Cum să găsiți aria totală a unui triunghi. Cum să găsiți aria unui triunghi. Formule triunghiulare

Aria unui triunghi - formule și exemple de rezolvare a problemelor

Mai jos sunt formule pentru găsirea ariei unui triunghi arbitrar care sunt potrivite pentru găsirea ariei oricărui triunghi, indiferent de proprietățile, unghiurile sau dimensiunile acestuia. Formulele sunt prezentate sub forma unei imagini, aici sunt explicații pentru aplicarea sau justificarea corectitudinii lor. De asemenea, o figură separată arată corespondența simbolurilor literelor din formule și a simbolurilor grafice din desen.

Notă . Dacă triunghiul are proprietăți speciale (izoscel, dreptunghiular, echilateral), puteți utiliza formulele de mai jos, precum și formule speciale care sunt valabile numai pentru triunghiuri cu aceste proprietăți:

„Formulele pentru aria unui triunghi echilateral”

Formulele ariei triunghiulare

Explicații pentru formule:
a, b, c- lungimile laturilor triunghiului a cărui arie dorim să aflăm
r- raza cercului înscris în triunghi
R- raza cercului circumscris în jurul triunghiului
h- inaltimea triunghiului, coborat in lateral
p- semiperimetrul unui triunghi, 1/2 din suma laturilor acestuia (perimetrul)
α - unghiul opus laturii a a triunghiului
β - unghiul opus laturii b a triunghiului
γ - unghiul opus laturii c a triunghiului
h A, h b , h c- înălțimea triunghiului, coborâtă pe latura a, b, c

Vă rugăm să rețineți că notația dată corespunde figurii de mai sus, astfel încât atunci când rezolvați o problemă reală de geometrie, vă va fi mai ușor din punct de vedere vizual să înlocuiți valorile corecte în locurile potrivite din formulă.

Aria triunghiului este jumătate din produsul înălțimii unui triunghi și lungimea laturii pe care se coboară această înălțime(Formula 1). Corectitudinea acestei formule poate fi înțeleasă logic. Înălțimea coborâtă la bază va împărți un triunghi arbitrar în două dreptunghiulare. Dacă completăm fiecare dintre ele într-un dreptunghi cu dimensiunile b și h, atunci, evident, aria acestor triunghiuri va fi egală cu exact jumătate din aria dreptunghiului (Spr = bh)
Aria triunghiului este jumătate din produsul celor două laturi ale sale și sinusul unghiului dintre ele(Formula 2) (vezi un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind această formulă mai jos). În ciuda faptului că pare diferit de precedentul, poate fi ușor transformat în el. Dacă coborâm înălțimea de la unghiul B la latura b, rezultă că produsul laturii a și sinusul unghiului γ, conform proprietăților sinusului într-un triunghi dreptunghic, este egal cu înălțimea triunghiului desenat de noi, care ne va da formula anterioară
Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită prin muncă jumătate din raza unui cerc înscris în el prin suma lungimilor tuturor laturilor sale(Formula 3), cu alte cuvinte, trebuie să înmulțiți jumătatea perimetrului triunghiului cu raza cercului înscris (este mai ușor de reținut în acest fel)
Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită prin împărțirea produsului tuturor laturilor sale la 4 raze ale cercului circumscris în jurul lui (Formula 4)
Formula 5 este găsirea aria unui triunghi în funcție de lungimile laturilor și semiperimetrului său (jumătate din suma tuturor laturilor sale)
Formula lui Heron(6) este o reprezentare a aceleiași formule fără a utiliza conceptul de semiperimetru, doar prin lungimile laturilor
Aria unui triunghi arbitrar este egală cu produsul dintre pătratul laturii triunghiului și sinusurile unghiurilor adiacente acestei laturi împărțit la sinusul dublu al unghiului opus acestei laturi (Formula 7)
Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită ca produsul a două pătrate ale unui cerc circumscris în jurul lui și sinusurile fiecăruia dintre unghiurile sale. (Formula 8)
Dacă lungimea unei laturi și mărimea celor două unghiuri adiacente acesteia sunt cunoscute, atunci aria triunghiului poate fi găsită ca pătratul acestei laturi, împărțit la suma dublă a cotangentelor acestora. unghiuri (Formula 9)
Dacă se cunoaște doar lungimea fiecăreia dintre înălțimile unui triunghi (Formula 10), atunci aria unui astfel de triunghi este invers proporțională cu lungimile acestor înălțimi, așa cum este formula lui Heron
Formula 11 vă permite să calculați aria unui triunghi în funcție de coordonatele vârfurilor sale, care sunt date ca valori (x;y) pentru fiecare dintre vârfuri. Vă rugăm să rețineți că valoarea rezultată trebuie luată modulo, deoarece coordonatele vârfurilor individuale (sau chiar ale tuturor) pot fi în zona valorilor negative

Notă. Următoarele sunt exemple de rezolvare a problemelor de geometrie pentru a găsi aria unui triunghi. Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie, similară cu care nu este aici - scrieți despre ea pe forum. În soluții, funcția sqrt() poate fi folosită în locul simbolului „rădăcină pătrată”, în care sqrt este simbolul rădăcinii pătrate, iar expresia radicalului este indicată între paranteze.Uneori simbolul poate fi folosit pentru expresii radicale simple √

Sarcină. Aflați aria dată celor două laturi și unghiul dintre ele

Laturile triunghiului sunt de 5 si 6 cm.Unghiul dintre ele este de 60 de grade. Găsiți aria unui triunghi.

Soluţie.

Pentru a rezolva această problemă, folosim formula numărul doi din partea teoretică a lecției.
Aria unui triunghi poate fi găsită prin lungimile a două laturi și sinusul unghiului dintre ele și va fi egală cu
S=1/2 ab sin γ

Deoarece avem toate datele necesare pentru soluție (conform formulei), putem înlocui doar valorile din enunțul problemei în formula:
S=1/2*5*6*sin60

În tabelul cu valorile funcțiilor trigonometrice, găsim și înlocuim în expresie valoarea sinusului 60 de grade. Va fi egal cu rădăcina lui trei câte doi.
S = 15 √3 / 2

Răspuns: 7,5 √3 (în funcție de cerințele profesorului, probabil că este posibil să lăsați 15 √3/2)

Sarcină. Aflați aria unui triunghi echilateral

Aflați aria unui triunghi echilateral cu latura de 3 cm.

Soluție.

Aria unui triunghi poate fi găsită folosind formula lui Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Deoarece a \u003d b \u003d c, formula pentru aria unui triunghi echilateral va lua forma:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Răspuns: 9 √3 / 4.

Sarcină. Schimbarea suprafeței la modificarea lungimii laturilor

De câte ori va crește aria unui triunghi dacă laturile sunt de patru ori?

Soluţie.

Deoarece dimensiunile laturilor triunghiului ne sunt necunoscute, pentru a rezolva problema vom presupune că lungimile laturilor sunt, respectiv, egale cu numerele arbitrare a, b, c. Apoi, pentru a răspunde la întrebarea problemei, găsim aria acestui triunghi și apoi găsim aria unui triunghi ale cărui laturi sunt de patru ori mai mari. Raportul dintre ariile acestor triunghiuri ne va oferi răspunsul la problemă.

În continuare, oferim o explicație textuală a soluției problemei în pași. Cu toate acestea, la sfârșit, aceeași soluție este prezentată într-o formă grafică care este mai convenabilă pentru percepție. Cei care doresc pot retrage imediat soluția.

Pentru a rezolva, folosim formula Heron (vezi mai sus în partea teoretică a lecției). Arata cam asa:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vezi prima linie a imaginii de mai jos)

Lungimile laturilor unui triunghi arbitrar sunt date de variabilele a, b, c.
Dacă laturile sunt mărite de 4 ori, atunci aria noului triunghi c va fi:

S 2 = 1/4 pătrat((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(vezi a doua linie din imaginea de mai jos)

După cum puteți vedea, 4 este un factor comun care poate fi pus în paranteze din toate cele patru expresii conform regulilor generale ale matematicii.
Apoi

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - pe a treia linie a imaginii
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - a patra linie

Din numărul 256 se extrage perfect rădăcina pătrată, așa că o vom scoate de sub rădăcină
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vezi a cincea linie a figurii de mai jos)

Pentru a răspunde la întrebarea pusă în problemă, este suficient să împărțim aria triunghiului rezultat cu aria celui original.
Determinăm rapoartele ariei împărțind expresiile unele în altele și reducând fracția rezultată.

Un triunghi este o astfel de figură geometrică, care constă din trei linii drepte care se conectează în puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă. Punctele de legătură ale liniilor sunt vârfurile triunghiului, care sunt notate cu litere latine (de exemplu, A, B, C). Liniile drepte de legătură ale unui triunghi se numesc segmente, care sunt de obicei notate cu litere latine. Există următoarele tipuri de triunghiuri:

Dreptunghiular.
obtuz.
Cu unghi acut.
Versatil.
Echilateral.
Isoscel.

Formule generale pentru calcularea ariei unui triunghi

Formula ariei triunghiulare pentru lungime și înălțime

S=a*h/2,
unde a este lungimea laturii triunghiului a cărui zonă se găsește, h este lungimea înălțimii trasate la bază.

Formula lui Heron

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
unde √ este rădăcina pătrată, p este semiperimetrul triunghiului, a,b,c este lungimea fiecărei laturi a triunghiului. Semiperimetrul unui triunghi poate fi calculat folosind formula p=(a+b+c)/2.

Formula pentru aria unui triunghi în ceea ce privește unghiul și lungimea segmentului

S = (a*b*sin(α))/2,
unde b,c este lungimea laturilor triunghiului, sin(α) este sinusul unghiului dintre cele două laturi.

Formula pentru aria unui triunghi având în vedere raza cercului înscris și trei laturi

S=p*r,
unde p este semiperimetrul triunghiului a cărui zonă se află, r este raza cercului înscris în acest triunghi.

Formula pentru aria unui triunghi date trei laturi și raza unui cerc circumscris în jurul lui

S= (a*b*c)/4*R,
unde a,b,c este lungimea fiecărei laturi a triunghiului, R este raza cercului circumscris triunghiului.

Formula pentru aria unui triunghi în coordonatele carteziene ale punctelor

Coordonatele carteziene ale punctelor sunt coordonate în sistemul xOy, unde x este abscisa și y este ordonată. Sistemul de coordonate carteziene xOy pe un plan se numește axe numerice reciproc perpendiculare Ox și Oy cu un punct de referință comun în punctul O. Dacă coordonatele punctelor din acest plan sunt date sub forma A (x1, y1), B (x2, y2) și C (x3, y3 ), atunci puteți calcula aria unui triunghi folosind următoarea formulă, care se obține din produsul încrucișat a doi vectori.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
unde || reprezintă modul.

Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic

Un triunghi dreptunghic este un triunghi care are un unghi de 90 de grade. Un triunghi poate avea doar un astfel de unghi.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic pe două catete

S=a*b/2,
unde a,b este lungimea picioarelor. Picioarele se numesc laturile adiacente unghiului drept.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic având în vedere ipotenuza și unghiul ascuțit

S = a*b*sin(α)/ 2,
unde a, b sunt catetele triunghiului, iar sin(α) este sinusul unghiului la care se intersectează liniile a, b.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic după catete și unghi opus

S = a*b/2*tg(β),
unde a, b sunt catetele triunghiului, tg(β) este tangenta unghiului la care catetele a, b sunt conectate.

Cum se calculează aria unui triunghi isoscel

Un triunghi isoscel este unul care are două laturi egale. Aceste laturi se numesc laturi, iar cealalta parte este baza. Puteți utiliza una dintre următoarele formule pentru a calcula aria unui triunghi isoscel.

Formula de bază pentru calcularea ariei unui triunghi isoscel

S=h*c/2,
unde c este baza triunghiului, h este înălțimea triunghiului coborât la bază.

Formula unui triunghi isoscel pe latura laterală și pe bază

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
unde c este baza triunghiului, a este valoarea uneia dintre laturile triunghiului isoscel.

Cum să găsiți aria unui triunghi echilateral

Un triunghi echilateral este un triunghi în care toate laturile sunt egale. Pentru a calcula aria unui triunghi echilateral, puteți folosi următoarea formulă:
S = (√3*a*a)/4,
unde a este lungimea laturii unui triunghi echilateral.

Formulele de mai sus vă vor permite să calculați aria necesară a triunghiului. Este important de reținut că, pentru a calcula distanța dintre triunghiuri, trebuie să țineți cont de tipul de triunghi și de datele disponibile care pot fi utilizate pentru calcul.

Mai mult de 10 formule pentru calcularea ariei unui triunghi pot fi găsite pe Internet. Multe dintre ele sunt folosite în probleme cu laturile și unghiurile cunoscute ale unui triunghi. Cu toate acestea, există o serie de exemple complexe în care, în funcție de condiția atribuirii, sunt cunoscute doar o latură și unghiuri ale triunghiului sau raza cercului circumscris sau înscris și încă o caracteristică. În astfel de cazuri, o formulă simplă nu poate fi aplicată.

Formulele de mai jos vor rezolva 95 la sută din problemele în care trebuie să găsiți aria unui triunghi.
Să trecem la luarea în considerare a formulelor zonelor comune.
Luați în considerare triunghiul prezentat în figura de mai jos

În figură și mai departe în formule sunt introduse denumirile clasice ale tuturor caracteristicilor sale
a,b,c sunt laturile triunghiului,
R este raza cercului circumscris,
r este raza cercului înscris,
h[b],h[a],h[c] - înălțimi trasate în conformitate cu laturile a,b,c.
alpha, beta,hamma - colțuri în apropierea vârfurilor.

Formule de bază pentru aria unui triunghi

1. Aria este egală cu jumătate din produsul dintre latura triunghiului și înălțimea coborâtă pe această latură. În limbajul formulei, această definiție poate fi scrisă ca

Astfel, dacă se cunosc latura și înălțimea, atunci fiecare elev va găsi zona.
Apropo, o relație utilă între înălțimi poate fi derivată din această formulă

2. Dacă ținem cont că înălțimea triunghiului prin latura adiacentă se exprimă prin dependență

Apoi de la prima formulă a zonei urmează același tip de a doua

Priviți cu atenție formulele - sunt ușor de reținut, deoarece lucrarea prezintă două laturi și un unghi între ele. Dacă desemnăm corect laturile și unghiurile triunghiului (ca în figura de mai sus), atunci obținem două laturi a, b iar unghiul este legat de al treilea C (hamma).

3. Pentru unghiurile unui triunghi, relația

Dependența vă permite să aplicați următoarele formule pentru aria unui triunghi în calcule

Exemplele de această dependență sunt extrem de rare, dar trebuie să vă amintiți că există o astfel de formulă.

4. Dacă latura și două unghiuri adiacente sunt cunoscute, atunci aria se află prin formula

5. Formula pentru aria în termeni de latură și cotangenta unghiurilor adiacente este următoarea

Prin rearanjarea indecșilor, puteți obține dependențe pentru celelalte părți.

6. Formula ariei de mai jos este folosită în sarcini când vârfurile unui triunghi sunt date pe planul cu coordonate. În acest caz, aria este egală cu jumătate din determinantul modulo.

7. Formula lui Heron folosit în exemple cu laturile cunoscute ale unui triunghi.
Mai întâi găsiți semiperimetrul triunghiului

Și apoi determină aria prin formulă

sau

Este adesea folosit în codul programelor de calculator.

8. Dacă toate înălțimile triunghiului sunt cunoscute, atunci aria este determinată de formula

Este greu de calculat la calculator, însă, în pachetele MathCad, Mathematica, Maple, zona este „unu doi”.

9. Următoarele formule folosesc razele cunoscute ale cercurilor înscrise și circumscrise.

În special, dacă raza și laturile unui triunghi sau perimetrul acestuia sunt cunoscute, atunci aria se calculează conform formulei

10. În exemplele în care sunt date laturile și raza sau diametrul cercului circumscris, aria se află prin formula

11. Următoarea formulă determină aria unui triunghi în ceea ce privește latura și unghiurile triunghiului.

Și în sfârșit - cazuri speciale:
Aria unui triunghi dreptunghic cu catetele a și b este egal cu jumătate din produsul lor

Formula pentru aria unui triunghi echilateral (regulat).=

\u003d un sfert din produsul pătratului laturii și rădăcina celor trei.

Triunghiul este o figură binecunoscută. Și asta, în ciuda varietății bogate a formelor sale. Dreptunghiular, echilateral, acut, isoscel, obtuz. Fiecare dintre ele este oarecum diferit. Dar pentru orice este necesar să cunoașteți aria triunghiului.

Formule comune pentru toate triunghiurile care folosesc lungimile laturilor sau înălțimii

Denumirile adoptate în ele: laturile - a, b, c; înălțimi pe laturile corespunzătoare pe a, n in, n s.

1. Aria unui triunghi se calculează ca produsul dintre ½, latura și înălțimea coborâte pe acesta. S = ½ * a * n a. În mod similar, ar trebui să scrieți formule pentru celelalte două părți.

2. Formula lui Heron, în care apare semiperimetrul (se obișnuiește să-l notăm cu litera p mică, în contrast cu întregul perimetru). Semi-perimetrul trebuie calculat după cum urmează: se adună toate laturile și se împart la 2. Formula semi-perimetru: p \u003d (a + b + c) / 2. Apoi egalitatea pentru aria de \ u200b\u200bfigura arată astfel: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Dacă nu doriți să utilizați un semi-perimetru, atunci o astfel de formulă va fi utilă, în care sunt prezente doar lungimile laturilor: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Este oarecum mai lung decât precedentul, dar vă va ajuta dacă ați uitat cum să găsiți semi-perimetrul.

Formule generale în care apar unghiurile unui triunghi

Notația care este necesară pentru a citi formulele: α, β, γ - unghiuri. Ele se află laturi opuse a, b, c, respectiv.

1. Potrivit acestuia, jumătate din produsul a două laturi și sinusul unghiului dintre ele este egal cu aria triunghiului. Adică: S = ½ a * b * sin γ. Formulele pentru celelalte două cazuri ar trebui scrise într-un mod similar.

2. Aria unui triunghi poate fi calculată dintr-o latură și trei unghiuri cunoscute. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Există și o formulă cu o latură cunoscută și două unghiuri adiacente acesteia. Arata astfel: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Ultimele două formule nu sunt cele mai simple. E destul de greu să-i amintești.

Formule generale pentru situația în care se cunosc razele cercurilor înscrise sau circumscrise

Denumiri suplimentare: r, R — razele. Primul este folosit pentru raza cercului înscris. Al doilea este pentru cel descris.

1. Prima formulă prin care se calculează aria unui triunghi este legată de semiperimetrul. S = r * r. Într-un alt mod, poate fi scris după cum urmează: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. În al doilea caz, va trebui să înmulțiți toate laturile triunghiului și să le împărțiți la raza cvadruplă a cercului circumscris. În termeni literali, arată astfel: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. A treia situație vă permite să faceți fără a cunoaște laturile, dar aveți nevoie de valorile tuturor celor trei unghiuri. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Caz special: triunghi dreptunghic

Aceasta este cea mai simplă situație, deoarece este necesară doar lungimea ambelor picioare. Ele sunt notate cu literele latine a și b. Aria unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din aria dreptunghiului adăugat acestuia.

Matematic, arată astfel: S = ½ a * b. Ea este cel mai ușor de reținut. Deoarece arată ca formula pentru aria unui dreptunghi, apare doar o fracție, denotă jumătate.

Caz special: triunghi isoscel

Deoarece cele două laturi ale sale sunt egale, unele formule pentru zona sa par oarecum simplificate. De exemplu, formula lui Heron, care calculează aria unui triunghi isoscel, ia următoarea formă:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Dacă îl converti, va deveni mai scurt. În acest caz, formula lui Heron pentru un triunghi isoscel este scrisă după cum urmează:

S = ¼ în √(4 * a 2 - b 2).

Formula ariei pare oarecum mai simplă decât pentru un triunghi arbitrar dacă laturile și unghiul dintre ele sunt cunoscute. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Caz special: triunghi echilateral

De obicei, în problemele despre el, latura este cunoscută sau poate fi cumva recunoscută. Apoi formula pentru găsirea ariei unui astfel de triunghi este următoarea:

S = (a 2 √3) / 4.

Sarcini pentru găsirea zonei dacă triunghiul este reprezentat pe hârtie în carouri

Cea mai simplă situație este atunci când un triunghi dreptunghic este desenat astfel încât picioarele acestuia să coincidă cu liniile hârtiei. Apoi trebuie doar să numărați numărul de celule care se potrivesc în picioare. Apoi înmulțiți-le și împărțiți-le la doi.

Când triunghiul este acut sau obtuz, trebuie să fie desenat într-un dreptunghi. Apoi, în figura rezultată vor fi 3 triunghiuri. Unul este cel dat în sarcină. Iar celelalte două sunt auxiliare și dreptunghiulare. Zonele ultimelor două trebuie determinate prin metoda descrisă mai sus. Apoi calculați aria dreptunghiului și scădeți din el cele calculate pentru cele auxiliare. Se determină aria triunghiului.

Mult mai dificilă este situația în care niciuna dintre laturile triunghiului nu coincide cu liniile hârtiei. Apoi trebuie să fie înscris într-un dreptunghi, astfel încât vârfurile figurii originale să se afle pe laturile sale. În acest caz, vor exista trei triunghiuri dreptunghiulare auxiliare.

Un exemplu de problemă cu formula lui Heron

Condiție. Unele triunghiuri au laturi. Ele sunt egale cu 3, 5 și 6 cm. Trebuie să-i cunoașteți aria.

Acum puteți calcula aria unui triunghi folosind formula de mai sus. Sub rădăcina pătrată se află produsul a patru numere: 7, 4, 2 și 1. Adică, aria este √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Dacă nu aveți nevoie de mai multă precizie, atunci puteți lua rădăcina pătrată a lui 14. Este 3,74. Atunci aria va fi egală cu 7,48.

Răspuns. S \u003d 2 √14 cm 2 sau 7,48 cm 2.

Un exemplu de problemă cu un triunghi dreptunghic

Condiție. Un picior al unui triunghi dreptunghic este cu 31 cm mai lung decât al doilea. Este necesar să aflați lungimile lor dacă aria triunghiului este de 180 cm 2.
Soluţie. Trebuie să rezolvi un sistem de două ecuații. Primul are legătură cu zona. Al doilea este cu raportul picioarelor, care este dat în problemă.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
În primul rând, valoarea lui „a” trebuie înlocuită în prima ecuație. Se dovedește: 180 \u003d ½ (in + 31) * in. Are o singură cantitate necunoscută, deci este ușor de rezolvat. După deschiderea parantezelor, se obține o ecuație pătratică: în 2 + 31 in - 360 \u003d 0. Oferă două valori \u200b\u200bpentru "în": 9 și - 40. Al doilea număr nu este potrivit ca răspuns , deoarece lungimea laturii triunghiului nu poate fi o valoare negativă.

Rămâne de calculat al doilea etapă: la numărul rezultat se adaugă 31. Rezultă 40. Acestea sunt cantitățile căutate în problemă.

Răspuns. Lamele triunghiului au 9 și 40 cm.

Sarcina de a găsi latura prin zona, latura și unghiul unui triunghi

Condiție. Aria unui triunghi este de 60 cm2. Este necesar să se calculeze una dintre laturile sale dacă a doua latură este de 15 cm, iar unghiul dintre ele este de 30º.

Soluţie. Pe baza denumirilor acceptate, latura dorită este „a”, cunoscutul „b”, unghiul dat este „γ”. Apoi formula zonei poate fi rescrisă după cum urmează:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Aici sinusul de 30 de grade este 0,5.

După transformări, „a” se dovedește a fi egal cu 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Adică 16.

Răspuns. Latura dorită este de 16 cm.

Problema unui pătrat înscris într-un triunghi dreptunghic

Condiție. Vârful unui pătrat cu latura de 24 cm coincide cu unghiul drept al triunghiului. Ceilalți doi se întind pe picioare. Al treilea aparține ipotenuzei. Lungimea unuia dintre picioare este de 42 cm Care este aria unui triunghi dreptunghic?

Soluţie. Luați în considerare două triunghiuri dreptunghiulare. Primul este specificat în sarcină. Al doilea se bazează pe catelul cunoscut al triunghiului original. Sunt asemănătoare deoarece au un unghi comun și sunt formate din linii paralele.

Atunci rapoartele picioarelor lor sunt egale. Picioarele triunghiului mai mic sunt de 24 cm (latura pătratului) și 18 cm (cu piciorul dat 42 cm minus latura pătratului de 24 cm). Labele corespunzătoare ale triunghiului mare sunt de 42 cm și x cm. Acest „x” este necesar pentru a calcula aria triunghiului.

18/42 \u003d 24 / x, adică x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Atunci aria este egală cu produsul dintre 56 și 42, împărțit la doi, adică 1176 cm 2.

Răspuns. Suprafața dorită este de 1176 cm 2.

Instruire

Petreceri iar colțurile sunt considerate elemente de bază A. Un triunghi este complet definit de oricare dintre următoarele elemente de bază: fie trei laturi, fie o latură și două unghiuri, fie două laturi și un unghi între ele. Pentru existență triunghi definit de trei laturi a, b, c, este necesar și suficient ca inegalitățile, numite inegalități triunghi:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Pentru constructie triunghi pe trei laturi a, b, c, este necesar din punctul C al segmentului CB=a sa se deseneze cu compasul un cerc de raza b. Apoi, în mod similar, desenați un cerc din punctul B cu o rază egală cu latura c. Punctul lor de intersecție A este al treilea vârf al celui dorit triunghi ABC, unde AB=c, CB=a, CA=b - laturile triunghi. Problema are , dacă laturile a, b, c satisfac inegalitățile triunghi specificat la pasul 1.

Zona lui S construită în acest fel triunghi ABC cu laturile cunoscute a, b, c, se calculează prin formula lui Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
unde a, b, c sunt laturi triunghi, p este semiperimetrul.
p = (a+b+c)/2

Dacă triunghiul este echilateral, adică toate laturile lui sunt egale (a=b=c).Aria triunghi calculat prin formula:
S=(a^2 v3)/4

Dacă triunghiul este dreptunghic, adică unul dintre unghiurile sale este de 90 °, iar laturile care îl formează sunt catete, a treia latură este ipotenuza. În acest caz pătrat este egal cu produsul catetelor împărțit la doi.
S=ab/2

A găsi pătrat triunghi, puteți folosi una dintre numeroasele formule. Alegeți formula în funcție de ce date sunt deja cunoscute.

Vei avea nevoie

cunoașterea formulelor pentru găsirea ariei unui triunghi

Instruire

Dacă știți valoarea uneia dintre laturi și valoarea înălțimii coborâte în această latură din colțul opus, atunci puteți găsi aria folosind următoarele: S = a*h/2, unde S este aria lui triunghiul, a este una dintre laturile triunghiului, iar h - înălțimea, la latura a.

Există o modalitate cunoscută de a determina aria unui triunghi dacă trei dintre laturile sale sunt cunoscute. Ea este formula lui Heron. Pentru a simplifica înregistrarea acesteia, se introduce o valoare intermediară - un semiperimetru: p \u003d (a + b + c) / 2, unde a, b, c - . Atunci formula lui Heron este următoarea: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ exponentiație.

Să presupunem că cunoști una dintre laturile unui triunghi și trei unghiuri. Atunci este ușor să găsiți aria triunghiului: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), unde β este unghiul opus laturii a, iar α și γ sunt unghiuri adiacente laturii.

Videoclipuri asemănătoare

Notă

Cea mai generală formulă care este potrivită pentru toate cazurile este formula lui Heron.

Surse:

Sfat 3: Cum să găsiți aria unui triunghi având trei laturi

Găsirea ariei unui triunghi este una dintre cele mai comune sarcini în planimetria școlară. Cunoașterea celor trei laturi ale unui triunghi este suficientă pentru a determina aria oricărui triunghi. În cazuri speciale și triunghiuri echilaterale, este suficient să cunoaștem lungimile a două și, respectiv, a unei laturi.

Vei avea nevoie

lungimile laturilor triunghiurilor, formula lui Heron, teorema cosinusului

Instruire

Formula lui Heron pentru aria unui triunghi este următoarea: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Dacă pictați semiperimetrul p, atunci obțineți: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

De asemenea, puteți obține o formulă pentru aria unui triunghi din considerații, de exemplu, prin aplicarea teoremei cosinusului.

După legea cosinusurilor, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Folosind notația introdusă, acestea pot fi și sub forma: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Prin urmare, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Aria unui triunghi se găsește și prin formula S = a*c*sin(ABC)/2 prin două laturi și unghiul dintre ele. Sinusul unghiului ABC poate fi exprimat în termenii lui folosind identitatea trigonometrică de bază: sin (ABC) = sqrt (1- ((cos (ABC)) ^ 2) Înlocuind sinusul în formula zonei și pictând-o, puteți veniți la formula pentru aria unui triunghi ABC.

Videoclipuri asemănătoare

Pentru reparații, poate fi necesară măsurarea pătrat ziduri. Este mai ușor să calculați cantitatea necesară de vopsea sau tapet. Pentru măsurători, cel mai bine este să folosiți o bandă de măsurare sau o bandă de centimetri. Măsurătorile trebuie luate după ziduri au fost aliniate.

Vei avea nevoie

-ruletă;
-scară.

Instruire

A număra pătrat pereți, trebuie să cunoașteți înălțimea exactă a tavanelor, precum și să măsurați lungimea de-a lungul podelei. Acest lucru se face după cum urmează: luați un centimetru, așezați-l peste soclu. De obicei, un centimetru nu este suficient pentru toată lungimea, așa că fixează-l în colț, apoi derulează-l la lungimea maximă. În acest moment, puneți un semn cu un creion, notați rezultatul și efectuați măsurarea ulterioară în același mod, începând de la ultimul punct de măsurare.

Plafoane standard în tipic - 2 metri 80 centimetri, 3 metri și 3 metri 20 centimetri, în funcție de casă. Dacă casa a fost construită înainte de anii 50, atunci cel mai probabil înălțimea reală este puțin mai mică decât cea indicată. Dacă calculezi pătrat pentru lucrări de reparații, atunci o marjă mică nu va strica - luați în considerare pe baza standardului. Dacă mai trebuie să știți înălțimea reală - luați măsurători. Principiul este similar cu măsurarea lungimii, dar veți avea nevoie de o scară.

Înmulțiți cifrele rezultate - aceasta este pătrat ta ziduri. Adevărat, pentru lucrări de pictură sau pentru este necesar să se scadă pătrat deschideri ale ușilor și ferestrelor. Pentru a face acest lucru, așezați un centimetru de-a lungul deschiderii. Dacă vorbim de o ușă pe care urmează să o schimbați ulterior, atunci efectuați cu tocul ușii îndepărtat, luând în considerare doar pătrat deschiderea în sine. Suprafața ferestrei este calculată de-a lungul perimetrului cadrului său. După pătrat fereastră și ușă calculate, scădeți rezultatul din suprafața totală a încăperii obținută.

Vă rugăm să rețineți că măsurătorile lungimii și lățimii camerei sunt efectuate împreună, este mai ușor să fixați un centimetru sau o bandă de măsură și, în consecință, să obțineți un rezultat mai precis. Faceți aceeași măsurătoare de mai multe ori pentru a vă asigura că numerele pe care le obțineți sunt corecte.

Videoclipuri asemănătoare

Găsirea volumului unui triunghi este într-adevăr o sarcină non-trivială. Faptul este că un triunghi este o figură bidimensională, adică. se află în întregime într-un singur plan, ceea ce înseamnă că pur și simplu nu are volum. Desigur, nu poți găsi ceva care nu există. Dar să nu renunțăm! Putem face următoarea presupunere - volumul unei figuri bidimensionale, aceasta este aria sa. Căutăm aria triunghiului.

Vei avea nevoie

coală de hârtie, creion, riglă, calculator

Instruire

Desenați pe o foaie de hârtie cu o riglă și un creion. Examinând cu atenție triunghiul, vă puteți asigura că într-adevăr nu are, deoarece este desenat pe un plan. Etichetați laturile triunghiului: o latură să fie latura „a”, cealaltă parte „b”, iar a treia latură „c”. Etichetați vârfurile triunghiului cu literele „A”, „B” și „C”.

Măsurați orice latură a triunghiului cu o riglă și notați rezultatul. După aceea, restabiliți perpendiculara pe latura măsurată de la vârful opus, o astfel de perpendiculară va fi înălțimea triunghiului. În cazul prezentat în figură, perpendiculara „h” este restabilită pe latura „c” de la vârful „A”. Măsurați înălțimea rezultată cu o riglă și înregistrați rezultatul măsurării.

Se poate întâmpla să vi se pare dificil să restabiliți perpendiculara exactă. În acest caz, ar trebui să utilizați o formulă diferită. Măsurați toate laturile triunghiului cu o riglă. După aceea, calculați jumătate de perimetru al triunghiului „p” adunând lungimile rezultate ale laturilor și împărțind suma lor la jumătate. Avand la dispozitie valoarea semiperimetrului, puteti folosi formula Heron. Pentru a face acest lucru, trebuie să luați rădăcina pătrată a următoarelor: p(p-a)(p-b)(p-c).

Ați obținut aria dorită a triunghiului. Problema găsirii volumului unui triunghi nu a fost rezolvată, dar după cum am menționat mai sus, volumul nu este . Puteți găsi volum care este în esență un triunghi în lumea 3D. Dacă ne imaginăm că triunghiul nostru inițial a devenit o piramidă tridimensională, atunci volumul unei astfel de piramide va fi produsul lungimii bazei sale și aria triunghiului pe care l-am primit.

Notă

Calculele vor fi mai precise cu cât efectuați măsurătorile cu mai multă atenție.

Surse:

Calculator All-to-All - Portal de referință
volumul triunghiului în 2019

Cele trei puncte care definesc unic un triunghi în sistemul de coordonate carteziene sunt vârfurile acestuia. Cunoscând poziția lor față de fiecare axă de coordonate, puteți calcula orice parametri ai acestei figuri plate, inclusiv cel limitat de perimetrul său pătrat. Acest lucru se poate face în mai multe moduri.

Instruire

Utilizați formula lui Heron pentru a calcula suprafața triunghi. Implică dimensiunile celor trei laturi ale figurii, așa că începeți calculele cu. Lungimea fiecărei laturi trebuie să fie egală cu rădăcina sumei pătratelor lungimilor proiecțiilor sale pe axele de coordonate. Dacă notăm coordonatele A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) și C(X₃,Y₃,Z₃), lungimile laturilor lor pot fi exprimate astfel: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Pentru a simplifica calculele, introduceți o variabilă auxiliară - semiperimetrul (P). De aici, aceasta este jumătate din suma lungimilor tuturor laturilor: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).