Teoria jocurilor matematice. Exemple de înregistrare și rezolvare a jocurilor din viață. Teoria jocurilor în economie

Teoria jocurilor este o metodă matematică de studiere a strategiilor optime în jocuri. Termenul „joc” ar trebui înțeles ca interacțiunea a două sau mai multe părți care încearcă să-și realizeze interesele. Fiecare parte are propria strategie care poate duce la victorie sau înfrângere, în funcție de modul în care se comportă jucătorii. Datorită teoriei jocurilor, devine posibilă găsirea celei mai eficiente strategii, ținând cont de ideile despre alți jucători și potențialul acestora.

Teoria jocurilor este o ramură specială a cercetării operaționale. În cele mai multe cazuri, metodele teoriei jocurilor sunt folosite în economie, dar uneori în alte științe sociale, de exemplu, în științe politice, sociologie, etică și altele. Din anii 1970, a fost folosit și de biologi pentru a studia comportamentul animalelor și teoria evoluției. În plus, astăzi teoria jocurilor are o mare importanță în domeniul ciberneticii și. De aceea vrem să vă spunem despre asta.

Istoria teoriei jocurilor

Cele mai optime strategii în domeniul modelării matematice au fost propuse de oamenii de știință încă din secolul al XVIII-lea. În secolul al XIX-lea, problemele de stabilire a prețurilor și producției pe o piață cu concurență redusă, care mai târziu au devenit exemple clasice de teoria jocurilor, au fost luate în considerare de oameni de știință precum Joseph Bertrand și Antoine Cournot. Și la începutul secolului al XX-lea, matematicienii remarcabili Emil Borel și Ernst Zermelo au prezentat ideea unei teorii matematice a conflictului de interese.

Originile teoriei jocurilor matematice se găsesc în economia neoclasică. Inițial, bazele și aspectele acestei teorii au fost conturate în lucrarea lui Oscar Morgenstern și John von Neumann „Teoria jocurilor și comportamentul economic” din 1944.

Domeniul matematic prezentat și-a găsit o oarecare reflectare în cultura socială. De exemplu, în 1998, Sylvia Nazar (jurnalist și scriitor american) a publicat o carte dedicată lui John Nash, laureat al Premiului Nobel pentru economie și specialist în teoria jocurilor. În 2001, pe baza acestei lucrări, a fost filmat filmul „A Beautiful Mind”. Și o serie de emisiuni TV americane precum „NUMB3RS”, „Alias” și „Prieten sau dușman” se referă, din când în când, la teoria jocurilor în emisiunile lor.

Dar separat ar trebui spus despre John Nash.

În 1949, a scris o teză despre teoria jocurilor, iar 45 de ani mai târziu a primit Premiul Nobel pentru economie. În primele concepții ale teoriei jocurilor au fost analizate jocuri de tip antagonist, în care există jucători care câștigă în detrimentul învinșilor. Dar John Nash a dezvoltat astfel de metode analitice, conform cărora toți jucătorii fie pierd, fie câștigă.

Situațiile dezvoltate de Nash au fost numite mai târziu „echilibru Nash”. Ele diferă prin faptul că toate părțile jocului aplică cele mai optime strategii, datorită cărora se creează un echilibru stabil. Menținerea echilibrului este foarte benefică pentru jucători, deoarece altfel orice schimbare le poate afecta negativ poziția.

Datorită lucrării lui John Nash, teoria jocurilor a primit un impuls puternic în dezvoltarea sa. În plus, instrumentele matematice ale modelării economice au fost serios revizuite. John Nash a reușit să demonstreze că punctul de vedere clasic în problema competiției, în care fiecare joacă doar pentru sine, nu este optim, iar cele mai eficiente strategii sunt cele în care jucătorii se descurcă mai bine pentru ei înșiși, inițial mergând mai bine pentru ceilalți.

În ciuda faptului că inițial modelele economice au fost și în domeniul de vedere al teoriei jocurilor, până în anii 50 ai secolului trecut a fost doar o teorie formală, limitată de cadrul matematicii. Cu toate acestea, din a doua jumătate a secolului al XX-lea, s-au făcut încercări de a-l folosi în economie, antropologie, tehnologie, cibernetică și biologie. În timpul celui de-al Doilea Război Mondial și după acesta, armata a început să ia în considerare teoria jocurilor, care o vedea ca pe un aparat serios în dezvoltarea deciziilor strategice.

În anii 1960 și 1970, interesul pentru această teorie a dispărut, deși a dat rezultate matematice bune. Dar din anii 80 a început aplicarea activă a teoriei jocurilor în practică, în special în management și economie. În ultimele decenii, relevanța sa a crescut semnificativ, iar unele tendințe economice moderne nu pot fi imaginate deloc fără el.

Nu ar fi de prisos să mai spunem că o contribuție semnificativă la dezvoltarea teoriei jocurilor a fost adusă de lucrarea „Strategia conflictului” din 2005 a câștigătorului Premiului Nobel pentru economie Thomas Schelling. În munca sa, Schelling a luat în considerare o varietate de strategii utilizate de participanții la interacțiunea conflictuală. Aceste strategii au coincis cu tacticile de gestionare a conflictelor și principiile analitice utilizate în , precum și cu tacticile care sunt utilizate pentru gestionarea conflictelor în organizații.

În știința psihologică și într-o serie de alte discipline, conceptul de „joc” are un înțeles ușor diferit de cel din matematică. Interpretarea culturologică a termenului „joc” a fost prezentată în cartea „Homo Ludens” de Johan Huizinga, unde autorul vorbește despre utilizarea jocurilor în etică, cultură și justiție și, de asemenea, subliniază că jocul în sine este semnificativ mai vechi decât o persoană în vârstă, pentru că și animalele sunt înclinate să se joace.

De asemenea, conceptul de „joc” se regăsește și în conceptul lui Eric Burn, cunoscut din cartea „”. Aici, însă, vorbim de jocuri exclusiv psihologice, a căror bază este analiza tranzacțională.

Aplicarea teoriei jocurilor

Dacă vorbim despre teoria matematică a jocurilor, atunci în prezent se află în stadiul de dezvoltare activă. Dar baza matematică este în mod inerent foarte costisitoare, motiv pentru care este folosită în principal numai dacă scopurile justifică mijloacele, și anume: în politică, economia monopolurilor și distribuția puterii de piață etc. În caz contrar, teoria jocurilor este aplicată în studiul comportamentului oamenilor și animalelor într-un număr foarte mare de situații.

După cum sa menționat deja, la început teoria jocurilor s-a dezvoltat în limitele științei economice, datorită căreia a devenit posibilă determinarea și interpretarea comportamentului agenților economici în diverse situații. Dar mai târziu, sfera de aplicare a acesteia sa extins semnificativ și a început să includă multe științe sociale, datorită cărora, cu ajutorul teoriei jocurilor, comportamentul uman în psihologie, sociologie și științe politice este explicat astăzi.

Specialiștii folosesc teoria jocurilor nu numai pentru a explica și prezice comportamentul uman - s-au făcut multe încercări de a folosi această teorie pentru a dezvolta un comportament de referință. În plus, filozofii și economiștii au încercat de multă vreme să înțeleagă comportamentul bun sau demn cu ajutorul acestuia.

Astfel, putem concluziona că teoria jocurilor a devenit un adevărat punct de cotitură în dezvoltarea multor științe, iar astăzi este o parte integrantă a procesului de studiu a diferitelor aspecte ale comportamentului uman.

ÎN LOC DE CONCLUZIE: După cum ați observat, teoria jocurilor este destul de strâns legată de conflictologia - o știință dedicată studiului comportamentului oamenilor în procesul de interacțiune a conflictului. Și, în opinia noastră, acest domeniu este unul dintre cele mai importante nu numai dintre cele în care ar trebui aplicată teoria jocurilor, ci și dintre cele pe care o persoană însuși ar trebui să le studieze, deoarece conflictele, orice s-ar spune, fac parte din viața noastră. .

Dacă doriți să înțelegeți ce strategii de comportament în ele există în general, vă sugerăm să urmați cursul nostru de autocunoaștere, care vă va oferi pe deplin astfel de informații. Dar, pe lângă aceasta, după finalizarea cursului nostru, veți putea efectua o evaluare cuprinzătoare a personalității dvs. în general. Și asta înseamnă că vei ști cum să te comporți în caz de conflict și care sunt punctele tale forte și slabe personale, valorile și prioritățile vieții, predispoziția la muncă și creativitate și multe altele. În general, acesta este un instrument foarte util și necesar pentru toți cei care caută dezvoltare.

Cursul nostru este situat - treceți cu îndrăzneală la autocunoaștere și îmbunătățiți-vă.

Vă dorim succes și abilitatea de a fi un câștigător în orice joc!

De la popularul blog american Cracked.

Teoria jocurilor este despre a învăța cum să faci cea mai bună mișcare și, ca rezultat, să obții cea mai mare bucată posibilă din plăcinta câștigătoare, tăind o parte din ea de la alți jucători. Te învață să analizezi mulți factori și să tragi concluzii ponderate logic. Cred că ar trebui studiat după numere și înainte de alfabet. Pur și simplu pentru că prea mulți oameni iau decizii importante bazate pe intuiție, profeții secrete, alinierea stelelor și altele asemenea. Am studiat cu atenție teoria jocurilor și acum vreau să vă spun despre elementele de bază ale acesteia. Poate că acest lucru va adăuga bun simț în viața ta.

1. Dilema prizonierului

Berto și Robert au fost arestați pentru jaf de bancă după ce nu au folosit în mod corespunzător o mașină furată pentru a scăpa. Poliția nu poate dovedi că ei au fost cei care au jefuit banca, dar i-au prins în flagrant într-o mașină furată. Au fost duși în camere diferite și fiecăruia i s-a oferit o înțelegere: să predea un complice și să-l trimită la închisoare pentru 10 ani și să se elibereze. Dar dacă amândoi se trădează unul pe celălalt, atunci fiecare va primi 7 ani. Dacă nimeni nu spune nimic, atunci amândoi vor sta 2 ani doar pentru că au furat o mașină.

Fiecare prizonier este un jucător, iar beneficiul fiecăruia poate fi reprezentat ca o „formulă” (ce primesc amândoi, ce primește celălalt). De exemplu, dacă te lovesc, schema mea de câștig ar arăta așa (obțin un câștig dur, te doare foarte mult). Deoarece fiecare deținut are două opțiuni, putem prezenta rezultatele într-un tabel.

Aplicație practică: depistarea sociopaților

Aici vedem aplicația principală a teoriei jocurilor: identificarea sociopaților care se gândesc doar la ei înșiși. Teoria jocurilor reale este un instrument analitic puternic, iar amatorismul servește adesea drept steag roșu, cu un cap trădând o persoană lipsită de onoare. Oamenii intuitivi cred că este mai bine să fie urât, deoarece va avea ca rezultat o pedeapsă mai scurtă cu închisoarea, indiferent de ceea ce face celălalt jucător. Din punct de vedere tehnic, acest lucru este corect, dar numai dacă ești o persoană miop care pune cifrele deasupra vieților umane. Acesta este motivul pentru care teoria jocurilor este atât de populară în finanțe.

Adevărata problemă cu dilema prizonierului este că ignoră datele. De exemplu, nu ia în considerare posibilitatea de a vă întâlni cu prietenii, rudele sau chiar creditorii persoanei pe care ați pus-o în închisoare timp de 10 ani.

Cel mai rău dintre toate, toți cei implicați în Dilema Prizonierului se comportă de parcă n-ar fi auzit-o niciodată.

Iar cea mai bună mișcare este să taci, iar în doi ani, împreună cu un bun prieten, să folosești banii obișnuiți.

2. Strategia dominantă

Aceasta este o situație în care acțiunile tale oferă cel mai mare câștig, indiferent de acțiunile adversarului tău. Orice s-ar întâmpla, ai făcut totul bine. De aceea, mulți oameni din Prisoner's Dilema cred că trădarea duce la cel mai bun rezultat, indiferent de ceea ce face cealaltă persoană, iar ignoranța realității inerentă acestei metode face ca totul să pară super-simplu.

Majoritatea jocurilor pe care le jucăm nu au strategii strict dominante, deoarece altfel ar fi groaznice. Imaginează-ți că ai face întotdeauna același lucru. Nu există o strategie dominantă în jocul piatră-hârtie-foarfecă. Dar dacă te-ai juca cu o persoană care avea mănuși de cuptor și ar putea arăta doar piatră sau hârtie, ai avea strategia dominantă: hârtie. Hârtia ta îi va înfășura piatra sau va duce la o egalitate și nu poți pierde pentru că adversarul tău nu poate arăta foarfecele. Acum că ai o strategie dominantă, ar fi nevoie de un prost să încerce orice altceva.

3. Bătălia sexelor

Jocurile sunt mai interesante atunci când nu au o strategie strict dominantă. De exemplu, bătălia sexelor. Anjali și Borislav merg la o întâlnire, dar nu se pot decide între balet și box. Anjali iubește boxul pentru că îi place să vadă sângele curgând spre încântarea unei mulțimi țipătoare de spectatori care se consideră civilizați doar pentru că au plătit pentru capetele rupte ale cuiva.

Borislav vrea să se uite la balet pentru că înțelege că balerinii trec prin multe accidentări și prin cele mai dificile antrenamente, știind că o singură accidentare poate pune capăt tuturor. Dansatorii de balet sunt cei mai mari sportivi de pe Pământ. O balerină poate să te lovească cu piciorul în cap, dar nu o va face niciodată, pentru că piciorul ei valorează mult mai mult decât fața ta.

Fiecare își dorește să meargă la activitatea lor preferată, dar nu vor să se bucure de ea singuri, așa că iată schema lor câștigătoare: cea mai mare valoare este să facă ceea ce îi place, cea mai mică valoare este doar să fii cu o altă persoană și zero este să fii singur.

Unii oameni sugerează cu încăpățânare să se echilibreze în pragul războiului: dacă faci ceea ce vrei, indiferent de ce, cealaltă persoană trebuie să se conformeze alegerii tale sau să piardă totul. După cum am spus deja, Teoria simplificată a jocurilor este grozavă la depistarea proștilor.

Aplicație practică: Evitați colțurile ascuțite

Desigur, această strategie are și dezavantajele ei semnificative. În primul rând, dacă îți tratezi întâlnirile ca pe o „bătălie a sexelor”, nu va funcționa. Separați astfel încât fiecare dintre voi să găsească o persoană care îi place. Și a doua problemă este că, în această situație, participanții sunt atât de nesiguri pe ei înșiși încât nu o pot face.

O strategie cu adevărat câștigătoare pentru fiecare este să facă ceea ce vrea, iar după, sau a doua zi, când sunt liberi, merg împreună la o cafenea. Sau alternează între box și balet până când lumea divertismentului este revoluționată și se inventează baletul de box.

4. Echilibru Nash

Un echilibru Nash este un set de mișcări în care nimeni nu vrea să facă ceva diferit după fapt.Și dacă o putem face să funcționeze, teoria jocurilor va înlocui întregul sistem filozofic, religios și financiar de pe planetă, pentru că „dorința de a nu eșua” a devenit o forță motrice mai puternică pentru umanitate decât focul.

Să împărțim rapid cei 100 de dolari. Tu și cu mine decidem câte din suta cerem și în același timp anunțăm sumele. Dacă totalul nostru este mai mic de o sută, fiecare primește ceea ce și-a dorit. Dacă totalul este peste o sută, cel care a cerut cea mai mică sumă primește suma dorită, în timp ce cel mai lacom primește ce a mai rămas. Dacă cerem aceeași sumă, fiecare primește 50 USD. Cât vei cere? Cum vei împărți banii? Există o singură mișcare câștigătoare.

Cerința de 51 USD îți va oferi suma maximă, indiferent de ce alege adversarul tău. Dacă va cere mai mult, veți primi 51 USD. Dacă el cere 50 sau 51 de dolari, vei primi 50 de dolari. Și dacă îți cere mai puțin de 50 de dolari, vei primi 51 de dolari. În orice caz, nu există altă opțiune care să-ți aducă mai mulți bani decât aceasta. Echilibrul Nash este o situație în care amândoi alegem 51 USD.

Aplicație practică: Gândește mai întâi

Acesta este scopul teoriei jocurilor. Nu trebuie să câștigi, darămite să rănești alți jucători, dar trebuie să faci cea mai bună mișcare pentru tine, indiferent de ceea ce alții îți rezervă. Și cu atât mai bine dacă această mișcare este benefică pentru alți jucători. Acesta este un fel de matematică care ar putea schimba societatea.

O variantă interesantă a acestei idei este băutul, care poate fi numit un echilibru Nash cu o dependență de timp. Când bei suficient, nu îți pasă de acțiunile celorlalți, indiferent de ceea ce fac ei, dar a doua zi chiar regreti că nu ai procedat altfel.

5. Jocul aruncării

Jucătorul 1 și Jucătorul 2 participă la tragere la sorți. Fiecare jucător alege simultan cap sau coadă. Dacă ghicesc corect, jucătorul 1 primește banul jucătorului 2. Dacă nu, jucătorul 2 primește moneda jucătorului 1.

Matricea câștigătoare este simplă...

...strategia optimă: jucați complet la întâmplare. Este mai greu decât crezi, pentru că selecția trebuie să fie complet aleatorie. Dacă ai o preferință pentru capete sau cozi, adversarul o poate folosi pentru a-ți lua banii.

Desigur, adevărata problemă aici este că ar fi mult mai bine dacă s-ar arunca doar cu un ban unul în celălalt. Drept urmare, profiturile lor ar fi aceleași, iar trauma rezultată ar putea ajuta acești oameni nefericiți să simtă altceva decât o plictiseală teribilă. La urma urmei, acesta este cel mai prost joc vreodată. Și acesta este modelul perfect pentru loviturile de departajare.

Aplicație practică: penalizare

În fotbal, hochei și multe alte jocuri, prelungirile sunt lovituri de departajare. Și ar fi mai interesante dacă s-ar baza pe de câte ori jucătorii în formă completă pot face „roata”, pentru că asta ar fi cel puțin un indicator al abilităților lor fizice și ar fi distractiv de urmărit. Portarii nu pot determina clar mișcarea mingii sau pucului chiar la începutul mișcării lor, deoarece, din păcate, roboții încă nu participă la sporturile noastre. Portarul trebuie să aleagă direcția stânga sau dreapta și să spere că alegerea sa va coincide cu alegerea adversarului care lovește la poartă. Are ceva în comun cu jocul monedei.

Rețineți, totuși, că acesta nu este un exemplu perfect al asemănării cu capul și coada, deoarece chiar și cu direcția corectă, portarul poate să nu prindă mingea, iar atacantul poate rata golul.

Deci, care este concluzia noastră conform teoriei jocurilor? Jocurile cu mingea ar trebui să se încheie într-o manieră „multi-bile”, în care în fiecare minut li se dă jucătorilor o minge/puc suplimentar unul la unu, până când o parte obține un anumit rezultat care a fost un indiciu al aptitudinii reale a jucătorilor. , și nu o coincidență spectaculoasă.

La urma urmei, teoria jocurilor ar trebui folosită pentru a face jocul mai inteligent. Și asta înseamnă mai bine.

Secțiunea Teoria jocurilor este reprezentată de trei calculatoare online:

1. Soluție de joc Matrix. În astfel de probleme, este dată o matrice a plăților. Este necesar să se găsească strategii pure sau mixte ale jucătorilor și, pretul jocului. Pentru a rezolva, trebuie să specificați dimensiunea matricei și metoda de soluție.
2. Joc Bimatrix. De obicei, într-un astfel de joc, sunt stabilite două matrice de aceeași dimensiune a plăților primului și celui de-al doilea jucător. Rândurile acestor matrici corespund strategiilor primului jucător, iar coloanele matricelor corespund strategiilor celui de-al doilea jucător. În acest caz, prima matrice reprezintă plățile primului jucător, iar a doua matrice arată câștigurile celui de-al doilea.
3. Jocuri cu natura. Se utilizează atunci când este necesar să se aleagă o decizie de management după criteriile Maximax, Bayes, Laplace, Wald, Savage, Hurwitz.

În practică, se întâlnesc adesea probleme în care este necesar să se ia decizii în condiții de incertitudine, adică. apar situații în care cele două părți urmăresc scopuri diferite, iar rezultatele acțiunilor fiecărei părți depind de acțiunile inamicului (sau partenerului).

Se numește o situație în care eficacitatea unei decizii luate de o parte depinde de acțiunile celeilalte părți conflict. Conflictul este întotdeauna asociat cu un anumit tip de dezacord (aceasta nu este neapărat o contradicție antagonistă).

Conflictul este numit antagonist dacă o creștere a plății uneia dintre părți cu o anumită sumă duce la o scădere a plății celeilalte părți cu aceeași sumă și invers.

În economie, situațiile conflictuale sunt foarte frecvente și au un caracter divers. De exemplu, relația dintre furnizor și consumator, cumpărător și vânzător, bancă și client. Fiecare dintre ei are propriile interese și se străduiește să ia decizii optime care să ajute la atingerea obiectivelor stabilite în cea mai mare măsură. În același timp, fiecare trebuie să țină seama nu numai de propriile obiective, ci și de obiectivele partenerului și de a lua în considerare deciziile pe care acești parteneri le vor lua (s-ar putea să nu fie cunoscute dinainte). Pentru a lua decizii optime în situații conflictuale, a fost creată o teorie matematică a situațiilor conflictuale, care se numește teoria jocului . Apariția acestei teorii datează din 1944, când a fost publicată monografia „Teoria jocurilor și comportamentul economic” de J. von Neumann.

Un joc este un model matematic al unei situații conflictuale reale. Părțile implicate în conflict se numesc jucători. Rezultatul conflictului se numește câștig. Regulile jocului sunt un sistem de condiții care determină opțiunile pentru a acționa jucătorii; cantitatea de informații pe care fiecare jucător o are despre comportamentul partenerilor; recompensa la care duce fiecare set de acțiuni.

Jocul se numește baie de aburi, dacă doi jucători participă la el și multiplu dacă numărul de jucători este mai mare de doi. Vom lua în considerare doar jocurile în pereche. Jucătorii sunt desemnați AȘi B.

Jocul se numește antagonist (suma zero) dacă câștigul unuia dintre jucători este egal cu pierderea celuilalt.

Se apelează la alegerea și implementarea uneia dintre opțiunile de acțiune prevăzute de reguli mișcare jucător. Mișcările pot fi personale și aleatorii.
mișcare personală- aceasta este o alegere conștientă de către jucător a uneia dintre opțiunile de acțiune (de exemplu, la șah).
Mișcare aleatorie este o acțiune aleasă aleatoriu (de exemplu, aruncarea unui zar). Vom lua în considerare doar mișcările personale.

Strategia jucătorului- acesta este un set de reguli care determină comportamentul jucătorului la fiecare mișcare personală. De obicei, în timpul jocului, la fiecare etapă, jucătorul alege o mișcare în funcție de situația specifică. De asemenea, este posibil ca toate deciziile să fie luate de jucător în avans (adică, jucătorul a ales o anumită strategie).

Jocul se numește final dacă fiecare jucător are un număr finit de strategii și fără sfârşit- in caz contrar.

Scopul teoriei jocurilor– să dezvolte metode de determinare a strategiei optime pentru fiecare jucător.

Strategia jucătorului este numită optim, dacă oferă acestui jucător câștigul mediu maxim posibil (sau pierderea medie minimă posibilă indiferent de comportamentul adversarului) atunci când jocul se repetă de mai multe ori.

Exemplul 1 Fiecare dintre jucători A sau B, poate nota, independent de celălalt, numerele 1, 2 și 3. Dacă diferența dintre numerele notate de jucători este pozitivă, atunci A câștigă numărul de puncte egal cu diferența dintre numere. Dacă diferența este mai mică de 0, câștigă B. Dacă diferența este 0, este egalitate.
Jucătorul A are trei strategii (opțiuni de acțiune): A 1 = 1 (notați 1), A 2 = 2, A 3 = 3, jucătorul are și trei strategii: B 1 , B 2 , B 3 .

Acest articol discută despre aplicarea teoriei jocurilor în economie. Teoria jocurilor este o ramură a economiei matematice. Elaborează recomandări privind acțiunea rațională a participanților la proces atunci când interesele lor nu coincid. Teoria jocurilor ajută companiile să ia cea mai bună decizie într-o situație de conflict.

• Operațiunile active ale băncilor comerciale și contabilitatea acestora
• Îmbunătățirea formării unui fond de reparații capitale în blocurile de locuințe
• Reglementarea juridică a problemelor de evaluare a calității serviciilor publice (municipale) furnizate în Rusia

Teoria jocurilor și economia sunt indisolubil legate, deoarece metodele de rezolvare a problemelor din teoria jocurilor ajută la determinarea celei mai bune strategii pentru diferite situații economice. Deci, cum este caracterizat conceptul de „teoria jocurilor”?

Teoria jocurilor este o teorie matematică a luării deciziilor în condiții de conflict. Teoria jocurilor este o parte importantă a teoriei cercetării operaționale care studiază problemele de luare a deciziilor în situații de conflict.

Teoria jocurilor este o ramură a economiei matematice. Scopul teoriei jocurilor este de a elabora recomandări pentru acțiunea rațională a participanților la proces atunci când interesele lor nu coincid, adică într-o situație conflictuală. Jocul este un model al unei situații conflictuale. Actorii economiei sunt partenerii care iau parte la conflict. Rezultatul conflictului este câștig sau pierdere.

În general, conflictul are loc în diferite domenii de interes uman: în economie, sociologie, științe politice, biologie, cibernetică, afaceri militare. Cel mai adesea, teoria jocurilor și situațiile conflictuale sunt aplicate în economie. Pentru fiecare jucător, există un set specific de strategii pe care jucătorul le poate aplica. Intersectându-se, strategiile mai multor jucători creează o anumită situație în care fiecare jucător obține un anumit rezultat (câștigă sau pierde). Atunci când alegeți o strategie, este important să luați în considerare nu numai obținerea câștigului maxim pentru dvs., ci și pașii posibili ai inamicului și impactul acestora asupra situației în ansamblu.

Pentru îmbunătățirea calității, precum și a eficienței deciziilor economice luate în condițiile relațiilor de piață și incertitudine, se pot aplica în mod rezonabil metodele teoriei jocurilor.

În situații economice, jocurile pot avea informații complete sau incomplete. Cel mai adesea, economiștii se confruntă cu informații incomplete pentru a lua decizii. Prin urmare, este necesar să se ia decizii în condiții de incertitudine, precum și în condițiile unui anumit risc. La rezolvarea problemelor (situațiilor) economice, se întâlnesc de obicei jocuri cu o singură mișcare și cu mai multe mișcări. Numărul de strategii poate fi finit sau infinit.

Teoria jocurilor în economie folosește în principal jocuri matrice sau dreptunghiulare, pentru care este compilată o matrice a plăților (Tabelul 1).

Tabelul 1. Matricea de profituri a jocului

Acest concept ar trebui definit. Matricea de plăți a jocului este o matrice care arată plata unui jucător către altul, cu condiția ca primul jucător să aleagă strategia Ai, al doilea - Bi.

Care este scopul rezolvării problemelor economice cu ajutorul teoriei jocurilor? A rezolva o problemă economică înseamnă a găsi strategia optimă pentru primul și al doilea jucător și a găsi prețul jocului.

Să rezolvăm problema economică, întocmită de mine.

În orașul G, există două companii concurente (Sladkiy Mir și Sladkoezhka) care sunt angajate în producția de ciocolată. Ambele companii pot produce ciocolată cu lapte și ciocolată neagră. Să desemnăm strategia companiei „Sweet world” ca Аi, compania „Sweet tooth” - Вi. Calculăm eficiența pentru toate combinațiile posibile ale strategiilor companiilor „Sweet world” și „Sweet tooth” și construim o matrice de plată (Tabelul 2).

Tabelul 2. Matricea de profituri a jocului

Această matrice de plăți nu are un punct de șa, deci se rezolvă în strategii mixte.

U1 \u003d (a22-a21) / (a11 + a22-a21-a12) \u003d (6-3) / (5 + 6-3-4) \u003d 0,75.

U2 \u003d (a11-a12) / (a11 + a22-a21-a12) \u003d (5-4) / (5 + 6-3-4) \u003d 0,25.

Z1 \u003d (a22-a12) / (a11 + a22-a21-a12) \u003d (6-4) / (5 + 6-3-4) \u003d 0,4.

Z2 \u003d (a11-a21) / (a11 + a22-a21-a12) \u003d (5-3) / (5 + 6-3-4) \u003d 0,6.

Prețul jocului = (a11*a22-a12*a21) / (a11+a22-a21-a12) = (5*6-4*3) / (5+6-3-4) = 4,5.

Putem spune că compania „Sladkiy Mir” ar trebui să distribuie producția de ciocolată astfel: 75% din producția totală ar trebui să fie acordată producției de ciocolată cu lapte, iar 25% producției de ciocolată neagră. Compania Sladkoezhka ar trebui să producă 40% ciocolată cu lapte și 60% ciocolată amară.

Teoria jocurilor se ocupă de luarea deciziilor în situații conflictuale de către doi sau mai mulți adversari rezonabili, fiecare dintre care urmărește să-și optimizeze deciziile în detrimentul celorlalți.

Astfel, în acest articol a fost luată în considerare aplicarea teoriei jocurilor în economie. În economie, sunt adesea momente în care este necesar să se ia o decizie optimă și există mai multe opțiuni pentru a lua decizii. Teoria jocurilor ajută la luarea deciziilor într-o situație conflictuală. Teoria jocurilor în economie poate ajuta la determinarea producției optime pentru întreprindere, plata optimă a primelor de asigurare etc.

Bibliografie

1. Belolipetsky, A. A. Metode economice și matematice [Text]: manual pentru studenți. Superior Proc. Instituţii / A. A. Belolipetsky, V. A. Gorelik. - M.: Centrul de Editură „Academia”, 2010. - 368 p.
2. Luginin, O. E. Metode și modele economico-matematice: teorie și practică cu rezolvarea problemelor [Text]: ghid de studiu / O. E. Luginin, V. N. Fomishina. - Rostov n/D: Phoenix, 2009. - 440 p.
3. Nevezhin, V.P. Teoria jocurilor. Exemple și sarcini [Text]: manual / V. P. Nevezhin. – M.: FORUM, 2012. – 128 p.
4. Sliva, I. I. Aplicarea metodei teoriei jocurilor pentru rezolvarea problemelor economice [Text] / I. I. Sliva // Proceedings of the Moscow State Technical University MAMI. - 2013. - Nr. 1. - S. 154-162.

Teoria jocului - un set de metode matematice de rezolvare a situaţiilor conflictuale (coliziuni de interese). În teoria jocurilor, un joc este modelul matematic al unei situații conflictuale. Un subiect de interes deosebit în teoria jocurilor este studiul strategiilor de luare a deciziilor ale participanților la joc în condiții de incertitudine. Incertitudinea se datorează faptului că două sau mai multe părți urmăresc scopuri opuse, iar rezultatele oricărei acțiuni a fiecăreia dintre părți depind de mișcările partenerului. În același timp, fiecare dintre părți se străduiește să ia decizii optime care să realizeze obiectivele stabilite în cea mai mare măsură.

Teoria jocurilor este aplicată cel mai consistent în economie, unde apar situații conflictuale, de exemplu, în relațiile dintre un furnizor și un consumator, un cumpărător și un vânzător, o bancă și un client. Aplicarea teoriei jocurilor poate fi găsită și în politică, sociologie, biologie și artă militară.

Din istoria teoriei jocurilor

Istoria teoriei jocurilor ca disciplină independentă începe în 1944, când John von Neumann și Oscar Morgenstern au publicat cartea „Theory of Games and Economic Behavior” („Theory of Games and Economic Behavior”). Deși s-au mai întâlnit exemple de teorie a jocurilor: tratatul din Talmudul babilonian despre împărțirea bunurilor unui soț decedat între soțiile sale, jocurile de cărți în secolul al XVIII-lea, dezvoltarea teoriei șahului la începutul secolului al XX-lea, dovada a teoremei minimax a aceluiași John von Neumann în anul 1928, fără de care nu ar exista teoria jocurilor.

În anii 1950, Melvin Drescher și Meryl Flood din Rand Corporation Primul care a aplicat experimental dilema prizonierului, John Nash, în lucrarea sa despre starea de echilibru în jocurile cu două persoane, a dezvoltat conceptul de echilibru Nash.

Reinhard Salten a publicat în 1965 cartea „Oligopoly processing in game theory on demand” („Spieltheoretische Behandlung eines Oligomodells mit Nachfrageträgheit”), cu care aplicarea teoriei jocurilor în economie a primit o nouă forță motrice. Un pas înainte în evoluția teoriei jocurilor este asociat cu lucrarea lui John Maynard Smith „Evolutionary Stable Strategy” („Evolutionary Stable Strategy”, 1974). Dilema prizonierului a fost popularizată în cartea lui Robert Axelrod, Evoluția cooperării, publicată în 1984. În 1994, John Nash, John Harsanyi și Reinhard Salten au primit Premiul Nobel pentru Teoria Jocurilor.

Teoria jocurilor în viață și în afaceri

Să ne oprim mai detaliat asupra esenței unei situații conflictuale (conflict de interese) în sensul în care aceasta este înțeleasă în teoria jocurilor pentru modelarea ulterioară a diferitelor situații din viață și afaceri. Lăsați individul să fie într-o poziție care duce la unul dintre mai multe rezultate posibile, iar individul are unele preferințe personale în legătură cu aceste rezultate. Dar, deși poate controla într-o oarecare măsură factorii variabili care determină rezultatul, el nu deține control complet asupra acestora. Uneori, controlul este în mâinile mai multor indivizi care, ca și el, au o oarecare preferință pentru posibilele rezultate, dar, în general, interesele acestor indivizi nu sunt de acord. În alte cazuri, rezultatul final poate depinde atât de accidente (uneori numite dezastre naturale în științe juridice), cât și de alți indivizi. Teoria jocurilor sistematizează observarea unor astfel de situații și formularea de principii generale care să ghideze acțiunea rezonabilă în astfel de situații.

În unele privințe, denumirea de „teoria jocurilor” este regretabilă, deoarece sugerează că teoria jocurilor se ocupă doar de coliziunile nesemnificative din punct de vedere social care apar în jocurile de societate, dar totuși această teorie are un sens mult mai larg.

Următoarea situație economică poate da o idee despre aplicarea teoriei jocurilor. Să presupunem că există mai mulți antreprenori, fiecare dintre aceștia cautând să maximizeze profiturile, având în același timp o putere limitată asupra variabilelor care determină acest profit. Antreprenorul nu are control asupra variabilelor care sunt controlate de un alt antreprenor, dar care pot afecta foarte mult veniturile primului. Interpretarea acestei situații ca un joc poate da naștere la următoarea obiecție. Modelul de joc presupune că fiecare antreprenor face o alegere din zona opțiunilor posibile, iar profiturile sunt determinate de aceste alegeri unice. Este evident că acest lucru este aproape imposibil în realitate, deoarece în acest caz nu ar fi necesare aparate administrative complexe în industrie. Există pur și simplu o serie de decizii și modificări ale acestor decizii care depind de alegerile făcute de alți participanți la sistemul economic (jucători). Dar, în principiu, se poate imagina că orice administrator anticipează toate eventualele neprevăzute și descrie în detaliu acțiunea care trebuie întreprinsă în fiecare caz, în loc să rezolve fiecare sarcină pe măsură ce apare.

Un conflict militar, prin definiție, este o ciocnire de interese în care niciuna dintre părți nu are control deplin asupra variabilelor care determină rezultatul, care este decis printr-o serie de bătălii. Puteți considera pur și simplu rezultatul ca o victorie sau o pierdere și să le atribuiți valori numerice 1 și 0.

Una dintre cele mai simple situații conflictuale care pot fi notate și rezolvate în teoria jocurilor este un duel, care este un conflict între doi jucători 1 și 2, având respectiv pȘi q lovituri. Pentru fiecare jucător, există o funcție care indică probabilitatea ca jucătorul să lovească i la momentul t va da o lovitură care se va dovedi fatală.

Ca urmare, teoria jocurilor ajunge la următoarea formulare a unei anumite clase de conflicte de interese: există n jucători, iar fiecare jucător trebuie să aleagă o posibilitate dintr-un anumit set de 100, iar atunci când face o alegere, jucătorul nu are nicio informație despre alegerile altor jucători. Zona de posibile alegeri a jucătorului poate conține elemente precum „deplasarea asului de pică”, „producerea de tancuri în loc de mașini” sau, în sens general, o strategie care definește toate acțiunile care trebuie întreprinse în toate circumstanțele posibile. Fiecare jucător se confruntă cu sarcina: ce alegere ar trebui să facă pentru ca influența sa privată asupra rezultatului să-i aducă cel mai mare câștig posibil?

Model matematic în teoria jocurilor și formalizarea problemelor

După cum am observat deja, jocul este un model matematic al unei situații conflictuale și necesită următoarele componente:

1. părțile interesate;
2. acțiuni posibile de fiecare parte;
3. interesele părților.

Părțile interesate de joc se numesc jucători. , fiecare dintre ei poate întreprinde cel puțin două acțiuni (dacă jucătorul are o singură acțiune, atunci nu participă efectiv la joc, deoarece se știe dinainte ce va întreprinde). Rezultatul jocului se numește victorie. .

O situație conflictuală reală nu este întotdeauna, dar jocul (în conceptul de teoria jocurilor) - întotdeauna - continuă anumite reguli , care definesc exact:

1. opțiuni pentru jucători;
2. cantitatea de informații pe care fiecare jucător o are despre comportamentul partenerului;
3. recompensa la care duce fiecare set de acțiuni.

Exemple de jocuri oficializate sunt fotbalul, jocul de cărți, șahul.

Dar în economie, un model de comportament al jucătorului apare, de exemplu, atunci când mai multe firme caută să ocupe un loc mai avantajos pe piață, mai mulți indivizi încearcă să împartă unele lucruri bune (resurse, finanțe) între ei, astfel încât toată lumea să obțină cât mai mult posibil. . Jucătorii aflați în situații conflictuale din economie care pot fi modelați ca un joc sunt firmele, băncile, persoanele fizice și alți agenți economici. La rândul său, în condiții de război, modelul de joc este folosit, de exemplu, în alegerea celei mai bune arme (dintre existente sau potențial posibile) pentru a învinge inamicul sau a se apăra împotriva atacurilor.

Jocul este caracterizat de incertitudinea rezultatului . Cauzele incertitudinii pot fi împărțite în următoarele grupuri:

1. combinatorie (ca la șah);
2. influența factorilor aleatori (ca în jocul „capete sau cozi”, zaruri, jocuri de cărți);
3. strategic (jucătorul nu știe ce acțiune va întreprinde adversarul).

Strategia jucătorului este un set de reguli care îi determină acțiunile la fiecare mișcare, în funcție de situație.

Scopul teoriei jocurilor este de a determina strategia optimă pentru fiecare jucător. A determina o astfel de strategie înseamnă a rezolva jocul. Optimitatea strategiei se realizează atunci când unul dintre jucători trebuie să obțină profitul maxim, în timp ce al doilea aderă la strategia sa. Iar al doilea jucător ar trebui să aibă o pierdere minimă dacă primul se ține de strategia lui.

Clasificarea jocurilor

1. Clasificare după numărul de jucători (joc de două sau mai multe persoane). Jocurile pentru două persoane sunt esențiale pentru toată teoria jocurilor. Conceptul de bază al teoriei jocurilor pentru jocurile pentru două persoane este o generalizare a ideii esențiale de echilibru, care apare în mod natural în jocurile pentru două persoane. Cât despre jocuri n persoane, atunci o parte a teoriei jocurilor este dedicată jocurilor în care cooperarea între jucători este interzisă. Într-o altă parte a teoriei jocurilor n persoane se presupune că jucătorii pot coopera în beneficiul reciproc (a se vedea mai târziu în acest paragraf despre jocurile non-cooperative și cooperative).
2. Clasificarea după numărul de jucători și strategiile acestora (numarul de strategii este de cel putin doua, poate fi infinit).
3. Clasificarea după cantitatea de informații privind mișcările trecute: jocuri cu informații complete și informații incomplete. Să fie jucătorul 1 - cumpărătorul și jucătorul 2 - vânzătorul. Dacă jucătorul 1 nu are informații complete despre acțiunile jucătorului 2, atunci jucătorul 1 poate să nu facă distincția între două alternative între care trebuie să aleagă. De exemplu, alegerea între două tipuri de un anumit produs și neștiind că, după unele caracteristici, produsul A mai rău decât bunurile B, este posibil ca jucătorul 1 să nu vadă diferența dintre alternative.
4. Clasificare după principiile împărțirii câștigurilor : cooperativă, coaliție pe de o parte și necooperativ, necooperativ pe de altă parte. ÎN joc non-cooperativ , sau altfel - joc non-cooperativ , jucătorii aleg strategii simultan fără să știe ce strategie va alege al doilea jucător. Comunicarea între jucători nu este posibilă. ÎN joc cooperativ , sau altfel - joc de coaliție , jucătorii pot forma coaliții și pot lua măsuri colective pentru a-și crește câștigurile.
5. Joc finit cu sumă zero pentru două persoane sau jocul antagonist este un joc de strategie cu informații complete, la care participă părți cu interese opuse. Jocurile antagoniste sunt jocuri de matrice .

Un exemplu clasic din teoria jocurilor este dilema prizonierului.

Cei doi suspecți sunt luați în arest și izolați unul de celălalt. Procurorul este convins că aceștia au săvârșit o infracțiune gravă, dar nu are suficiente probe pentru a-i pune sub acuzare la proces. El le spune fiecăruia dintre prizonieri că are două alternative: să mărturisească infracțiunea pe care poliția crede că a comis-o sau să nu mărturisească. Dacă amândoi nu mărturisesc, atunci procurorul districtual îi va acuza de o infracțiune minoră, cum ar fi furtul mic sau deținerea ilegală a unei arme, și amândoi vor primi o sentință mică. Dacă amândoi mărturisesc, vor fi supuși urmăririi penale, dar nu va necesita cea mai severă pedeapsă. Dacă unul mărturisește și celălalt nu, atunci cel mărturisit va avea o pedeapsă comutată pentru extrădarea unui complice, în timp ce cel încăpățânat va primi „la maxim”.

Dacă această sarcină strategică este formulată în termeni de concluzie, atunci se rezumă la următoarele:

Astfel, dacă ambii prizonieri nu se spovedesc, vor primi câte 1 an fiecare. Dacă ambii mărturisesc, atunci fiecare va primi 8 ani. Iar dacă unul mărturisește, celălalt nu, atunci cel care mărturisește va scăpa cu trei luni de închisoare, iar cel care nu se spovedește va primi 10 ani. Matricea de mai sus reflectă corect dilema prizonierului: toată lumea se confruntă cu întrebarea de a mărturisi sau a nu mărturisi. Jocul pe care procurorul îl oferă prizonierilor este joc non-cooperativ sau altfel - joc non-coaliție . Dacă ambii prizonieri ar fi putut coopera (de ex. jocul ar fi cooperant sau altfel joc de coaliție ), atunci amândoi nu s-au spovedit și au primit câte un an de închisoare fiecare.

Exemple de utilizare a mijloacelor matematice ale teoriei jocurilor

Ne întoarcem acum la luarea în considerare a soluțiilor la exemple de clase comune de jocuri pentru care există metode de investigare și soluție în teoria jocurilor.

Un exemplu de formalizare a unui joc non-cooperativ (non-cooperant) de două persoane

În paragraful anterior, am considerat deja un exemplu de joc necooperativ (necooperant) (dilema prizonierului). Să ne consolidăm abilitățile. Un complot clasic inspirat de Aventurile lui Sherlock Holmes a lui Arthur Conan Doyle este de asemenea potrivit pentru asta. Se poate, desigur, obiecta: exemplul nu este din viață, ci din literatură, dar Conan Doyle nu s-a impus ca scriitor de science-fiction! Clasic și pentru că sarcina a fost finalizată de Oscar Morgenstern, așa cum am stabilit deja - unul dintre fondatorii teoriei jocurilor.

Exemplul 1 Va fi oferit un fragment prescurtat din una dintre Aventurile lui Sherlock Holmes. Conform conceptelor binecunoscute ale teoriei jocurilor, creați un model al unei situații de conflict și scrieți în mod formal jocul.

Sherlock Holmes intenționează să plece de la Londra la Dover cu scopul suplimentar de a ajunge pe continent (european) pentru a scăpa de profesorul Moriarty, care îl urmărește. Urcându-se în tren, l-a văzut pe profesorul Moriarty pe peronul gării. Sherlock Holmes recunoaște că Moriarty poate alege un tren special și îl poate depăși. Sherlock Holmes are două alternative: să continue spre Dover sau să coboare la stația Canterbury, care este singura stație intermediară de pe traseul său. Presupunem că adversarul său este suficient de inteligent pentru a determina opțiunile lui Holmes, așa că are aceleași două alternative. Ambii adversari trebuie să aleagă o stație în care să coboare din tren, neștiind ce decizie va lua fiecare dintre ei. Dacă, în urma deciziei, ambii ajung la aceeași stație, atunci putem presupune cu siguranță că Sherlock Holmes va fi ucis de profesorul Moriarty. Dacă Sherlock Holmes ajunge în siguranță la Dover, el va fi salvat.

Soluţie. Eroii lui Conan Doyle pot fi considerați participanți la joc, adică jucători. La dispoziția fiecărui jucător i (i=1,2) două strategii pure:

• coborâți la Dover (strategie si1 ( i=1,2) );
• coborâți la o stație de drum (strategie si2 ( i=1,2) )

În funcție de care dintre cele două strategii alege fiecare dintre cei doi jucători, o combinație specială de strategii va fi creată ca pereche. s = (s1 , s 2 ) .

Fiecare combinație poate fi asociată cu un eveniment - rezultatul unei încercări de a-l ucide pe Sherlock Holmes de către profesorul Moriarty. Facem o matrice a acestui joc cu posibile evenimente.

Sub fiecare dintre evenimente este indicat un indice, ceea ce înseamnă dobândirea profesorului Moriarty, și se calculează în funcție de mântuirea lui Holmes. Ambii eroi aleg o strategie în același timp, neștiind ce va alege adversarul. Astfel, jocul este necooperant, pentru că, în primul rând, jucătorii sunt în trenuri diferite, iar în al doilea rând, au interese opuse.

Un exemplu de formalizare și soluție a unui joc de cooperare (coaliție). n persoane

În acest moment, partea practică, adică cursul rezolvării unei probleme exemplu, va fi precedată de o parte teoretică, în care ne vom familiariza cu conceptele de teoria jocurilor pentru rezolvarea jocurilor cooperative (necooperative). Pentru această sarcină, teoria jocurilor sugerează:

• funcția caracteristică (pentru a spune simplu, reflectă valoarea beneficiilor unirii jucătorilor într-o coaliție);
• conceptul de aditivitate (proprietatea cantităților, constând în faptul că valoarea cantității corespunzătoare întregului obiect este egală cu suma valorilor cantităților corespunzătoare părților sale, într-o anumită clasă de împărțire a obiectului în părți) și supraaditivitatea (valoarea cantității corespunzătoare întregului obiect este mai mare decât suma valorilor cantităților, corespunzătoare părților sale) a funcției caracteristice.

Supraadditivitatea funcției caracteristice indică faptul că coalițiile sunt benefice pentru jucători, deoarece în acest caz câștigul coaliției crește odată cu numărul de jucători.

Pentru a oficializa jocul, trebuie să introducem notația formală pentru conceptele de mai sus.

Pentru Joc n notează setul tuturor jucătorilor săi ca N= (1,2,...,n) Orice submulțime nevidă a mulțimii N notat ca T(inclusiv pe sine Nși toate submulțimile formate dintr-un element). Există o activitate pe site Seturi și operații pe platouri, care se deschide într-o fereastră nouă când dați clic pe link.

Funcția caracteristică se notează ca v iar domeniul său de definire constă din posibile submulţimi ale mulţimii N. v(T) - valoarea funcției caracteristice pentru un anumit subset, de exemplu, venitul primit de o coaliție, inclusiv, eventual, formată dintr-un jucător. Acest lucru este important deoarece teoria jocurilor necesită verificarea prezenței superaditității pentru valorile funcției caracteristice tuturor coalițiilor care nu se suprapun.

Pentru două coaliții nevide de subseturi T1 Și T2 aditivitatea funcției caracteristice a unui joc cooperativ (coalițional) se scrie după cum urmează:

Și superaditivitatea este așa:

Exemplul 2 Trei elevi ai unei școli de muzică câștigă bani în plus în cluburi diferite, își primesc veniturile de la vizitatorii clubului. Determinați dacă este profitabil pentru ei să își unească forțele (dacă da, în ce condiții), folosind conceptele de teoria jocurilor pentru a rezolva jocurile cooperative n persoane, cu următoarele date inițiale.

În medie, veniturile lor pe seară au fost:

• violonistul are 600 de unitati;
• chitaristul are 700 de unități;
• cantareata are 900 de unitati.

În încercarea de a crește veniturile, studenții au creat diverse grupuri timp de câteva luni. Rezultatele au arătat că, prin echipă, își pot crește veniturile de seară, după cum urmează:

• violonist + chitarist a câștigat 1500 de unități;
• violonist + cântăreț a câștigat 1800 de unități;
• chitarist + cântăreț a câștigat 1900 de unități;
• violonist + chitarist + cântăreț a câștigat 3000 de unități.

Soluţie. În acest exemplu, numărul de participanți la joc n= 3 , prin urmare, domeniul funcției caracteristice a jocului este format din 2³ = 8 subseturi posibile ale setului tuturor jucătorilor. Să enumerăm toate coalițiile posibile T:

• coaliții de un element, fiecare dintre ele constând dintr-un jucător - un muzician: T{1} , T{2} , T{3} ;
• coaliții de două elemente: T{1,2} , T{1,3} , T{2,3} ;
• coaliție de trei elemente: T{1,2,3} .

Atribuim un număr de serie fiecărui jucător:

• violonist - primul jucător;
• chitarist - al 2-lea jucător;
• cantareata este al 3-lea jucator.

În funcție de datele problemei, determinăm funcția caracteristică a jocului v:

v(T(1)) = 600; v(T(2)) = 700; v(T(3)) = 900; aceste valori ale funcției caracteristice sunt determinate pe baza câștigurilor primului, celui de-al doilea și, respectiv, al treilea jucător, atunci când aceștia nu sunt uniți în coaliții;

v(T(1,2)) = 1500; v(T(1,3)) = 1800; v(T(2,3)) = 1900; aceste valori ale funcției caracteristice sunt determinate de veniturile fiecărei perechi de jucători uniți în coaliții;

v(T(1,2,3)) = 3000; această valoare a funcţiei caracteristice este determinată de venitul mediu în cazul în care jucătorii au fost uniţi în triplete.

Astfel, am enumerat toate coalițiile posibile de jucători, sunt opt ​​dintre ele, așa cum ar trebui să fie, deoarece domeniul de definire a funcției caracteristice a jocului este format din exact opt ​​subseturi posibile ale setului tuturor jucătorilor. Ceea ce cere teoria jocurilor, deoarece trebuie să verificăm prezența superaditivității pentru valorile funcției caracteristice tuturor coalițiilor care nu se suprapun.

Cum sunt îndeplinite condițiile de supraaditivitate în acest exemplu? Să definim modul în care jucătorii formează coaliții care nu se suprapun T1 Și T2 . Dacă unii dintre jucători sunt într-o coaliție T1 , atunci toți ceilalți jucători sunt în coaliție T2 iar prin definiție această coaliție se formează ca diferență între setul total de jucători și setul T1 . Atunci dacă T1 - o coaliție de un jucător, apoi într-o coaliție T2 vor fi al doilea și al treilea jucător, dacă fac parte din coaliție T1 vor fi primul și al treilea jucător, apoi coaliția T2 va consta doar din al doilea jucător și așa mai departe.