Studiul sistemului de vectori pentru dependența liniară. Dependența liniară și independența vectorilor

Sistemul de vectori se numește dependent liniar, dacă există astfel de numere , printre care cel puțin unul este diferit de zero, că egalitatea https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Dacă această egalitate este valabilă numai dacă toți , atunci sistemul de vectori este numit liniar independent.

Teorema. Sistemul de vectori va dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a celorlalți.

Exemplul 1 Polinom este o combinație liniară de polinoame https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinoamele constituie un sistem liniar independent, deoarece https polinom: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Exemplul 2 Sistemul matricial , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> este liniar independent, deoarece combinația liniară este egală cu matrice zero numai atunci când https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> dependent liniar.

Soluţie.

Compuneți o combinație liniară a acestor vectori https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" înălțime =" 22">.

Echivalând coordonatele cu același nume ale vectorilor egali, obținem https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

În sfârșit, obținem

Și

Sistemul are o soluție trivială unică, astfel încât combinația liniară a acestor vectori este zero numai dacă toți coeficienții sunt zero. Prin urmare, acest sistem de vectori este liniar independent.

Exemplul 4 Vectorii sunt liniar independenți. Care vor fi sistemele de vectori

A).;

b).?

Soluţie.

A). Compuneți o combinație liniară și egalați-o cu zero

Folosind proprietățile operațiilor cu vectori într-un spațiu liniar, rescriem ultima egalitate în formă

Deoarece vectorii sunt independenți liniar, coeficienții pentru trebuie să fie egali cu zero, adică gif" width="12" height="23 src=">

Sistemul de ecuații rezultat are o soluție trivială unică .

De la egalitate (*) executat doar la https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – liniar independent;

b). Compuneți egalitatea https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Aplicând un raționament similar, obținem

Rezolvând sistemul de ecuații prin metoda Gauss, obținem

sau

Ultimul sistem are un număr infinit de soluții https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Astfel, există o non- set zero de coeficienți pentru care egalitatea (**) . Prin urmare, sistemul de vectori este dependent liniar.

Exemplul 5 Sistemul vectorial este liniar independent, iar sistemul vectorial este dependent liniar..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

În egalitate (***) . Într-adevăr, pentru , sistemul ar fi dependent liniar.

Din relatie (***) primim sau Denota .

obține

Sarcini pentru rezolvare independentă (în clasă)

1. Un sistem care conține un vector zero este dependent liniar.

2. Sistem vectorial unic A, este dependentă liniar dacă și numai dacă, a=0.

3. Un sistem format din doi vectori este dependent liniar dacă și numai dacă vectorii sunt proporționali (adică unul dintre ei se obține din celălalt prin înmulțirea cu un număr).

4. Dacă un vector este adăugat la un sistem liniar dependent, atunci se obține un sistem liniar dependent.

5. Dacă un vector este îndepărtat dintr-un sistem liniar independent, atunci sistemul de vectori rezultat este liniar independent.

6. Dacă sistemul S liniar independent, dar devine liniar dependent atunci când se adaugă un vector b, apoi vectorul b exprimată liniar în termeni de vectori ai sistemului S.

c). Sistemul de matrici , , în spațiul matricelor de ordinul doi.

10. Fie sistemul de vectori A,b,c spațiul vectorial este liniar independent. Demonstrați independența liniară a următoarelor sisteme de vectori:

A).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– număr arbitrar

c).a+b, a+c, b+c.

11. Lăsa A,b,c sunt trei vectori în plan care pot fi folosiți pentru a forma un triunghi. Vor fi acești vectori dependenți liniar?

12. Dați doi vectori a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Mai ridicați doi vectori 4D a3 șia4 astfel încât sistemul a1,a2,a3,a4 a fost liniar independent .

Pentru a verifica dacă un sistem de vectori este dependent liniar, este necesar să se compună o combinație liniară a acestor vectori și să se verifice dacă poate fi zero dacă cel puțin un coeficient este zero.

Cazul 1. Sistemul de vectori este dat de vectori

Facem o combinație liniară

Am obținut un sistem omogen de ecuații. Dacă are o soluție diferită de zero, atunci determinantul trebuie să fie egal cu zero. Să facem un determinant și să îi găsim valoarea.

Determinantul este zero, prin urmare, vectorii sunt dependenți liniar.

Cazul 2. Sistemul de vectori este dat de funcții analitice:

A)
, dacă identitatea este adevărată, atunci sistemul este dependent liniar.

Să facem o combinație liniară.

Este necesar să se verifice dacă există astfel de a, b, c (dintre care cel puțin unul nu este egal cu zero) pentru care expresia dată este egală cu zero.

Scriem funcțiile hiperbolice

,
, Apoi

atunci combinația liniară de vectori va lua forma:

Unde
, luăm, de exemplu, atunci combinația liniară este egală cu zero, prin urmare, sistemul este dependent liniar.

Răspuns: Sistemul este dependent liniar.

b)
, compunem o combinație liniară

O combinație liniară de vectori trebuie să fie zero pentru orice valoare a lui x.

Să verificăm cazurile speciale.

O combinație liniară de vectori este zero numai dacă toți coeficienții sunt zero.

Prin urmare, sistemul este liniar independent.

Răspuns: Sistemul este liniar independent.

5.3. Găsiți o bază și determinați dimensiunea spațiului liniar al soluțiilor.

Să formăm o matrice extinsă și să o aducem la forma unui trapez folosind metoda Gauss.

Pentru a obține o bază, înlocuim valori arbitrare:

Obțineți restul coordonatelor

Răspuns:

5.4. Aflați coordonatele vectorului X în bază, dacă este dat în bază.

Găsirea coordonatelor vectorului în noua bază se reduce la rezolvarea sistemului de ecuații

Metoda 1. Găsirea folosind matricea de tranziție

Compuneți matricea de tranziție

Să găsim vectorul în noua bază prin formula

Aflați matricea inversă și faceți înmulțirea

,

Metoda 2. Aflarea prin compilarea unui sistem de ecuații.

Compuneți vectorii de bază din coeficienții bazei

,
,

Găsirea unui vector într-o bază nouă are forma

, Unde d este vectorul dat X.

Ecuația rezultată poate fi rezolvată în orice mod, răspunsul va fi același.

Răspuns: vector în bază nouă
.

5.5. Fie x = (X 1 , X 2 , X 3 ) . Următoarele transformări sunt liniare.

Să compunem matrice de operatori liniari din coeficienții vectorilor dați.

Să verificăm proprietatea operațiilor liniare pentru fiecare matrice a unui operator liniar.

Partea stângă este găsită prin înmulțirea matricei A pe vector

Găsim partea dreaptă înmulțind vectorul dat cu un scalar
.

Noi vedem asta
deci transformarea nu este liniară.

Să verificăm alți vectori.

, transformarea nu este liniară.

, transformarea este liniară.

Răspuns: Oh nu este o transformare liniară, Vx- nu liniar Cx- liniară.

Notă. Puteți finaliza această sarcină mult mai ușor uitându-vă cu atenție la vectorii dați. ÎN Oh vedem că există termeni care nu conţin elemente X, care nu a putut fi obținută ca urmare a unei operații liniare. ÎN Vx există un element X la a treia putere, care, de asemenea, nu a putut fi obținută prin înmulțirea cu un vector X.

5.6. Dat X = { X 1 , X 2 , X 3 } , Topor = { X 2 – X 3 , X 1 , X 1 + X 3 } , bx = { X 2 , 2 X 3 , X 1 } . Efectuați operația dată: ( A ( B – A )) X .

Să scriem matricele operatorilor liniari.

Să efectuăm o operație pe matrice

Când înmulțim matricea rezultată cu X, obținem

Răspuns:

În acest articol, vom acoperi:

• ce sunt vectorii coliniari;
• care sunt condițiile pentru vectorii coliniari;
• care sunt proprietățile vectorilor coliniari;
• care este dependența liniară a vectorilor coliniari.

Vectorii coliniari sunt vectori care sunt paraleli cu aceeași linie sau se află pe aceeași linie.

Exemplul 1

Condiții pentru vectorii coliniari

Doi vectori sunt coliniari dacă oricare dintre următoarele condiții este adevărată:

• starea 1 . Vectorii a și b sunt coliniari dacă există un număr λ astfel încât a = λ b ;
• starea 2 . Vectorii a și b sunt coliniari cu raport egal de coordonate:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• starea 3 . Vectorii a și b sunt coliniari cu condiția ca produsul vectorial și vectorul zero să fie egali:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Observația 1

Condiția 2 nu se aplică dacă una dintre coordonatele vectoriale este zero.

Observația 2

Condiția 3 aplicabil numai acelor vectori care sunt dați în spațiu.

Exemple de probleme pentru studiul coliniarității vectorilor

Examinăm vectorii a \u003d (1; 3) și b \u003d (2; 1) pentru coliniaritate.

Cum să decizi?

În acest caz, este necesar să se folosească a doua condiție de coliniaritate. Pentru vectori dați, arată astfel:

Egalitatea este greșită. Din aceasta putem concluziona că vectorii a și b sunt necoliniari.

Răspuns : a | | b

Exemplul 2

Ce valoare m a vectorului a = (1 ; 2) și b = (- 1 ; m) este necesară pentru ca vectorii să fie coliniari?

Cum să decizi?

Folosind a doua condiție coliniară, vectorii vor fi coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale:

Aceasta arată că m = - 2 .

Răspuns: m = - 2 .

Criterii de dependență liniară și independență liniară a sistemelor de vectori

Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial este dependent liniar numai dacă unul dintre vectorii sistemului poate fi exprimat în termeni de restul vectorilor sistemului.

Dovada

Fie sistemul e 1 , e 2 , . . . , e n este dependent liniar. Să notăm combinația liniară a acestui sistem egală cu vectorul zero:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

în care cel puţin unul dintre coeficienţii combinaţiei nu este egal cu zero.

Fie a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Împărțim ambele părți ale egalității cu un coeficient diferit de zero:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Denota:

A k - 1 a m , unde m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

În acest caz:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

sau e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Rezultă că unul dintre vectorii sistemului este exprimat în termenii tuturor celorlalți vectori ai sistemului. Ceea ce se cerea să fie dovedit (p.t.d.).

Adecvarea

Fie ca unul dintre vectori să fie exprimat liniar în termenii tuturor celorlalți vectori ai sistemului:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Transferăm vectorul e k în partea dreaptă a acestei egalități:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Deoarece coeficientul vectorului e k este egal cu - 1 ≠ 0 , obținem o reprezentare netrivială a zero printr-un sistem de vectori e 1 , e 2 , . . . , e n , iar aceasta, la rândul său, înseamnă că sistemul dat de vectori este dependent liniar. Ceea ce se cerea să fie dovedit (p.t.d.).

Consecinţă:

• Un sistem de vectori este liniar independent atunci când niciunul dintre vectorii săi nu poate fi exprimat în termenii tuturor celorlalți vectori ai sistemului.
• Un sistem vectorial care conține un vector nul sau doi vectori egali este dependent liniar.

Proprietăți ale vectorilor liniar dependenți

1. Pentru vectorii 2- și 3-dimensionali, condiția este îndeplinită: doi vectori dependenți liniar sunt coliniari. Doi vectori coliniari sunt dependenți liniar.
2. Pentru vectorii tridimensionali, condiția este îndeplinită: trei vectori dependenți liniar sunt coplanari. (3 vectori coplanari - dependenti liniar).
3. Pentru vectorii n-dimensionali, condiția este îndeplinită: n + 1 vectori sunt întotdeauna dependenți liniar.

Exemple de rezolvare a problemelor pentru dependența liniară sau independența liniară a vectorilor

Să verificăm vectorii a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 pentru independență liniară.

Soluţie. Vectorii sunt dependenți liniar deoarece dimensiunea vectorilor este mai mică decât numărul de vectori.

Exemplul 4

Să verificăm vectorii a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 pentru independența liniară.

Soluţie. Găsim valorile coeficienților la care combinația liniară va fi egală cu vectorul zero:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Scriem ecuația vectorială sub forma uneia liniare:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Rezolvăm acest sistem folosind metoda Gauss:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Din a 2-a linie scădem prima, din a 3-a - prima:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Scădeți al 2-lea din prima linie, adăugați al 2-lea la a 3-a:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Din soluție rezultă că sistemul are multe soluții. Aceasta înseamnă că există o combinație diferită de zero a valorilor unor astfel de numere x 1 , x 2 , x 3 pentru care combinația liniară a , b , c este egală cu vectorul zero. Prin urmare, vectorii a , b , c sunt dependent liniar.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Vectorii, proprietățile lor și acțiunile cu ei

Vectori, acțiuni cu vectori, spațiu vectorial liniar.

Vectorii sunt o colecție ordonată a unui număr finit de numere reale.

Acțiuni: 1. Înmulțirea unui vector cu un număr: lambda * vector x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3.4, 0.7) * 3 \u003d (9, 12,0.21 )

2. Adunarea vectorilor (aparțin aceluiași spațiu vectorial) vector x + vector y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vector 0=(0,0…0)---n E n – vector n-dimensional (spațiu liniar) x + vector 0 = vector x

Teorema. Pentru ca un sistem de n vectori dintr-un spațiu liniar n-dimensional să fie dependent liniar, este necesar și suficient ca unul dintre vectori să fie o combinație liniară a celorlalți.

Teorema. Orice set de n+ primul vector al spațiului liniar n-dimensional yavl. dependent liniar.

Adunarea vectorilor, multiplicarea vectorilor cu numere. Scăderea vectorilor.

Suma a doi vectori este vectorul direcționat de la începutul vectorului până la sfârșitul vectorului, cu condiția ca începutul să coincidă cu sfârșitul vectorului. Dacă vectorii sunt dați de expansiunile lor în termeni de vectori de bază, atunci adăugarea vectorilor adună coordonatele lor respective.

Să luăm în considerare acest lucru folosind exemplul unui sistem de coordonate carteziene. Lăsa

Să arătăm asta

Figura 3 arată că

Suma oricărui număr finit de vectori poate fi găsită folosind regula poligonului (Fig. 4): pentru a construi suma unui număr finit de vectori, este suficient să potriviți începutul fiecărui vector următor cu sfârșitul celui anterior. și construiți un vector care conectează începutul primului vector cu sfârșitul ultimului.

Proprietățile operației de adunare vectorială:

În aceste expresii m, n sunt numere.

Diferența de vectori se numește vector.Al doilea termen este un vector opus vectorului ca direcție, dar egal cu acesta ca lungime.

Astfel, operația de scădere vectorială este înlocuită cu operația de adunare

Vectorul, al cărui început se află la originea coordonatelor, iar sfârșitul în punctul A (x1, y1, z1), se numește vectorul rază al punctului A și se notează sau pur și simplu. Deoarece coordonatele sale coincid cu coordonatele punctului A, expansiunea sa în termeni de vectori are forma

Un vector care începe în punctul A(x1, y1, z1) și se termină în punctul B(x2, y2, z2) poate fi scris ca

unde r 2 este vectorul rază al punctului B; r 1 - vector raza punctului A.

Prin urmare, expansiunea vectorului în termeni de orte are forma

Lungimea sa este egală cu distanța dintre punctele A și B

MULTIPLICARE

Deci, în cazul unei probleme plate, produsul unui vector prin a = (ax; ay) și un număr b se găsește prin formula

a b = (ax b; ay b)

Exemplul 1. Aflați produsul vectorului a = (1; 2) cu 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Deci, în cazul unei probleme spațiale, produsul vectorului a = (ax; ay; az) și numărul b se găsește prin formula

a b = (ax b; ay b; az b)

Exemplul 1. Aflați produsul vectorului a = (1; 2; -5) cu 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Produsul scalar al vectorilor și unde este unghiul dintre vectorii si ; dacă fie, atunci

Din definiția produsului scalar rezultă că

unde, de exemplu, este valoarea proiecției vectorului pe direcția vectorului.

Pătratul scalar al unui vector:

Proprietățile produsului punct:

Punctează produsul în coordonate

Dacă Acea

Unghiul dintre vectori

Unghiul dintre vectori - unghiul dintre direcțiile acestor vectori (unghiul cel mai mic).

Produs vectorial (Produsul vectorial al doi vectori.)- este un pseudovector perpendicular pe planul construit de doi factori, care este rezultatul operației binare „înmulțire vectorială” pe vectori din spațiul euclidian tridimensional. Produsul nu este nici comutativ, nici asociativ (este anticomutativ) și este diferit de produsul scalar al vectorilor. În multe probleme de inginerie și fizică, este necesar să se poată construi un vector perpendicular pe două existente - produsul vectorial oferă această oportunitate. Produsul încrucișat este util pentru „măsurarea” perpendicularității vectorilor - lungimea produsului încrucișat a doi vectori este egală cu produsul lungimii lor dacă sunt perpendiculari și scade la zero dacă vectorii sunt paraleli sau antiparaleli.

Produsul vectorial este definit numai în spații tridimensionale și șapte-dimensionale. Rezultatul produsului vectorial, ca și produsul scalar, depinde de metrica spațiului euclidian.

Spre deosebire de formula de calcul a produsului scalar din coordonatele vectorilor dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular tridimensional, formula pentru produsul vectorial depinde de orientarea sistemului de coordonate dreptunghiulare sau, cu alte cuvinte, de „chiralitatea” acestuia.

Coliniaritatea vectorilor.

Doi vectori nenuli (nu egali cu 0) sunt numiți coliniari dacă se află pe drepte paralele sau pe aceeași linie. Permitem, dar nu recomandam, un sinonim - vectori „paraleli”. Vectorii coliniari pot fi dirijați în aceeași direcție („co-direcționați”) sau direcționați opus (în acest din urmă caz ​​sunt numiți uneori „anticoliniari” sau „antiparaleli”).

Produsul mixt al vectorilor ( a,b,c)- produsul scalar al vectorului a și produsul vectorial al vectorilor b și c:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

uneori se numește produsul scalar triplu al vectorilor, aparent datorită faptului că rezultatul este un scalar (mai precis, un pseudoscalar).

Semnificație geometrică: Modulul produsului mixt este numeric egal cu volumul paralelipipedului format de vectori (a,b,c) .

Proprietăți

Un produs mixt este simetric oblic în raport cu toate argumentele sale: adică e. o permutare a oricăror doi factori schimbă semnul produsului. Rezultă că produsul mixt în sistemul de coordonate carteziene drept (în bază ortonormală) este egal cu determinantul matricei compuse din vectori și:

Produsul mixt din sistemul de coordonate carteziene din stânga (în bază ortonormală) este egal cu determinantul unei matrice compusă din vectori și luată cu semnul minus:

În special,

Dacă oricare doi vectori sunt paraleli, atunci cu oricare al treilea vector formează un produs mixt egal cu zero.

Dacă trei vectori sunt dependenți liniar (adică, coplanari, se află în același plan), atunci produsul lor mixt este zero.

Sensul geometric - Produsul mixt în valoare absolută este egal cu volumul paralelipipedului (vezi figura) format din vectori și; semnul depinde dacă acest triplu de vectori este dreapta sau stânga.

Complanaritatea vectorilor.

Trei vectori (sau mai mulți) se numesc coplanari dacă ei, reducându-se la o origine comună, se află în același plan.

Proprietăți de complementaritate

Dacă cel puțin unul dintre cei trei vectori este zero, atunci cei trei vectori sunt de asemenea considerați coplanari.

Un triplu de vectori care conțin o pereche de vectori coliniari este coplanar.

Produs mixt al vectorilor coplanari. Acesta este un criteriu pentru coplanaritatea a trei vectori.

Vectorii coplanari sunt dependenți liniar. Acesta este, de asemenea, un criteriu de coplanaritate.

În spațiul tridimensional, 3 vectori necoplanari formează o bază

Vectori liniar dependenți și liniar independenți.

Sisteme de vectori liniar dependente și independente.Definiție. Sistemul de vectori se numește dependent liniar, dacă există cel puțin o combinație liniară netrivială a acestor vectori egală cu vectorul zero. Altfel, i.e. dacă doar o combinație liniară trivială de vectori dați este egală cu vectorul nul, vectorii sunt numiți liniar independent.

Teoremă (criteriul dependenței liniare). Pentru ca un sistem de vectori dintr-un spațiu liniar să fie dependent liniar, este necesar și suficient ca cel puțin unul dintre acești vectori să fie o combinație liniară a celorlalți.

1) Dacă există cel puțin un vector zero printre vectori, atunci întregul sistem de vectori este dependent liniar.

Într-adevăr, dacă, de exemplu, , atunci, presupunând , avem o combinație liniară netrivială .▲

2) Dacă unii dintre vectori formează un sistem dependent liniar, atunci întregul sistem este dependent liniar.

Într-adevăr, fie vectorii , , dependenți liniar. Prin urmare, există o combinație liniară netrivială egală cu vectorul zero. Dar apoi, presupunând , obținem și o combinație liniară netrivială egală cu vectorul zero.

2. Baza și dimensiunea. Definiție. Sistem de vectori liniar independenți se numește spațiu vectorial bază acest spațiu, dacă orice vector din poate fi reprezentat ca o combinație liniară a vectorilor acestui sistem, adică. pentru fiecare vector există numere reale astfel încât egalitatea este valabilă.Această egalitate se numește descompunere vectorialăîn funcție de bază și de numere numit coordonate vectoriale relativ la bază(sau în bază) .

Teorema (cu privire la unicitatea expansiunii din punct de vedere al bazei). Fiecare vector spațial poate fi extins din punct de vedere al bazei într-un mod unic, adică coordonatele fiecărui vector din bază sunt definite fără ambiguitate.