقادیر ویژه قرار دارند و عناصر باقیمانده برابر با صفر هستند:
- یک بار دیگر بر اهمیت ترتیب تأکید می کنم: "دو" با بردار 1 مطابقت دارد و بنابراین در ستون 1 قرار دارد، "سه" - به بردار 2.

طبق الگوریتم معمول برای یافتن ماتریس معکوسیا روش گاوس-اردنپیدا کردن . نه، اشتباه تایپی نیست! - قبل از شما یک رویداد نادر است، مانند خورشید گرفتگی، زمانی که معکوس با ماتریس اصلی منطبق است.

باقی مانده است که تجزیه متعارف ماتریس را بنویسیم:

سیستم را می توان با استفاده از تبدیل های ابتدایی حل کرد و در مثال های زیر به این روش متوسل می شویم. اما در اینجا روش "مدرسه" بسیار سریعتر کار می کند. از معادله 3 بیان می کنیم: - جایگزین به معادله دوم:

از آنجایی که مختصات اول صفر است، سیستمی به دست می آید که از هر معادله آن نتیجه می شود.

و دوباره به حضور اجباری یک رابطه خطی توجه کنید. اگر فقط یک راه حل پیش پا افتاده به دست آید ، سپس یا مقدار ویژه اشتباه پیدا شد یا سیستم با یک خطا کامپایل / حل شد.

مختصات فشرده ارزش می دهد

بردار ویژه:

و یک بار دیگر، ما بررسی می کنیم که راه حل پیدا شده است تمام معادلات سیستم را برآورده می کند. در پاراگراف های بعدی و در کارهای بعدی توصیه می کنم که این آرزو به عنوان یک قانون اجباری پذیرفته شود.

2) برای مقدار ویژه، طبق همان اصل، سیستم زیر را به دست می آوریم:

از معادله 2 سیستم بیان می کنیم: - جایگزین به معادله سوم:

از آنجایی که مختصات "Z" برابر با صفر است، سیستمی به دست می آوریم که از هر معادله آن یک وابستگی خطی به دست می آید.

اجازه دهید

ما بررسی می کنیم که راه حل تمام معادلات سیستم را برآورده می کند.

بنابراین، بردار ویژه: .

3) و در نهایت، سیستم با مقدار خود مطابقت دارد:

معادله دوم ساده ترین به نظر می رسد، بنابراین ما آن را از آن بیان می کنیم و آن را با معادلات 1 و 3 جایگزین می کنیم:

همه چیز خوب است - یک وابستگی خطی آشکار شد که ما آن را به عبارت جایگزین می کنیم:

در نتیجه "X" و "Y" از طریق "Z" بیان شد: . در عمل، دستیابی به چنین روابطی ضروری نیست؛ در برخی موارد بیان کردن از طریق یا از طریق راحت تر است. یا حتی یک "قطار" - به عنوان مثال، "X" از "Y"، و "Y" از طریق "Z"

پس بگذاریم:

ما بررسی می کنیم که راه حل پیدا شده است هر معادله سیستم را برآورده می کند و بردار ویژه سوم را می نویسد

پاسخ: بردارهای ویژه:

از نظر هندسی، این بردارها سه جهت فضایی مختلف را تعریف می کنند ("آنجا و دوباره بازگشت")، که بر اساس آن تبدیل خطیبردارهای غیر صفر (بردارهای ویژه) را به بردارهایی هم خط با آنها تبدیل می کند.

اگر طبق شرط لازم بود که بسط متعارفی پیدا شود، در اینجا این امکان وجود دارد، زیرا مقادیر ویژه مختلف با بردارهای ویژه مستقل خطی متفاوت مطابقت دارند. ما یک ماتریس درست می کنیم از مختصات آنها، ماتریس مورب از جانب مربوطمقادیر ویژه و پیدا کردن ماتریس معکوس .

اگر بنا به شرط لازم است بنویسیم ماتریس تبدیل خطی بر اساس بردارهای ویژه، سپس پاسخ را در فرم می دهیم. یک تفاوت وجود دارد و یک تفاوت قابل توجه!برای این ماتریس ماتریس "de" است.

یک کار با محاسبات ساده تر برای یک راه حل مستقل:

مثال 5

بردارهای ویژه تبدیل خطی که با ماتریس داده شده است را بیابید

هنگام پیدا کردن اعداد خود، سعی کنید مورد را به چند جمله ای درجه 3 وارد نکنید. علاوه بر این، راه حل های سیستم شما ممکن است با راه حل های من متفاوت باشد - هیچ ابهامی در اینجا وجود ندارد. و بردارهایی که پیدا می کنید ممکن است تا تناسب با مختصات مربوطه با بردارهای نمونه متفاوت باشد. به عنوان مثال، و . از نظر زیبایی شناختی بهتر است که پاسخ را به شکل ارائه کنید، اما اگر روی گزینه دوم متوقف شوید اشکالی ندارد. با این حال، محدودیت های معقولی برای همه چیز وجود دارد، نسخه دیگر خیلی خوب به نظر نمی رسد.

نمونه نهایی تقریبی تکلیف در پایان درس.

چگونه مشکل را در صورت وجود مقادیر ویژه چندگانه حل کنیم؟

الگوریتم کلی یکسان باقی می ماند، اما ویژگی های خاص خود را دارد، و توصیه می شود برخی از بخش های راه حل را به سبک دانشگاهی دقیق تر نگه دارید:

مثال 6

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه را پیدا کنید

راه حل

البته، بیایید ستون اول افسانه ای را با حروف بزرگ بنویسیم:

و پس از فاکتورگیری مثلث مربع:

در نتیجه مقادیر ویژه به دست می آید که دو عدد از آنها مضرب هستند.

بیایید بردارهای ویژه را پیدا کنیم:

1) ما با یک سرباز تنها طبق یک طرح "ساده شده" برخورد خواهیم کرد:

از دو معادله آخر، برابری به وضوح قابل مشاهده است، که بدیهی است که باید به معادله 1 سیستم جایگزین شود:

ترکیب بهتری وجود ندارد:
بردار ویژه:

2-3) اکنون چند نگهبان را حذف می کنیم. در این مورد، ممکن است یا دو یا یکبردار ویژه صرف نظر از تعدد ریشه ها، مقدار را در تعیین کننده جایگزین می کنیم ، که موارد زیر را برای ما به ارمغان می آورد سیستم همگن معادلات خطی:

بردارهای ویژه دقیقا همان بردارها هستند
سیستم تصمیم گیری اساسی

در واقع، در طول درس، ما فقط درگیر یافتن بردارهای سیستم بنیادی بودیم. فقط در حال حاضر، این اصطلاح به ویژه مورد نیاز نبود. به هر حال، آن دانش آموزان ماهر که، در استتار معادلات همگن، اکنون مجبور به کشیدن آن می شود.

تنها اقدام حذف خطوط اضافی بود. نتیجه یک ماتریس "یک به سه" با یک "گام" رسمی در وسط است.
– متغیر پایه، – متغیرهای آزاد. دو متغیر رایگان وجود دارد، بنابراین همچنین دو بردار از سیستم بنیادی وجود دارد.

بیایید متغیر پایه را بر حسب متغیرهای آزاد بیان کنیم: . ضریب صفر در مقابل "x" به آن اجازه می دهد تا کاملاً هر مقداری را بگیرد (که از سیستم معادلات نیز به وضوح قابل مشاهده است).

در زمینه این مشکل، راحت تر است که راه حل کلی را نه در یک ردیف، بلکه در یک ستون بنویسید:

جفت مربوط به بردار ویژه است:
جفت مربوط به بردار ویژه است:

توجه داشته باشید : خوانندگان پیشرفته می توانند این بردارها را به صورت شفاهی انتخاب کنند - فقط با تجزیه و تحلیل سیستم ، اما در اینجا به مقداری دانش نیاز است: سه متغیر وجود دارد، رتبه ماتریس سیستم- واحد یعنی سیستم تصمیم گیری اساسیشامل 3 – 1 = 2 بردار است. با این حال، بردارهای یافت شده حتی بدون این دانش، کاملاً در سطح شهودی کاملاً قابل مشاهده هستند. در این صورت، بردار سوم حتی "زیباتر" نوشته می شود: . با این حال، من به شما هشدار می دهم، در مثال دیگری، ممکن است انتخاب ساده ای وجود نداشته باشد، به همین دلیل است که رزرو برای افراد با تجربه در نظر گرفته شده است. علاوه بر این، چرا به عنوان بردار سوم، مثلاً، را نمی گیریم؟ از این گذشته، مختصات آن نیز هر معادله سیستم و بردارها را برآورده می کند به صورت خطی مستقل هستند. این گزینه، در اصل، مناسب است، اما "کم"، زیرا بردار "دیگر" ترکیبی خطی از بردارهای سیستم اساسی است.

پاسخ: مقادیر ویژه: , بردارهای ویژه:

یک مثال مشابه برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

مثال 7

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه را پیدا کنید

نمونه تقریبی اتمام در پایان درس.

لازم به ذکر است که در هر دو مثال ششم و هفتم، سه بردار ویژه خطی مستقل به دست می آید و بنابراین ماتریس اصلی را می توان در بسط متعارف نشان داد. اما چنین تمشک در همه موارد اتفاق نمی افتد:

مثال 8

راه حل: معادله مشخصه را بنویسید و حل کنید:

ما تعیین کننده را با ستون اول گسترش می دهیم:

ما ساده سازی های بیشتری را طبق روش در نظر گرفته شده انجام می دهیم و از چند جمله ای درجه 3 اجتناب می کنیم:

مقادیر ویژه هستند.

بیایید بردارهای ویژه را پیدا کنیم:

1) هیچ مشکلی با ریشه وجود ندارد:

تعجب نکنید، علاوه بر کیت، متغیرها نیز در حال استفاده هستند - در اینجا تفاوتی وجود ندارد.

از معادله 3 که بیان می کنیم - معادلات 1 و 2 را جایگزین می کنیم:

از هر دو معادله به شرح زیر است:

سپس اجازه دهید:

2-3) برای مقادیر متعدد، سیستم را دریافت می کنیم .

اجازه دهید ماتریس سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل پلکانی در آوریم:

چگونه فرمول های ریاضی را در سایت درج کنیم؟

اگر زمانی نیاز دارید که یک یا دو فرمول ریاضی را به یک صفحه وب اضافه کنید، ساده ترین راه برای انجام این کار همانگونه است که در مقاله توضیح داده شده است: فرمول های ریاضی به راحتی به شکل تصاویری که Wolfram Alpha به طور خودکار تولید می کند در سایت درج می شوند. این روش جهانی علاوه بر سادگی، به بهبود دید سایت در موتورهای جستجو کمک خواهد کرد. مدت زیادی است که کار می کند (و فکر می کنم برای همیشه کار خواهد کرد) اما از نظر اخلاقی قدیمی است.

اگر دائماً از فرمول‌های ریاضی در سایت خود استفاده می‌کنید، توصیه می‌کنم از MathJax استفاده کنید، یک کتابخانه جاوا اسکریپت ویژه که نمادهای ریاضی را در مرورگرهای وب با استفاده از نشانه‌گذاری MathML، LaTeX یا ASCIIMathML نمایش می‌دهد.

دو راه برای شروع استفاده از MathJax وجود دارد: (1) با استفاده از یک کد ساده، می توانید به سرعت یک اسکریپت MathJax را به سایت خود متصل کنید، که به طور خودکار از یک سرور راه دور در زمان مناسب بارگذاری می شود (لیست سرورها). (2) اسکریپت MathJax را از یک سرور راه دور به سرور خود آپلود کنید و آن را به تمام صفحات سایت خود متصل کنید. روش دوم پیچیده‌تر و زمان‌برتر است و به شما این امکان را می‌دهد که سرعت بارگذاری صفحات سایت خود را افزایش دهید و اگر سرور مادر MathJax به دلایلی موقتاً از دسترس خارج شود، به هیچ وجه روی سایت شما تأثیری نخواهد داشت. با وجود این مزایا، من روش اول را انتخاب کردم، زیرا ساده تر، سریع تر است و به مهارت های فنی نیاز ندارد. از مثال من پیروی کنید و در عرض 5 دقیقه می توانید از تمام ویژگی های MathJax در وب سایت خود استفاده کنید.

می توانید اسکریپت کتابخانه MathJax را از یک سرور راه دور با استفاده از دو گزینه کد گرفته شده از وب سایت اصلی MathJax یا از صفحه مستندات متصل کنید:

یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها ویا درست بعد از برچسب . طبق گزینه اول MathJax سریعتر بارگذاری می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را ردیابی و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را بچسبانید، صفحات کندتر بارگیری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی های MathJax ندارید.

ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را اضافه کنید که برای درج کد جاوا اسکریپت شخص ثالث طراحی شده است، نسخه اول یا دوم کد بارگذاری بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیک تر قرار دهید. ابتدای الگو (به هر حال، این به هیچ وجه ضروری نیست، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب خود جاسازی کنید.

هر فراکتال بر اساس قانون خاصی ساخته می شود که به طور مداوم تعداد نامحدودی بارها اعمال می شود. هر چنین زمانی را تکرار می نامند.

الگوریتم تکراری برای ساخت اسفنج منگر بسیار ساده است: مکعب اصلی با ضلع 1 توسط صفحات موازی با وجوه خود به 27 مکعب مساوی تقسیم می شود. یک مکعب مرکزی و 6 مکعب مجاور آن در امتداد وجوه از آن برداشته می شود. به نظر می رسد مجموعه ای متشکل از 20 مکعب کوچکتر باقی مانده است. با انجام همین کار با هر یک از این مکعب ها، مجموعه ای متشکل از 400 مکعب کوچکتر بدست می آوریم. با ادامه این روند به صورت نامحدود، اسفنج منگر را به دست می آوریم.

با ماتریس A، اگر یک عدد l وجود داشته باشد که AX = lX باشد.

در این حالت عدد l نامیده می شود مقدار خاصعملگر (ماتریس A) مربوط به بردار X.

به عبارت دیگر، بردار ویژه برداری است که تحت عمل یک عملگر خطی، به یک بردار خطی تبدیل می شود، یعنی. فقط در یک عدد ضرب کنید در مقابل، تبدیل بردارهای نامناسب دشوارتر است.

ما تعریف بردار ویژه را به عنوان یک سیستم معادلات می نویسیم:

بیایید همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل کنیم:

آخرین سیستم را می توان به صورت ماتریسی به صورت زیر نوشت:

(A - lE)X \u003d O

سیستم حاصل همیشه یک جواب صفر دارد X = O. چنین سیستم هایی که در آنها تمام عبارات آزاد برابر با صفر هستند نامیده می شوند. همگن. اگر ماتریس چنین سیستمی مربع باشد و تعیین کننده آن برابر با صفر نباشد، طبق فرمول های کرامر، ما همیشه یک راه حل منحصر به فرد - صفر خواهیم داشت. می توان ثابت کرد که سیستم راه حل های غیر صفر دارد اگر و تنها در صورتی که تعیین کننده این ماتریس برابر با صفر باشد، یعنی.

|A - lE| = = 0

این معادله با l مجهول نامیده می شود معادله مشخصه (چند جمله ای مشخصه) ماتریس A (عملگر خطی).

می توان ثابت کرد که چند جمله ای مشخصه یک عملگر خطی به انتخاب مبنا بستگی ندارد.

برای مثال، بیایید مقادیر ویژه و بردارهای ویژه عملگر خطی را که توسط ماتریس A = ارائه شده است، پیدا کنیم.

برای این کار معادله مشخصه |А - lЕ| را می سازیم = \u003d (1 - l) 2 - 36 \u003d 1 - 2l + l 2 - 36 \u003d l 2 - 2l - 35 \u003d 0; D \u003d 4 + 140 \u003d 144; مقادیر ویژه l 1 = (2 - 12)/2 = -5؛ l 2 \u003d (2 + 12) / 2 \u003d 7.

برای یافتن بردارهای ویژه، دو سیستم معادله را حل می کنیم

(A + 5E) X = O

(A - 7E) X = O

برای اولین مورد، ماتریس گسترش یافته شکل خواهد گرفت

,

از آنجا x 2 \u003d c، x 1 + (2/3) c \u003d 0; x 1 \u003d - (2/3) s، یعنی. X (1) \u003d (- (2/3) s؛ s).

برای دومی از آنها، ماتریس گسترش یافته شکل خواهد گرفت

,

از آنجا x 2 \u003d c 1، x 1 - (2/3) c 1 \u003d 0; x 1 \u003d (2/3) s 1، یعنی. X (2) \u003d ((2/3) s 1; s 1).

بنابراین، بردارهای ویژه این عملگر خطی همه بردارهایی به شکل (-(2/3)c؛ c) با مقدار ویژه (-5) و همه بردارهای شکل ((2/3)c 1 ; c 1) با مقدار ویژه 7.

می توان ثابت کرد که ماتریس عملگر A در پایه متشکل از بردارهای ویژه آن مورب است و به شکل زیر است:

,

جایی که l i مقادیر ویژه این ماتریس هستند.

برعکس نیز صادق است: اگر ماتریس A در برخی از پایه ها مورب باشد، تمام بردارهای این مبنا بردارهای ویژه این ماتریس خواهند بود.

همچنین می توان ثابت کرد که اگر یک عملگر خطی دارای n مقدار ویژه متمایز به صورت جفتی باشد، بردارهای ویژه متناظر به صورت خطی مستقل هستند و ماتریس این عملگر در مبنای متناظر دارای فرم مورب است.

بیایید این را با مثال قبلی توضیح دهیم. اجازه دهید مقادیر غیر صفر دلخواه c و c 1 را در نظر بگیریم، اما به گونه ای که بردارهای X (1) و X (2) به صورت خطی مستقل باشند، یعنی. مبنایی را تشکیل خواهد داد. برای مثال، اجازه دهید c \u003d c 1 \u003d 3، سپس X (1) \u003d (-2; 3)، X (2) \u003d (2; 3).

اجازه دهید استقلال خطی این بردارها را تأیید کنیم:

12 ≠ 0. در این مبنای جدید، ماتریس A به شکل A * = خواهد بود.

برای تأیید این موضوع، از فرمول A * = C -1 AC استفاده می کنیم. بیایید ابتدا C -1 را پیدا کنیم.

C -1 = ;

فرم های درجه دوم

فرم درجه دوم f (x 1, x 2, x n) از n متغیر مجموع نامیده می شود که هر جمله آن یا مجذور یکی از متغیرها است یا حاصل ضرب دو متغیر مختلف با یک ضریب معین: f (x 1 ، x 2، x n) = (a ij = a ji).

ماتریس A که از این ضرایب تشکیل شده است نامیده می شود ماتریسفرم درجه دوم همیشه هست متقارنماتریس (یعنی یک ماتریس متقارن در مورد قطر اصلی، a ij = a ji).

در نمادگذاری ماتریسی، شکل درجه دوم به شکل f(X) = X T AX است، که در آن

در واقع

برای مثال بیایید فرم درجه دوم را به صورت ماتریسی بنویسیم.

برای انجام این کار، ماتریس یک فرم درجه دوم را پیدا می کنیم. عناصر مورب آن برابر با ضرایب در مربع متغیرها و عناصر باقی مانده برابر با نیمی از ضرایب متناظر شکل درجه دوم هستند. از همین رو

اجازه دهید ماتریس-ستون متغیرهای X با تبدیل خطی غیرمنحط از ماتریس-ستون Y به دست آید، یعنی. X = CY، که در آن C یک ماتریس غیر منحط از مرتبه n است. سپس فرم درجه دوم f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

بنابراین، تحت یک تبدیل خطی غیر انحطاط C، ماتریس شکل درجه دوم شکل: A * = C T AC.

به عنوان مثال، بیایید شکل درجه دوم f(y 1, y 2) را که از شکل درجه دوم f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 با تبدیل خطی به دست می آید، پیدا کنیم.

شکل درجه دوم نامیده می شود ابتدایی(این دارد دیدگاه متعارف) اگر تمام ضرایب آن a ij = 0 برای i ≠ j، یعنی.
f(x 1، x 2، x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =.

ماتریس آن مورب است.

قضیه(اثبات در اینجا ارائه نشده است). هر شکل درجه دوم را می توان با استفاده از تبدیل خطی غیر انحطاط به شکل متعارف کاهش داد.

برای مثال، اجازه دهید شکل درجه دوم را به شکل متعارف کاهش دهیم
f (x 1، x 2، x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

برای انجام این کار، ابتدا مربع کامل متغیر x 1 را انتخاب کنید:

f (x 1، x 2، x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

حالا مربع کامل را برای متغیر x 2 انتخاب می کنیم:

f (x 1، x 2، x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) + (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

سپس تبدیل خطی غیر منحط y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 + (1/10) x 3 و y 3 \u003d x 3 این شکل درجه دوم را به شکل متعارف f (y 1 می کند. , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

توجه داشته باشید که شکل متعارف یک فرم درجه دوم به طور مبهم تعریف شده است (همان شکل درجه دوم را می توان به شکل متعارف به روش های مختلف کاهش داد). با این حال، اشکال متعارف به دست آمده با روش های مختلف دارای تعدادی ویژگی مشترک هستند. به طور خاص، تعداد عبارات با ضرایب مثبت (منفی) یک فرم درجه دوم به نحوه کاهش شکل به این شکل بستگی ندارد (به عنوان مثال، در مثال در نظر گرفته شده همیشه دو ضریب منفی و یک ضریب مثبت وجود خواهد داشت). این ویژگی را قانون اینرسی اشکال درجه دوم می نامند.

اجازه دهید این را با کاهش همان شکل درجه دوم به شکل متعارف به روشی دیگر تأیید کنیم. اجازه دهید تبدیل را با متغیر x 2 شروع کنیم:

f (x 1، x 2، x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2 x 1 2 \u003d - 3 (x 2 2 +
+ 2 * x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1، y 2، y 3) = -3y 1 2 -
+ 3y 2 2 + 2y 3 2، که در آن y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3، y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) x 3 و y 3 = x 1 . در اینجا، یک ضریب منفی -3 در y 1 و دو ضریب مثبت 3 و 2 در y 2 و y 3 (و با استفاده از روش دیگر، ضریب منفی (-5) در y 2 و دو ضریب مثبت به دست آوردیم: 2 در y 1 و 1/20 برای y 3).

همچنین لازم به ذکر است که رتبه یک ماتریس از فرم درجه دوم، به نام رتبه فرم درجه دوم، برابر با تعداد ضرایب غیر صفر شکل متعارف است و تحت تبدیل های خطی تغییر نمی کند.

شکل درجه دوم f(X) نامیده می شود مثبت (منفی) مسلم - قطعی، اگر برای همه مقادیر متغیرهایی که به طور همزمان برابر با صفر نیستند، مثبت است، یعنی. f(X) > 0 (منفی، یعنی.
f (X)< 0).

به عنوان مثال، شکل درجه دوم f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 مثبت است، زیرا مجموع مربع ها است و شکل درجه دوم f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 منفی قطعی است، زیرا نشان می دهد که می توان آن را به صورت f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2 نشان داد.

در اکثر موقعیت‌های عملی، تعیین قطعیت علامت یک شکل درجه دوم تا حدودی دشوارتر است، بنابراین یکی از قضایای زیر برای این مورد استفاده می‌شود (ما آنها را بدون برهان صورت‌بندی می‌کنیم).

قضیه. یک شکل درجه دوم مثبت (منفی) قطعی است اگر و فقط در صورتی که همه مقادیر ویژه ماتریس آن مثبت (منفی) باشند.

قضیه(معیار سیلوستر). یک فرم درجه دوم قطعی مثبت است اگر و فقط در صورتی که همه جزئی های اصلی ماتریس این شکل مثبت باشند.

ماژور (گوشه) جزئیمرتبه k ام ماتریس A از مرتبه n را تعیین کننده ماتریس می گویند که از k ردیف و ستون اول ماتریس A () تشکیل شده است.

توجه داشته باشید که برای اشکال درجه دوم منفی-معین، علائم صغیر اصلی متناوب هستند و صغیر مرتبه اول باید منفی باشد.

به عنوان مثال، شکل درجه دوم f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 را برای مشخص بودن علامت بررسی می کنیم.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D = 25 - 8 = 17;
. بنابراین، شکل درجه دوم مثبت قطعی است.

روش 2. مینور اصلی مرتبه اول ماتریس A D 1 = a 11 = 2 > 0. مینور اصلی مرتبه دوم D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. بنابراین با توجه به معیار سیلوستر، شکل درجه دوم مثبت قطعی است.

شکل درجه دوم دیگری را برای قطعیت علامت بررسی می کنیم، f (x 1، x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x2 2.

روش 1. بیایید یک ماتریس به شکل درجه دوم А = بسازیم. معادله مشخصه شکل خواهد داشت = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. بنابراین، شکل درجه دوم قطعی منفی است.

روش 2. مینور اصلی مرتبه اول ماتریس A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. بنابراین، با توجه به معیار سیلوستر، شکل درجه دوم قطعی منفی است (علائم صغیر اصلی متناوب، شروع از منهای).

و به عنوان مثال دیگری، شکل درجه دوم f (x 1، x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 را برای قطعیت علامت بررسی می کنیم.

روش 1. بیایید یک ماتریس به شکل درجه دوم А = بسازیم. معادله مشخصه شکل خواهد داشت = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

یکی از این اعداد منفی و دیگری مثبت است. نشانه های مقادیر ویژه متفاوت است. بنابراین، شکل درجه دوم نمی تواند معین منفی یا مثبت باشد، یعنی. این شکل درجه دوم علامت مشخص نیست (می تواند مقادیر هر علامتی را بگیرد).

روش 2. مینور اصلی مرتبه اول ماتریس A D 1 = a 11 = 2 > 0. مینور اصلی مرتبه دوم D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

سیستم معادلات خطی همگن

سیستم معادلات خطی همگن سیستمی از فرم است

واضح است که در این مورد ، زیرا تمام عناصر یکی از ستون ها در این تعیین کننده ها برابر با صفر هستند.

از آنجایی که مجهولات با فرمول ها پیدا می شوند ، در صورتی که Δ ≠ 0 باشد، سیستم یک راه حل صفر منحصر به فرد دارد ایکس = y = z= 0. با این حال، در بسیاری از مسائل این سوال که آیا یک سیستم همگن راه حل هایی غیر از صفر دارد یا خیر، مورد توجه است.

قضیه.برای اینکه یک سیستم معادلات همگن خطی جواب غیر صفر داشته باشد، لازم و کافی است که Δ ≠ 0 باشد.

بنابراین، اگر دترمینان Δ ≠ 0 باشد، سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. اگر Δ ≠ 0 باشد، سیستم معادلات همگن خطی دارای بی نهایت جواب است.

مثال ها.

بردارهای ویژه و مقادیر ویژه ماتریس

اجازه دهید یک ماتریس مربع داده شود , ایکسیک ماتریس-ستون است که ارتفاع آن با ترتیب ماتریس منطبق است آ. .

در بسیاری از مسائل، باید معادله را در نظر گرفت ایکس

جایی که λ مقداری است. واضح است که برای هر λ این معادله یک جواب صفر دارد.

عدد λ که این معادله برای آن جواب های غیر صفر دارد نامیده می شود مقدار خاصماتریس ها آ، آ ایکسبرای چنین λ نامیده می شود بردار خودماتریس ها آ.

بیایید بردار ویژه ماتریس را پیدا کنیم آ. از آنجا که E∙X=X، سپس معادله ماتریس را می توان به صورت بازنویسی کرد یا . در شکل بسط یافته، این معادله را می توان به صورت سیستمی از معادلات خطی بازنویسی کرد. واقعا .

و بنابراین

بنابراین، سیستمی از معادلات خطی همگن برای تعیین مختصات به دست آوردیم x 1, x2, x 3بردار ایکس. برای اینکه سیستم جواب های غیر صفر داشته باشد، کافی و لازم است که تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد، یعنی.

این یک معادله درجه 3 با توجه به λ است. نامیده می شود معادله مشخصهماتریس ها آو برای تعیین مقادیر ویژه λ خدمت می کند.

هر مقدار ویژه λ مربوط به یک بردار ویژه است ایکس، که مختصات آن از سیستم در مقدار متناظر λ تعیین می شود.

مثال ها.

جبر برداری. مفهوم بردار

هنگام مطالعه شاخه های مختلف فیزیک، کمیت هایی وجود دارد که با تنظیم مقادیر عددی آنها به طور کامل تعیین می شوند، مثلاً طول، مساحت، جرم، دما و غیره. به چنین مقادیری اسکالر می گویند. اما علاوه بر آنها، کمیت هایی نیز وجود دارد که برای تعیین آنها علاوه بر مقدار عددی، باید جهت آنها را در فضا نیز دانست، مثلاً نیروی وارد بر بدن، سرعت و شتاب. وقتی بدن در فضا حرکت می کند، شدت میدان مغناطیسی در یک نقطه معین از فضا و غیره. به چنین کمیت ها کمیت های برداری می گویند.

اجازه دهید یک تعریف دقیق ارائه کنیم.

بخش جهت داربیایید یک قطعه را نام ببریم که نسبت به انتهای آن مشخص است که کدام یک از آنها اول است و کدام دوم.

برداریک قطعه جهت دار نامیده می شود که طول معینی دارد، یعنی. این قسمتی با طول مشخص است که در آن یکی از نقاط محدود کننده آن به عنوان ابتدا و دومی به عنوان پایان در نظر گرفته می شود. اگر یک آآغاز بردار است، بپایان آن است، سپس بردار با نماد مشخص می شود، علاوه بر این، بردار اغلب با یک حرف مشخص می شود. در شکل، بردار با یک قطعه و جهت آن با یک فلش نشان داده شده است.

مدولیا طولانیبردار طول پاره جهتی است که آن را تعریف می کند. نشان داده شده با || یا ||.

به اصطلاح بردار صفر که ابتدا و انتهای آن بر هم منطبق است، بردار نیز نامیده می شود. مشخص شده است. بردار صفر جهت مشخصی ندارد و مدول آن برابر با صفر ||=0 است.

بردارها و نامیده می شوند خطیاگر روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار گیرند. در این صورت، اگر بردارها و به طور مساوی جهت باشند، برعکس می نویسیم.

بردارهایی که روی خطوط مستقیم موازی با همان صفحه قرار دارند نامیده می شوند هم صفحه.

دو بردار و نامیده می شوند برابراگر خطی باشند، جهت یکسانی داشته باشند و از نظر طول برابر باشند. در این صورت بنویسید.

از تعریف برابری بردارها چنین برمی‌آید که یک بردار را می‌توان با قرار دادن مبدأ آن در هر نقطه از فضا به موازات خود حرکت داد.

مثلا.

عملیات خطی روی بردارها

1. ضرب بردار در عدد.

   حاصل ضرب یک بردار با عدد λ بردار جدیدی است که:

   حاصل ضرب یک بردار و یک عدد λ با نشان داده می شود.

   

   مثلا،برداری است که در همان جهت بردار است و طول آن نصف بردار است.

   عملیات وارد شده دارای موارد زیر است خواص:

2. جمع بردارها

   اجازه دهید و دو بردار دلخواه باشد. یک نکته دلخواه را در نظر بگیرید Oو بردار بسازید. پس از آن، از نقطه آوکتور را کنار بگذارید . بردار اتصال ابتدای بردار اول به انتهای بردار دوم نامیده می شود مجموعاز این بردارها و نشان داده می شود .

   

   تعریف فرمول بندی شده جمع بردار نامیده می شود قانون متوازی الاضلاع، از آنجایی که همان مجموع بردارها را می توان به صورت زیر بدست آورد. نقطه را کنار بگذارید Oبردارها و . روی این بردارها متوازی الاضلاع بسازید OABC. از آنجایی که بردارها، پس بردار، که مورب متوازی الاضلاع است که از راس کشیده شده است. O، بدیهی است که مجموع بردارها خواهد بود.

   

   بررسی موارد زیر آسان است خواص افزودن بردار.

3. تفاوت بردارها

   بردار هم خط به یک بردار معین، از نظر طول مساوی و جهت مخالف، نامیده می شود مقابلبردار برای یک بردار و با نشان داده می شود. بردار مقابل را می توان حاصل ضرب بردار در عدد λ = –1: .

www.siteبه شما امکان می دهد پیدا کنید. سایت محاسبه را انجام می دهد. در عرض چند ثانیه سرور راه حل صحیح را ارائه می دهد. معادله مشخصه برای ماتریسیک عبارت جبری خواهد بود که توسط قانون محاسبه دترمینان پیدا می شود ماتریس ها ماتریس ها، در حالی که در مورب اصلی تفاوت هایی در مقادیر عناصر مورب و متغیر وجود خواهد داشت. هنگام محاسبه معادله مشخصه برای ماتریس آنلاین، هر عنصر ماتریس هابا سایر عناصر مربوطه ضرب خواهد شد ماتریس ها. در حالت پیدا کنید برخطفقط برای مربع امکان پذیر است ماتریس ها. عملیات را پیدا کنید معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینبه محاسبه مجموع جبری حاصلضرب عناصر کاهش می یابد ماتریس هادر نتیجه یافتن عامل تعیین کننده ماتریس ها، فقط به منظور تعیین معادله مشخصه برای ماتریس آنلاین. این عملیات جایگاه ویژه ای در تئوری دارد ماتریس ها، به شما امکان می دهد مقادیر ویژه و بردارها را با استفاده از ریشه پیدا کنید. یافتن وظیفه معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینضرب عناصر است ماتریس هابا جمع بندی بعدی این محصولات طبق یک قاعده خاص. www.siteپیدا می کند معادله مشخصه برای ماتریسبعد داده شده در حالت برخط. محاسبه معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینبرای یک بعد معین، این یافتن یک چند جمله ای با ضرایب عددی یا نمادین است که توسط قانون برای محاسبه تعیین کننده پیدا می شود. ماتریس ها- به عنوان مجموع حاصل از عناصر مربوطه ماتریس ها، فقط به منظور تعیین معادله مشخصه برای ماتریس آنلاین. پیدا کردن چند جمله ای با توجه به یک متغیر برای مربع ماتریس ها، به عنوان تعریف معادله مشخصه برای ماتریس، در تئوری رایج است ماتریس ها. مقدار ریشه های چند جمله ای معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینبرای تعریف بردارهای ویژه و مقادیر ویژه برای ماتریس ها. با این حال، اگر تعیین کننده ماتریس هاپس صفر خواهد بود معادله مشخصه ماتریسبر خلاف عکس، همچنان وجود خواهد داشت ماتریس ها. به منظور محاسبه معادله مشخصه برای ماتریسیا همزمان چندین مورد را جستجو کنید معادلات مشخصه ماتریس، شما نیاز به صرف زمان و تلاش زیادی دارید، در حالی که سرور ما پیدا خواهد کرد معادله مشخصه برای ماتریس آنلاین. در این مورد، پاسخ با پیدا کردن معادله مشخصه برای ماتریس آنلایندرست و با دقت کافی خواهد بود، حتی اگر اعداد در هنگام پیدا کردن معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینغیر منطقی خواهد بود در سایت www.siteورود کاراکترها در عناصر مجاز است ماتریس ها، به این معنا که معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینهنگام محاسبه می توان به شکل نمادین کلی نشان داد ماتریس معادله مشخصه آنلاین. بررسی پاسخ به دست آمده هنگام حل مشکل یافتن مفید است معادله مشخصه برای ماتریس آنلاینبا استفاده از سایت www.site. هنگام انجام عملیات محاسبه چند جمله ای - معادله مشخصه ماتریس، باید در حل این مشکل دقت و تمرکز فوق العاده داشت. به نوبه خود، سایت ما به شما کمک می کند تا تصمیم خود را در مورد موضوع بررسی کنید ماتریس معادله مشخصه آنلاین. اگر برای بررسی طولانی مشکلات حل شده وقت ندارید، پس www.siteمطمئناً ابزار مناسبی برای بررسی هنگام یافتن و محاسبه خواهد بود معادله مشخصه برای ماتریس آنلاین.