Numerele naturale - elemente de bază. Studierea unui subiect exact: numerele naturale - ce sunt numerele, exemplele și proprietățile

Numerele sunt un concept abstract. Ele sunt o caracteristică cantitativă a obiectelor și pot fi reale, raționale, negative, întregi și fracționale, precum și naturale.

Seria naturală este de obicei folosită la numărare, în care apar în mod natural notațiile de cantitate. Cunoașterea numărării începe încă din copilărie. Ce copil a evitat rime amuzante care foloseau elemente de numărare naturală? — Unu, doi, trei, patru, cinci... Iepurașul a ieșit la plimbare! sau „1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, regele a decis să mă spânzureze...”

Pentru orice număr natural, puteți găsi altul mai mare decât acesta. Această mulțime este de obicei notă cu litera N și ar trebui considerată infinită în direcția creșterii. Dar acest set are un început - este unul. Deși există numere naturale franceze, a căror mulțime include și zero. Dar principalele trăsături distinctive ale ambelor mulțimi este faptul că nu includ nici numere fracționale, nici numere negative.

Nevoia de a număra o varietate de obiecte a apărut în timpurile preistorice. Apoi se presupune că s-a format conceptul de „numere naturale”. Formarea sa a avut loc pe parcursul întregului proces de schimbare a viziunii unei persoane asupra lumii și de dezvoltare a științei și tehnologiei.

Cu toate acestea, ei încă nu puteau gândi abstract. Le-a fost greu să înțeleagă care este comunitatea conceptelor „trei vânători” sau „trei copaci”. Prin urmare, la indicarea numărului de persoane s-a folosit o definiție, iar la indicarea aceluiași număr de obiecte de alt fel, s-a folosit o definiție complet diferită.

Și a fost extrem de scurt. Conținea doar numerele 1 și 2, iar numărătoarea s-a încheiat cu conceptele de „mulți”, „turmă”, „mulțime”, „grămadă”.

Ulterior, s-a format un cont mai progresiv și mai larg. Un fapt interesant este că erau doar două numere - 1 și 2, iar următoarele numere au fost obținute prin adunare.

Un exemplu în acest sens au fost informațiile care au ajuns la noi despre seria numerică a tribului australian. Aveau 1 pentru cuvântul „Enza”, și 2 pentru cuvântul „petcheval”. Prin urmare, numărul 3 suna ca „petcheval-Enza”, iar 4 suna ca „petcheval-petcheval”.

Majoritatea popoarelor au recunoscut degetele ca standard de numărare. Dezvoltarea ulterioară a conceptului abstract de „numere naturale” a urmat calea utilizării crestăturilor pe un băț. Și apoi a devenit necesar să desemnăm o duzină cu un alt semn. Oamenii antici ne-au găsit calea de ieșire - au început să folosească un alt băț, pe care au fost făcute crestături pentru a indica zeci.

Capacitatea de a reproduce numere s-a extins enorm odată cu apariția scrisului. La început, numerele au fost înfățișate ca linii pe tăblițe de lut sau papirus, dar treptat au început să fie folosite și alte icoane de scriere. Așa au apărut cifrele romane.

Mult mai târziu, au apărut ele care au deschis posibilitatea de a scrie numere cu un set relativ mic de caractere. Astăzi nu este dificil să notezi numere atât de mari precum distanța dintre planete și numărul de stele. Trebuie doar să înveți să folosești grade.

Euclid în secolul al III-lea î.Hr. în cartea „Elemente” stabilește infinitatea mulțimii numerice, iar Arhimede în „Psamita” dezvăluie principiile pentru construirea numelor de numere arbitrar mari. Aproape până la mijlocul secolului al XIX-lea, oamenii nu s-au confruntat cu necesitatea unei formulări clare a conceptului de „numere naturale”. Definiția a fost cerută odată cu apariția metodei matematice axiomatice.

Și în anii 70 ai secolului al XIX-lea a formulat o definiție clară a numerelor naturale, bazată pe conceptul de mulțime. Și astăzi știm deja că numerele naturale sunt toate numere întregi, începând de la 1 la infinit. Copiii mici, făcând primul pas în a se familiariza cu regina tuturor științelor - matematica - încep să studieze chiar aceste numere.

În matematică, există mai multe seturi diferite de numere: reale, complexe, întregi, raționale, iraționale, ... Viata de zi cu zi Cel mai adesea folosim numere naturale, deoarece le întâlnim la numărare și la căutare, desemnând numărul de obiecte.

In contact cu

Ce numere se numesc numere naturale?

Din zece cifre puteți scrie absolut orice sumă existentă de clase și ranguri. Valorile naturale sunt considerate a fi acelea care sunt folosite:

• Când numărați orice obiecte (primul, al doilea, al treilea, ... al cincilea, ... al zecelea).
• La indicarea numărului de articole (unu, doi, trei...)

N valorile sunt întotdeauna întregi și pozitive. Nu există cel mai mare N deoarece setul de valori întregi este nelimitat.

Atenţie! Numerele naturale se obțin la numărarea obiectelor sau la indicarea cantității acestora.

Absolut orice număr poate fi descompus și prezentat sub formă de termeni de cifre, de exemplu: 8.346.809=8 milioane+346 mii+809 unități.

Set N

Mulțimea N este în mulțime reale, întregi și pozitive. Pe diagrama mulțimilor, acestea ar fi situate unele în altele, deoarece mulțimea celor naturale face parte din ele.

Mulțimea numerelor naturale se notează cu litera N. Această mulțime are un început, dar fără sfârșit.

Există, de asemenea, o mulțime extinsă N, unde este inclus zero.

Cel mai mic număr natural

În majoritatea școlilor de matematică, cea mai mică valoare a lui N este considerată o unitate, deoarece absența obiectelor este considerată gol.

Dar în școlile de matematică străine, de exemplu în franceză, este considerat natural. Prezența lui zero în serie face demonstrația mai ușoară unele teoreme.

O serie de valori N care include zero se numește extinsă și se notează prin simbolul N0 (indice zero).

Serii de numere naturale

Seria N este o succesiune a tuturor N seturi de cifre. Această secvență nu are sfârșit.

Particularitatea seriei naturale este că următorul număr va diferi cu unul de cel precedent, adică va crește. Dar semnificațiile nu poate fi negativ.

Atenţie! Pentru ușurința numărării, există clase și categorii:

• Unități (1, 2, 3),
• Zeci (10, 20, 30),
• Sute (100, 200, 300),
• Mii (1000, 2000, 3000),
• Zeci de mii (30.000),
• Sute de mii (800.000),
• Milioane (4000000), etc.

Toate N

Toți N sunt în mulțimea valorilor reale, întregi, nenegative. Sunt ai lor parte integrantă.

Aceste valori merg la infinit, pot aparține claselor de milioane, miliarde, chintilioane etc.

De exemplu:

• Cinci mere, trei pisoi,
• Zece ruble, treizeci de creioane,
• O sută de kilograme, trei sute de cărți,
• Un milion de stele, trei milioane de oameni etc.

Secvența în N

În diferite școli de matematică puteți găsi două intervale cărora le aparține șirul N:

de la zero la plus infinit, inclusiv capete, și de la unu la plus infinit, inclusiv capete, adică totul răspunsuri întregi pozitive.

N seturi de cifre pot fi fie pare, fie impare. Să luăm în considerare conceptul de ciudățenie.

Impar (orice număr impar se termină cu numerele 1, 3, 5, 7, 9.) cu doi au un rest. De exemplu, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Ce înseamnă chiar și N?

Orice sume pare ale claselor se termină în numere: 0, 2, 4, 6, 8. Când chiar N este împărțit la 2, nu va mai rămâne niciun rest, adică rezultatul este întregul răspuns. De exemplu, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Important! O serie de numere de N nu poate consta doar din valori pare sau impare, deoarece acestea trebuie să alterneze: par este întotdeauna urmat de impar, urmat din nou de par etc.

Proprietăți N

Ca toate celelalte mulțimi, N are propriile sale proprietăți speciale. Să luăm în considerare proprietățile seriei N (neextinsă).

• Valoarea care este cea mai mică și care nu urmează nici unei alte este una.
• N reprezintă o succesiune, adică o valoare naturală urmează altul(cu excepția unuia - este primul).
• Când efectuăm operații de calcul pe N sume de cifre și clase (adunare, înmulțire), atunci răspunsul se dovedește întotdeauna natural sens.
• Permutarea și combinația pot fi utilizate în calcule.
• Fiecare valoare ulterioară nu poate fi mai mică decât cea anterioară. Tot în seria N se va aplica următoarea lege: dacă numărul A este mai mic decât B, atunci în seria numerică va exista întotdeauna un C pentru care egalitatea este valabilă: A+C=B.
• Dacă luăm două expresii naturale, de exemplu A și B, atunci una dintre expresii va fi adevărată pentru ele: A = B, A este mai mare decât B, A este mai mică decât B.
• Dacă A este mai mic decât B și B este mai mic decât C, atunci rezultă că că A este mai mic decât C.
• Dacă A este mai mic decât B, atunci rezultă că: dacă le adăugăm aceeași expresie (C), atunci A + C este mai mic decât B + C. De asemenea, este adevărat că dacă aceste valori sunt înmulțite cu C, atunci AC este mai mic decât AB.
• Dacă B este mai mare decât A, dar mai mic decât C, atunci este adevărat: B-A este mai mic decât C-A.

Atenţie! Toate inegalitățile de mai sus sunt valabile și în sens invers.

Cum se numesc componentele înmulțirii?

În multe probleme simple și chiar complexe, găsirea răspunsului depinde de abilitățile elevilor

numere întregi

Numerele naturale sunt acele numere care sunt folosite pentru a număra diverse obiecte sau pentru a indica numărul de serie al unui obiect dintre cele similare sau omogene.

Puteți scrie numere naturale folosind primele zece cifre:

Pentru a scrie numere naturale simple, se obișnuiește să se folosească sistemul numeric zecimal pozițional, unde valoarea oricărei cifre este determinată de locul acesteia în înregistrare.

Numerele naturale sunt cele mai simple numere pe care le folosim adesea în viața de zi cu zi. Cu ajutorul acestor numere efectuăm calcule, numărăm obiecte, stabilim cantitatea, ordinea și numărul acestora.

Începem să facem cunoștință cu numerele naturale încă din copilărie, astfel încât să fie familiare și naturale pentru fiecare dintre noi.

Înțelegerea generală a numerelor naturale

Numerele naturale sunt destinate să transporte informații despre numărul de obiecte, numărul lor de serie și setul de obiecte.

O persoană folosește numerele naturale, deoarece acestea îi sunt disponibile atât la nivel de percepție, cât și la nivel de reproducere. Când rostim orice număr natural, îl prindem cu ușurință după ureche, iar când descriem un număr natural, îl vedem.

Toate numerele naturale sunt aranjate în ordine crescătoare și formează o serie de numere începând cu cel mai mic număr natural, care este unul.

Dacă ne-am hotărât asupra celui mai mic număr natural, atunci cel mai mare va fi mai dificil, deoarece un astfel de număr nu există deoarece seria numerelor naturale este infinită.

Când adăugăm unul la un număr natural, ajungem la numărul care vine după numărul dat.

Un număr precum 0 nu este un număr natural, ci servește doar pentru a desemna numărul „zero” și înseamnă „nici unul singur”. 0 înseamnă că nu există unități din această serie în notație zecimală.

Toate numerele naturale sunt notate cu litera latină mare N.

Context istoric asupra notării numerelor naturale

În antichitate, oamenii nu știau încă ce este un număr sau cum să numere numărul de obiecte. Dar chiar și atunci a apărut nevoia de a număra, iar omul a venit cu o modalitate de a număra peștii prinși, fructele de pădure culese etc.

Puțin mai târziu, omul antic a ajuns la concluzia că este mai ușor să noteze cantitatea de care avea nevoie. În aceste scopuri, oamenii primitivi au început să folosească pietricele și apoi bețe, care erau stocate cu cifre romane.

Următorul moment în dezvoltarea sistemului numeric a fost utilizarea literelor alfabetului în desemnarea anumitor numere.

Primele sisteme numerice includ sistemul zecimal indian și sistemul sexagesimal babilonian.

Sistemul de numere modern, deși numit arab, este, de fapt, una dintre variantele indiene. Adevărat, în sistemul său numeric nu există un număr zero, dar arabii l-au adăugat, iar sistemul și-a dobândit forma actuală.

Sistem de numere zecimale

Ne-am familiarizat deja cu numerele naturale și am învățat să le scriem folosind zece cifre. De asemenea, știți deja că scrierea numerelor folosind semne se numește sistem numeric.

Semnificația unei cifre dintr-un număr depinde de poziția sa și se numește pozițional. Adică, atunci când scriem numere naturale, folosim sistemul numeric pozițional.

Acest sistem se bazează pe cifre și zecimale. În sistemul numeric zecimal, baza construcției sale va fi numerele de la 0 la 9.

Un loc special într-un astfel de sistem este acordat numărului 10, deoarece, practic, numărarea se face în zeci.

Tabel de clase și ranguri:

Deci, de exemplu, 10 unități sunt combinate în zeci, apoi în sute, mii și altele asemenea. Prin urmare, numărul 10 este baza sistemului numeric și se numește sistem numeric zecimal.

De unde începe învățarea matematicii? Da, așa este, din studierea numerelor naturale și a operațiilor cu ele.numere întregi (dinlat. naturalis- naturala; numere naturale) -numere care apar în mod natural la numărare (de exemplu, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...). Secvența tuturor numerelor naturale dispuse în ordine crescătoare se numește serie naturală.

Există două abordări pentru definirea numerelor naturale:

1. numărare (numerotare) articole ( primul, al doilea, al treilea, Al patrulea, a cincea"…);
2. numerele naturale sunt numere care apar atunci când desemnarea cantității articole ( 0 articole, 1 articol, 2 articole, 3 articole, 4 articole, 5 articole ).

În primul caz, seria numerelor naturale începe cu unu, în al doilea - cu zero. Nu există un consens în rândul majorității matematicienilor dacă prima sau a doua abordare este de preferat (adică dacă zero ar trebui considerat un număr natural sau nu). Majoritatea covârșitoare a surselor rusești adoptă în mod tradițional prima abordare. A doua abordare, de exemplu, este utilizată în lucrăriNicolas Bourbaki , unde numerele naturale sunt definite caputere multimi finite .

Negativ și întreg (raţional , real ,...) numerele nu sunt considerate numere naturale.

Mulțimea tuturor numerelor naturale de obicei notat cu simbolul N (dinlat. naturalis- naturale). Mulțimea numerelor naturale este infinită, deoarece pentru orice număr natural n există un număr natural mai mare decât n.

Prezența lui zero facilitează formularea și demonstrarea multor teoreme în aritmetica numerelor naturale, așa că prima abordare introduce conceptul util arie naturală extinsă , inclusiv zero. Seria extinsă este desemnată N 0 sau Z 0 .

LAoperațiuni închise (operațiile care nu obțin un rezultat din mulțimea numerelor naturale) asupra numerelor naturale includ următoarele operații aritmetice:

• plus: termen + termen = suma;
• multiplicare: factor × factor = produs;
• exponentiare: A b , unde a este baza puterii, b este exponentul. Dacă a și b sunt numere naturale, atunci rezultatul va fi un număr natural.

În plus, sunt luate în considerare încă două operații (din punct de vedere formal, nu sunt operații pe numere naturale, deoarece nu sunt definite pentru toateperechi de numere (uneori există, alteori nu)):

• scădere: minuend - subtrahend = diferență. În acest caz, minuendul trebuie să fie mai mare decât subtraend (sau egal cu acesta, dacă considerăm că zero este un număr natural)
• împărțire cu rest: dividend / divizor = (cot, rest). Coeficientul p și restul r din împărțirea a la b se definesc astfel: a=p*r+b, cu 0<=r

De remarcat că operațiile de adunare și înmulțire sunt fundamentale. În special,