Rata reală a dobânzii este egală cu rata nominală. Rata nominală și reală la depozit. Calcul continuu al dobanzii

Destul de des poți vedea, la prima vedere, oferte profitabile care promit independență financiară. Acestea pot fi atât depozite bancare, cât și oportunități pentru portofolii de investiții. Dar este totul la fel de profitabil cum spune publicitatea? Vom vorbi despre acest lucru în cadrul articolului, după ce am aflat care sunt rata nominală și rata reală.

Rata dobânzii

Dar mai întâi, să vorbim despre baza elementelor de bază în această chestiune - rata dobânzii. Afișează beneficiul nominal pe care îl poate primi o anumită persoană atunci când investește în ceva. Trebuie remarcat faptul că există destul de multe oportunități de a vă pierde economiile sau rata dobânzii pe care o persoană ar trebui să o primească:

Prin urmare, este necesar să studiezi în detaliu în ce vei investi. Trebuie amintit că rata dobânzii este adesea o reflectare a riscului proiectului în studiu. Deci, cele care oferă un nivel de randament de până la 20% sunt considerate cele mai sigure. Grupul cu risc ridicat include active care promit până la 70% pe an. Și tot ceea ce este mai mult decât acești indicatori este o zonă de pericol în care nu ar trebui să te amesteci fără experiență. Acum că există o bază teoretică, putem vorbi despre care sunt rata nominală și rata reală.

Conceptul ratei nominale

Este foarte simplu să determinați valoarea nominală - este înțeleasă ca valoarea care se acordă activelor pieței și le evaluează fără inflație. Un exemplu este tu, cititorul, și o bancă care oferă un depozit de 20% pe an. De exemplu, aveți 100 de mii de ruble și doriți să le creșteți. Așa că l-au băgat în bancă timp de un an. Și la sfârșitul mandatului au luat 120 de mii de ruble. Profitul tău net este de până la 20.000.

Dar este chiar așa? La urma urmei, în această perioadă, mâncarea, îmbrăcămintea, călătoriile ar fi putut crește semnificativ prețul - și, să zicem, nu cu 20, ci cu 30 sau 50 la sută. Ce să faci în acest caz pentru a obține o imagine reală a lucrurilor? Care ar trebui să fie preferată atunci când i se oferă posibilitatea de a alege? Ce ar trebui să fie ales ca etalon pentru sine: rata nominală și rata reală, sau una dintre ele?

Rata reala

Pentru astfel de cazuri, există un indicator precum rata reală de rentabilitate. Este de remarcat faptul că poate fi calculat destul de ușor. Pentru a face acest lucru, rata inflației așteptată trebuie scăzută din rata nominală. Continuând exemplul dat mai devreme, putem spune așa: pui 100 de mii de ruble în bancă la 20% pe an. Inflația a fost de doar 10%. Ca urmare, profitul nominal net va fi de 10 mii de ruble. Și dacă le ajustați costul, atunci 9.000 în funcție de puterea de cumpărare a anului trecut.

Această opțiune vă permite să obțineți, deși nesemnificativ, dar profit. Acum putem lua în considerare o altă situație în care inflația era deja de 50 la sută. Nu trebuie să fii un geniu matematic pentru a înțelege că starea de lucruri te obligă să cauți o altă modalitate de a economisi și de a-ți crește fondurile. Dar toate acestea au fost în stilul unei descrieri simple până acum. În economie, așa-numita ecuație Fisher este folosită pentru a calcula toate acestea. Să vorbim despre el.

Ecuația lui Fisher și interpretarea ei

Despre diferența dintre rata nominală și rata reală se poate vorbi doar în cazuri de inflație sau deflație. Să vedem de ce. Pentru prima dată, ideea relației dintre ratele nominale și reale și inflație a fost prezentată de economistul Irving Fisher. Sub formă de formulă, arată astfel:

NS=RS+OTI

HC este rata nominală de rentabilitate;

GTI - rata estimată a inflației;

RS - rata reală.

Ecuația este folosită pentru a descrie matematic efectul Fisher. Sună așa: rata nominală a dobânzii se modifică întotdeauna cu valoarea la care realul rămâne neschimbat.

Poate părea complicat, dar acum vom înțelege mai în detaliu. Cert este că atunci când valoarea așteptată este de 1%, valoarea nominală crește și ea cu 1%. Prin urmare, este imposibil să se creeze un proces decizional de investiții de calitate fără a ține cont de diferența dintre rate. Anterior, citeai doar despre teză, iar acum ai dovezi matematice că tot ceea ce este descris mai sus nu este o simplă ficțiune, ci, vai, o realitate tristă.

Concluzie

Și ce se poate spune în concluzie? Ori de câte ori există o alegere, este necesar să se abordeze calitativ selecția unui proiect de investiții pentru sine. Nu contează ce este: un depozit bancar, participare la un fond mutual de investiții sau altceva. Și pentru a calcula veniturile viitoare sau eventualele pierderi, folosiți întotdeauna instrumente economice. Deci, rata nominală a dobânzii vă poate promite acum un profit destul de bun, dar atunci când evaluați toți parametrii, se va dovedi că nu totul este atât de roz. Și instrumentele economice vor ajuta la calcularea deciziei care va fi cea mai profitabilă.

Procentul este valoare absolută. De exemplu, dacă se împrumută 20.000 și debitorul trebuie să returneze 21.000, atunci procentul este 21000-20000=1000.

Rata (norma) dobânzii la împrumut - prețul pentru utilizarea banilor - este un anumit procent din suma de bani. Este determinată în punctul de echilibru al cererii și ofertei de bani.

Foarte des în practica economică, pentru comoditate, când se vorbește despre dobânda la împrumut, se referă la rata dobânzii.

Faceți distincția între ratele dobânzii nominale și cele reale. Când oamenii vorbesc despre dobânzi, se referă la dobânzi reale. Cu toate acestea, ratele reale nu pot fi observate direct. La încheierea unui contract de împrumut, primim informații despre ratele nominale ale dobânzii.

Rata nominală (i)- exprimarea cantitativă a ratei dobânzii, ținând cont de prețurile curente. Rata la care se emite creditul. Rata nominală este întotdeauna mai mare decât zero (cu excepția unui împrumut gratuit).

Rata de dobîndă nominală este un procent din bani. De exemplu, dacă pentru un împrumut anual de 10.000 de unități den., se plătesc 1200 de den. unități. ca dobândă, rata nominală a dobânzii va fi de 12% pe an. După ce a primit un venit de 1200 de unități de den. pe un împrumut, împrumutătorul va deveni mai bogat? Acest lucru va depinde de modul în care prețurile s-au schimbat în timpul anului. Dacă inflația anuală a fost de 8%, atunci venitul real al creditorului a crescut cu doar 4%.

Rata reală (r)= rata nominala - rata inflatiei. Rata reală a dobânzii bancare poate fi zero sau chiar negativă.

Rata reală a dobânzii este o creștere a bogăției reale, exprimată ca o creștere a puterii de cumpărare a unui investitor sau a unui creditor, sau a cursului de schimb la care bunurile și serviciile de astăzi, bunuri reale, sunt schimbate cu bunuri și servicii viitoare. Faptul că rata dobânzii de pe piață va fi direct afectată de procesele inflaționiste a fost sugerat mai întâi de I. Fisher, care a determinat rata nominală a dobânzii și rata așteptată a inflației.

Relația dintre rate poate fi reprezentată prin următoarea expresie:

i = r + e, unde i este rata dobânzii nominală sau de piață, r este rata reală a dobânzii,

e este rata inflației.

Doar în cazuri speciale, când nu există o creștere a prețurilor pe piața monetară (e=0), ratele dobânzii reale și nominale coincid. Ecuația arată că rata dobânzii nominale se poate modifica din cauza modificărilor ratei reale a dobânzii sau din cauza modificărilor inflației. Deoarece împrumutatul și împrumutătorul nu știu ce rata va lua inflația, ei pornesc de la rata estimată a inflației. Ecuația ia forma:

i = r + e e, Unde e e rata estimată a inflației.

Această ecuație este cunoscută sub numele de efectul Fisher. Esența sa este că rata dobânzii nominale este determinată nu de rata reală a inflației, deoarece nu este cunoscută, ci de rata așteptată a inflației. Dinamica ratei nominale a dobânzii repetă mișcarea ratei inflației așteptate. Trebuie subliniat că la stabilirea ratei dobânzii de pe piață contează rata inflației așteptată în viitor, ținând cont de scadența obligației datoriei, și nu rata reală a inflației din trecut.

Dacă are loc o inflație neprevăzută, atunci debitorii beneficiază în detrimentul creditorilor, deoarece aceștia rambursează împrumutul cu bani depreciați. În cazul deflației, împrumutătorul va beneficia pe cheltuiala împrumutatului.

Uneori poate apărea o situație când ratele reale ale dobânzii la împrumuturi au o valoare negativă. Acest lucru se poate întâmpla dacă rata inflației depășește rata de creștere a ratei nominale. Ratele negative ale dobânzilor se pot stabili în perioadele de inflație sau hiperinflație fulgerătoare, precum și în perioadele de recesiune economică, când cererea de credit scade și ratele dobânzilor nominale scad. Ratele reale pozitive ale dobânzii înseamnă o creștere a veniturilor creditorilor. Acest lucru se întâmplă dacă inflația reduce costul real al împrumutului (creditul primit).

Ratele dobânzii pot fi fixe sau flotante.

Rata fixă ​​a dobânzii se stabilește pe întreaga perioadă de utilizare a fondurilor împrumutate fără dreptul unilateral de revizuire a acestuia.

rata dobânzii variabilă- aceasta este rata la creditele pe termen mediu și lung, care constă din două părți: o bază mobilă, care se modifică în funcție de piață conjuncturăși o valoare fixă, de obicei neschimbată pe toată perioada de împrumut sau de circulație a datoriilor

Se obișnuiește să se evalueze rata dobânzii în două proiecții: valori nominale și valori reale.

Rata nominală a dobânzii reflectă poziția curentă a valorii activului. Principala sa diferență față de rata reală este independența sa față de condițiile pieței. Rata nominală în termeni monetari reflectă costul capitalului, excluzând procesele inflaționiste. Rata reală, spre deosebire de rata nominală, demonstrează valoarea costului resurselor financiare, ținând cont de valoarea inflației.

Pe baza definirii acestui concept, se poate observa ca rata nominala a dobanzii nu ia in considerare modificarile cresterilor de pret si alte riscuri financiare. Rata nominală poate fi luată în considerare de către participanții la piață doar ca valoare introductivă.

efect matematic

Dependența ratelor nominale și reale și-a primit reflectarea matematică în ecuația Fisher. Acest model matematic arată astfel:

Rata reală + Rata estimată a inflației = Rata nominală

Efectul Fisher este descris matematic după cum urmează: Rata nominală se modifică cu valoarea la care rata reală rămâne neschimbată.

Este rata viitoare a inflației care contează în formarea ratei pieței, ținând cont de scadența creanței, și nu de rata reală care a fost în trecut.

Egalitatea ratei nominale și a ratei reale este posibilă numai în absența completă a deflației sau inflației. Această stare de fapt este practic nerealistă și este considerată în știință doar sub forma unor condiții ideale pentru funcționarea pieței de capital.

Rata nominală a dobânzii compuse

Cel mai adesea, rata nominală a dobânzii se aplică la împrumuturi. Acest lucru se datorează pieței de creditare dinamice și competitive. Determinarea costului capitalului în cadrul liniilor de credit se evaluează pe baza termenului împrumutului, valuta și caracteristicile juridice ale împrumutului. Băncile, încercând să-și minimizeze riscurile, preferă să acorde împrumuturi clienților în cooperare pe termen lung în valută străină și în cooperare pe termen scurt în valută internă.

Pentru a evalua corect venitul așteptat din utilizarea fondurilor pe o perioadă lungă de timp, economiștii recomandă să se țină cont de schema dobânzii compuse. La acumularea profitului prin metoda dobânzii compuse, la începutul fiecărei noi perioade de reglementare, se acumulează profit pentru suma primită la sfârșitul perioadei precedente.

Orice mecanism de piață într-un mediu volatil, în special precum economia internă, este întotdeauna asociat cu riscuri ridicate. Fie că este vorba despre un contract de împrumut sau investiții în valori mobiliare, deschiderea unei noi afaceri sau cooperarea depozitarului cu o bancă. Evaluând întotdeauna profitul potențial, este necesar să se acorde atenție factorilor externi și situației reale a pieței. Pe baza doar randamentului nominal, puteți lua decizia financiară greșită, evident neprofitabilă sau chiar potențial dezastruoasă.

Dobânda compusă poate fi percepută de mai multe ori pe an

(de exemplu, pe luni, pe trimestre, pe semestre). Pentru a considera acest caz, introducem conceptul de rată nominală.

Rata nominală este rata anuală la care se percepe dobânda m odata pe an ( m > 1). Să o notăm prin j . Prin urmare, pentru o perioadă, se percepe dobânda la rata j/m.

Exemplu. Dacă la o rată nominală j= 20% se acumulează de 4 ori pe an, apoi rata pentru o perioadă (trimestru) va fi egală cu

20 % : 4 = 5%.

Formula (8) poate fi acum reprezentată după cum urmează:

S = P( 1+j/m) N , (10)

Unde N- numărul total de perioade de acumulare, N= m×t, t - număr de ani. Cu o frecvență tot mai mare m angajamentele pe an, rata de angajamente și, în consecință, venitul anual absolut crește.

Rata efectivă a dobânzii

Pentru a compara venitul relativ real pentru anul în care se calculează dobânda unul și m Să introducem conceptul de rata efectivă a dobânzii.

Rata anuală efectivă a dobânzii i ef - aceasta este rata care măsoară venitul relativ real care se primește pe parcursul întregului an din calculul dobânzii, i.e. i ef - este rata dobânzii compuse anuale, care dă același rezultat ca m- acumularea unică a dobânzii la rata aferentă perioadei i = j/m .

Rata efectivă se constată din condiția egalității celor două angajamente corespunzătoare pentru un an:

1+i ef = ( 1+j/m) m.

De aici rezultă că

i ef = ( 1+ j / m) m - 1(11)

Exemplu. Determinați rata efectivă a dobânzii compuse, astfel încât să obțineți aceeași sumă acumulată ca și cum ați folosi rata nominală j\u003d 18%, cu dobândă trimestrială ( m=4).

Soluţie . Din formula (11) obținem:

ief = (1 + 0,18 / 4) 4 - 1 = 0,1925 (sau 19,25%).

Exemplu. Găsiți rata efectivă dacă rata nominală este de 25% cu dobândă lunară.

Soluţie . i eff \u003d (1 + 0,25 / 12) 12 - 1 \u003d 0,2807 sau 28,07%.

Nu are nicio diferență pentru părțile la tranzacție dacă să aplice cota de 25% (pe o bază lunară) sau cota anuală de 28,07%.

Exemplu. Găsiți rata nominală a dobânzii care se acumulează semestrial, echivalentă cu o rată nominală de 24% compusă lunar.

Soluţie. Lăsa j 2 - rata dobânzii corespunzătoare acumularii pentru o jumătate de an, j 12 - pe luni.

Din egalitatea coeficienților de creștere obținem:

(1 + j 2 / 2) 2 = (1 + j 12 / 12) 12 ,

1 + j 2 / 2 = (1 + j 12 / 12) 6 Þ j 2 = 2[(1 + j 2 / 12) 6 - 1] =

2 [(1 + 0,24/12) 6 - 1] = 0,25 sau j 2 = 25 %.

Calcul continuu al dobanzii

Suma strânsă pentru t ani conform formulei (10) la o dobândă constantă j m cu o creștere a numărului m crește, dar cu o creștere nelimitată m sumă S = Sm tinde spre limita finală.

Într-adevăr

Acest fapt dă motive să se aplice interes continuu la o rată anuală d. În același timp, suma acumulată în timp t este determinat de formula

S = Pe d t . (12)

Rata dobânzii d numit puterea de crestere.

Exemplu . Banca acumulează dobândă la o rată continuă de d=8% în valoare de 20 de mii de ruble. în termen de 5 ani. Găsiți suma acumulată.

Soluţie . Din formula (12) rezultă că suma acumulată

S\u003d 20.000 e 0,08 × 5 \u003d 20.000 × e 0,4 \u003d 20.000 × 1,49182 \u003d 29.836,49 ruble.

Sarcini

3.1. Suma este de 400 de mii de ruble. investit timp de 2 ani la 30% pe an. Găsiți suma acumulată și dobânda compusă pentru această perioadă.

3.2. Un împrumut de 500 de mii de ruble. emise cu dobândă compusă timp de 1 an la o rată de 10% pe lună. Calculați suma totală datorată până la sfârșitul termenului.

3.3. Determinați dobânda compusă pentru un an și jumătate acumulată la 70 de mii de ruble. cu o rată de 5% pe trimestru.

3.4. 200 USD au fost creditați într-un depozit la termen în bancă la o rată de 6% pe an. Aflați sumele acumulate în cont după 2, 3, 4 și 5 ani, sub rezerva acumulării: a) dobânzii simple; b) dobândă compusă; c) interes continuu.

3.5. Calculați rata efectivă a dobânzii, echivalentă cu o rată nominală de 36%, atunci când dobânda este compusă lunar. Răspuns: 42,6%.

3.6. Pentru o rată nominală de 12% cu dobândă compusă de două ori pe an, calculați rata echivalentă cu cea compusă lunar.

CONTABILITATEA INFLATIEI

În condițiile moderne, inflația joacă adesea un rol decisiv și, fără a se lua în considerare, rezultatele finale sunt o valoare foarte arbitrară. În viața reală, inflația se manifestă prin scăderea puterii de cumpărare a banilor și creșterea nivelului general al prețurilor. Prin urmare, trebuie luat în considerare atunci când se efectuează tranzacții financiare. Să ne gândim cum să socotim.

Ratele inflației sunt măsurate folosind sistemul indici de inflatie, care caracterizează modificarea medie a nivelului prețurilor pentru un set fix (coș) de bunuri și servicii într-o anumită perioadă de timp. Lăsați valoarea coșului la timp t este egal cu Sf) .

indice de pret sau indicele de inflatie JP din t 1 inainte de t 2 se numește mărime adimensională

J P = S(t 1 ) / S(t 2 ),

A rata inflațieiîn această perioadă se numește creștere relativă a prețurilor:

h = = JP- 1.

De aici și indicele prețurilor

J P = 1+ h .

Dacă perioada de revizuire a inflaţiei include n perioade, în fiecare dintre care rata medie a inflației este egală cu h, apoi

J P = ( 1+ h) n.

Când rata inflației în i- a-a perioadă este egală cu Bună , indicele de inflatie pentru n perioadele se calculează prin formula

J P = ( 1+ h 1 ) ( 1+ h 2 )…( 1+hn).

indicele de inflatie JP arată de câte ori și rata inflației h Care este creșterea procentuală a prețurilor în perioada analizată?

Indicele puterii de cumpărare a banilor J D este egală cu reciproca indicelui prețurilor:

J D = 1 /JP= 1/ ( 1+h).

Exemplu. Ai o sumă de 140 de mii de ruble. Se știe că prețurile s-au dublat în ultimii doi ani; indice de pret JP= 2. În acest caz, indicele puterii de cumpărare a banilor este J D= 1/2. Aceasta înseamnă că puterea reală de cumpărare este de 140 de mii de ruble. se va ridica la doar 140 × 1/2 = 70 de mii de ruble la momentul primirii. în bani de acum doi ani.

În cazul în care un h este rata anuală a inflației, atunci indicele anual al prețurilor este egal cu 1+ h , deci suma acumulată, ținând cont de inflație

S și ​​= P ( 1+ i) n = P(13)

Evident, dacă rata medie anuală a inflației h egală cu rata dobânzii i, apoi S și ​​= P, acestea. nu va exista o crestere in suma reala: cresterea va fi absorbita de inflatie. În cazul în care un h > i , atunci suma reală este mai mică decât cea inițială. Doar într-o situație h< i există o creștere reală.

Exemplu. O rată constantă a inflației de 10% pe lună pe an duce la o creștere a prețurilor în valoare de JP= 1,1 12 = 3,14. Astfel, rata anuală a inflației h = J P- 1 = 2,14 sau 214%.

Pentru a reduce impactul inflației și a compensa pierderile din scăderea puterii de cumpărare a banilor, se utilizează indexarea ratei dobânzii. În acest caz, rata este ajustată în funcție de rata inflației.

Rata ajustată este numită rata bruta. Să calculăm această rată, notând-o prin r.

Dacă inflaţia este compensată de rate bruteîn prezența dobânzii simple, apoi valoarea r găsim din egalitatea multiplicatorilor creșterii:

1+ n × r = ( 1+ n × i) J P = ( 1+ n×i)( 1+ h) n ,

(14)

Rata brută pentru acumularea la rata dobânzii compuse se găsește din egalitatea ( n = 1):

1+ r = ( 1+ i)( 1+h),

r = i + h + h×i(15)

Formulele (14), (15) înseamnă următoarele: pentru a asigura o rentabilitate reală în i%, la rata inflației h, trebuie să setați o rată de r %.

Exemplu . Banca a emis un împrumut pe 6 luni - 5 milioane de ruble. Rata lunară estimată a inflației este de 2%, profitabilitatea reală necesară a operațiunii este de 10% pe an. Determinați rata dobânzii la împrumut, ținând cont de inflație, de suma sumei acumulate și de valoarea plății dobânzii.

Soluţie . indicele de inflatie JP= (1 + 0,02) 6 = 1,1262. Din (14) obținem valoarea ratei brute:

r = =0,365 (sau 36,5%).

Suma sumei acumulate

S=P( 1+ nr)\u003d 5 (1 + 0,5 × 0,365) \u003d 5,9126 milioane de ruble.

Suma plății dobânzii (comision de împrumut)

eu= 5,9126 - 5,0 = 0,9126 milioane de ruble

Exemplu . Împrumut de 1 milion de ruble. emis pentru doi ani. Randamentul real ar trebui să fie de 11% pe an (dobândă compusă). Rata inflației estimată la 16% pe an. Determinați rata dobânzii la acordarea unui împrumut, precum și suma acumulată.

Soluţie . Din formula (15) avem:

r= 0,11 + 0,16 + 0,11 × 0,16 = 0,2876;

S= 1,0 (1 + 0,2876) 2 = 1,658 milioane de ruble

Sarcini

4.1. Credit 500 de mii de ruble. eliberat din 20.06.98. până la 15.09.98 La acordarea unui credit se considera ca indicele de pret pana la momentul rambursarii acestuia va fi de 1,3. Determinați rata brută și suma rambursabilă.

Răspuns: R = 134% ; S R= 658.194 ruble.

4.2. Credit în valoare de 5 milioane de ruble. eliberat pentru 3 ani. Rentabilitatea reală a operațiunii ar trebui să fie de 3% pe an la o rată compusă. Rata estimată a inflației este de 10% pe an. Calculați rata brută și suma rambursabilă. Răspuns : R = 13,3 % ; S la R= 7.272.098 ruble.

4.3. Un depozit în valoare de 100 de mii de ruble a fost plasat în bancă. la 100% pe an pe o perioadă de 5 ani. Rata inflației așteptată în această perioadă h= =50% pe an. Determinați suma reală pe care clientul o va avea după cinci ani: a) ajustată pentru inflație; b) excluzând inflaţia.

4.4. Ce rata ar trebui sa stabileasca banca astfel incat, cu o inflatie anuala de 11%, randamentul real sa fie de 6%.

CHIRIILE FINANCIARE

Renta regulata

Tranzacțiile financiare implică adesea nu plăți unice, ci o secvență a acestora în timp. Un exemplu ar fi rambursarea împrumutului, plata chiriei etc. Se numesc astfel de secvențe de plăți fluxul de plată.

Lăsați tranzacția financiară conform contractului să înceapă în acest moment t 0, și se termină pe moment t n . Plăți Rk (k = 1,2,..,n) apar pe momente t k . De obicei crezut t 0 = 0 (Fig. 1).

chirie financiară numită succesiune de plăți periodice Rk, Rk > 0 efectuate la intervale regulate.

Plăți Rk numit închiriază membrii . Dacă toate plățile sunt aceleași, de ex. R k = R , atunci se cheama chiria constant.

Lăsa d - perioada de închiriere, și n - numărul de plăți, apoi produsul perioadei cu numărul de plăți nd reprezintă termenul calendaristic de închiriere. Dacă plata se face la sfârșitul fiecărei perioade (Fig. 1), atunci se cheamă chiria comun, iar dacă la începutul perioadei, atunci dat(Fig. 2).

Alegerea unitate de bază a timpului , cere rata dobânzii de închiriere(dificil). Sa gasim suma acumulată S rentă anuală ordinară, constând în n plăți, adică suma tuturor membrilor fluxului de plăți cu dobânda acumulată până la sfârșitul termenului. Pentru a face acest lucru, luați în considerare o problemă specifică. Lasă-l peste n ani, banca la sfârșitul fiecărui an este plătită R ruble. Contribuțiile poartă dobândă compusă la rata i% pe an (Fig. 3).

Suma acumulată S cuprinde n termeni. Exact

S = R + R( 1+ i) + R( 1+ i) 2 + ...+ R( 1+ i) n- 1

În dreapta este suma n membrii unei progresii geometrice cu primul membru R și numitorul 1+i . Folosind formula pentru suma unei progresii geometrice, obținem

(16)

s(n;i) și a sunat factor de acumulare chirie obisnuita. Formula (16) poate fi rescrisă ca

S = R  s(n; i)

Valoarea actuală a chiriei A este suma tuturor membrilor rentei, actualizată la începutul termenului rentei. Din condiția de echivalență pentru valorile curente și acumulate ale anuității obișnuite, găsim valoarea actuală a anuității DAR:

S = A( 1 + i) n sau A = S( 1 + i) -n .

În acest fel,

. (17)

Expresia este notată prin simbol a(n;i) și a sunat factor de reducere chirie obișnuită sau factor de reducere chirie. Astfel, sensul modern al chiriei

A = R × a(n; i) .

Exemplu. Găsiți valoarea curentă și acumulată a anuității cu plăți de 320 de mii de ruble. la sfârşitul fiecărei luni timp de doi ani. Dobânda se acumulează lunar la o rată nominală de 24% pe an.

Soluţie . Rata lunară efectivă este de 24% : 12 = 2% Valoarea curentă este calculată prin formula (17):

A= 320 = 6052, 4619 mii de ruble.

Valoarea acumulată se calculează prin formula (14):

S= = 9734,9952 mii de ruble

Exemplu . Firma a decis să creeze un fond de investiții. În acest scop, timp de 5 ani la sfârșitul fiecărui an, în bancă sunt depuse 100 de mii de ruble. la 20% pe an cu valorificarea ulterioară a acestora, i.e. în plus față de suma deja acumulată. Aflați suma fondului de investiții.

Soluţie . Aici luăm în considerare anuitatea obișnuită cu plăți anuale R= 100 de mii de ruble. pe parcursul n= 5 ani. Rata dobânzii i= 20%. Din formula (16) găsim:

S= 100 = 744,160 mii de ruble.

Chirie redusă

Diferența dintre o anuitate obișnuită și o anuitate redusă este că toate plățile R pentru anuitatea redusă sunt deplasate spre stânga cu o perioadă în raport cu plățile anuității obișnuite (comparați figurile 4a și 4b).

Este lesne de inteles ca pentru fiecare termen al anuitatii reduse se percepe dobanda cu o perioada mai mult decat in renta obisnuita.

De aici suma acumulată a chiriei reduse S P mai mult in (1 + i) ori suma acumulată a anuității ordinare:

S P = S (1 + i) și sP(n; i) = s(n; i) (1 + i).

Exact aceeași dependență este legată de valorile moderne ale chiriei obișnuite. DARși chirie redusă A P :

DAR P=A (1 + i), A P(n; i) = a( n; i) (1 + i) . (18)

Exemplu . Împrumut în valoare de 5 milioane de ruble. rambursat în 12 rate lunare egale. Rata dobânzii la împrumut este stabilită la i = 3% pe lună. Găsește-ți rata lunară R la plata:

A ) postnumerando(chirie regulată),

b) prenumerando(chirie redusa).

Soluţie. A) R× a(12;0,03) = 5 milioane de ruble.

Coeficientul de reducere a(12; 0,03) = = 9,95400 .

De aici R\u003d 5 milioane de ruble / 9,95400 \u003d 502311 ruble.

b) Similar cu cel precedent: R × a(12;0,03) = 5 milioane de ruble Din formula (18):

A P(12;0,03) = a(12;0,03) × (1+ i) = 9,954 × 1,03 = 10,25262;

R\u003d 5 milioane de ruble / 10,25262 \u003d 487680 ruble.

Renta amânată

Dacă termenul anuității începe la un moment dat în viitor, atunci se numește o astfel de anuitate întârziat sau întârziat. Renta amânată va fi considerată obișnuită. Se numește lungimea intervalului de timp de la momentul prezent până la începutul anuității Perioadă de grație. Astfel, perioada de amânare a chiriei cu plăți în jumătate de an și prima plată în doi ani este de 1,5 ani (Fig. 5).

Pe fig. 5 numărul 3 (1,5 ani) înseamnă începutul anuității. Începutul plăților pentru anuitățile amânate este deplasat înainte față de un anumit moment în timp. Este clar că deplasarea în timp nu afectează în niciun fel valoarea sumei acumulate. Un alt lucru este valoarea modernă a chiriei DAR .

Să fie plătită renta mai târziu k ani (sau perioade) după perioada inițială de timp. În Fig. 5, perioada inițială este indicată de numărul 0, iar valoarea actuală a chiriei obișnuite este DAR . Apoi valoarea actuală a k ani de chirie A k egală cu valoarea actualizată DAR , acesta este

A k = A( 1+ i)-k= R a (n; i) ( 1+ i)-k. (19)

Exemplu . Găsiți valoarea actuală a anuității amânate cu plăți de 100 de mii de ruble. la sfârșitul fiecărui semestru, dacă prima plată are loc după doi ani și ultima plată după cinci ani. Dobânda se percepe la o rată de 20% timp de șase luni.

Soluţie.Începerea chiriei în trei semestre. Prima plată se face la sfârșitul celei de-a patra jumătate a anului, iar ultima - la sfârșit. Sunt 7 plăți în total. Din formula (18) la k= 3; n = 7; i= 0,2, obținem:

DAR 3 = 100 = 208599 ruble.

Exemplu. Aflați suma plăților anuale ale unei anuități amânate timp de doi ani pentru o perioadă de 5 ani, a cărei valoare actuală este de 430 de mii de ruble. Dobânda se percepe la rata de 21% pe an.

Soluţie. Din formula (19) găsim:

R = A k(1+ i)k/A( n;i) .

La k= 2; n = 5; i= 0,21, obținem:

R= 430 1,21 2 \u003d 215163 ruble.

Am avut în vedere metoda de calcul a sumei acumulate și a valorii curente, atunci când plățile chiriei se fac o dată pe an și se calculează și dobânda o dată pe an. Totuși, în situații reale (în contracte), pot fi prevăzute și alte condiții de primire a plăților de chirie, precum și procedura de calcul a dobânzii la acestea.

5.4. Renta anuală la acumularea dobânzii m odata pe an

În acest caz, plata chiriei se face o dată pe an. Se va percepe dobânda la rata j/m , Unde j - rata nominală (anuală) a dobânzii compuse. Valoarea sumei acumulate se va obtine din formula (16) daca punem in ea

i = (1+ j/m)m- 1 (vezi (11)).

Ca rezultat, obținem:

(20)

Exemplu. O companie de asigurări care a încheiat un acord cu o firmă timp de 3 ani, prime anuale de asigurare în valoare de 500 de mii de ruble. locuri in banca la 15% pe an cu dobanda acumulata semestrial. Determinați suma primită de societatea de asigurări în temeiul prezentului contract.

Soluţie. Presupunând în formula (20) m = 2; n = 3; R = 500; j = 0,15, obținem:

S= 500 = 1.746.500 de ruble.

5.5. P- chirie urgenta

Se fac plăți de chirie P o dată pe an în sume egale, iar dobânda se acumulează o dată la sfârșitul anului ( m = 1). În acest caz, termenul anuității va fi egal cu R/P , iar formula pentru suma acumulată se obține din formula (16), în care rata pentru perioada eu P se constată din condiția echivalenței financiare (perioade totale P· n ):

(1 + i) = (1 + eu P)P , eu P = (1+ i) 1/P – 1.

Înlocuirea ratei primite pentru perioada eu P în (16), avem:

(21)

Exemplu . Compania de asigurări acceptă prima de asigurare anuală stabilită de 500 de mii de ruble. de două ori pe an timp de 3 ani. Banca care deservește compania de asigurări percepe dobândă compusă la rata de 15% pe an o dată pe an. Determinați suma primită de companie la încheierea contractului.

Soluţie . Aici R = 500; n = 3; P = 2; m= 1. Prin formula (21) găsim:

S = · = 1779 mii de ruble.

Chirie eternă

Renta perpetuă se referă la o anuitate cu un număr infinit de plăți. Evident, suma acumulată a unei astfel de anuități este infinită, dar valoarea actuală a unei astfel de anuități este egală cu A = R/i. Pentru a demonstra acest fapt, folosim formula (17) pentru chiria finală:

A = R/i.

Trecând în această formulă la limita la n® ¥, înțelegem asta A = R/i.

Exemplu: Firma închiriază clădirea pentru 5.000 de dolari pe an. Care este prețul de răscumpărare al clădirii la o dobândă anuală de 10%?

Soluţie . Prețul de răscumpărare al clădirii este valoarea actuală a tuturor plăților viitoare de leasing și este egal cu A = R/i= 50.000 USD

Consolidarea și înlocuirea chiriilor

Regula generală pentru combinarea chiriilor este să găsiți valorile actuale ale chiriilor (termenilor) și să le însumați, apoi se selectează chiria - suma cu o valoare atât de modernă și alți parametri necesari.

Exemplu . Găsiți uniunea a două anuități: prima pe 5 ani cu o plată anuală de 1000, a doua pentru 8 și 800. Rata anuală a dobânzii

Soluţie . Valorile actuale ale chiriilor sunt egale cu:

A 1 = R 1× A(5; 0,08) = 1000 × 3,993 = 3993; A 2 = R × A(8; 0,08) = = 800 × 5,747 = 4598.

DAR= DAR 1 + DAR 2 = 3993 + 4598 = 8591.

În consecință, anuitatea unită are o valoare modernă DAR= 8591. În continuare, puteți specifica fie durata anuității combinate, fie plata anuală, apoi al doilea dintre acești parametri va fi determinat din formulele pentru anuități.

Sarcini

5.1. Sume de 500.000 de ruble fiecare vor fi plătite într-un cont de depozit cu dobândă compusă la o rată de 80% pe an timp de 5 ani. la începutul fiecărui an. Determinați suma acumulată.

5.2. La sfârșitul fiecărui trimestru, în contul de depozit vor fi depuse sume de 12,5 mii de ruble, pe care se va acumula și dobânda compusă trimestrial la o rată anuală nominală de 10% pe an. Determinați suma acumulată pe parcursul a 20 de ani. Răspuns: 3.104.783 de ruble.

5.3. Calculați suma care trebuie pusă în contul unui fond de pensii privat, astfel încât acesta să-și poată plăti membrilor săi 10 milioane de ruble pe lună. Fondul își poate investi fondurile la o rată constantă de 5% pe lună.

(Sugestie: utilizați modelul anuității perpetue).

5.4. Omul de afaceri a închiriat o cabană cu 10.000 de dolari pe an. Care este prețul de răscumpărare al cabanei la o rată anuală de 5%. Răspuns: 200.000 USD.

5.5. În timpul ședinței de judecată, s-a dovedit că domnul A a plătit mai puțin taxele cu 100 de ruble. lunar. Inspectoratul Fiscal vrea să recupereze taxele neplătite în ultimii doi ani, împreună cu dobânda (3% pe lună). Cât de mult ar trebui dl A.

5.6. Pentru lucrările de recuperare a terenurilor, statul transferă 1.000 de dolari pe an fermierului. Banii sunt creditați într-un cont special și se acumulează 5% la fiecare șase luni conform schemei dobânzii compuse. Cât se va acumula în cont după 5 ani.

5.7. Înlocuiți o anuitate pe cinci ani cu o plată anuală de 1.000 USD pentru o anuitate cu o plată pe șase luni de 600 USD. Rata anuala 5%.

5.8. Înlocuiți o anuitate pe zece ani cu o plată anuală de 700 USD cu o anuitate pe șase ani. Rata anuala 8%.

5.9. Ce sumă ar trebui să fie depusă în bancă de către părinții unui student care studiază la un institut plătit, astfel încât banca să transfere 420 USD către institut la fiecare șase luni timp de 4 ani. Rata bancara 8% pe an.

RAmbursarea datoriilor (împrumut)

Această secțiune oferă o aplicare a teoriei chiriilor la planificarea rambursării unui împrumut (datorie).

Elaborarea unui plan de rambursare a creditului consta in intocmirea unui grafic al platilor periodice ale debitorului. Se cheltuiesc cheltuielile debitorului costurile serviciului datoriei sau amortizarea creditului. Aceste costuri includ plăți curente de dobândă, precum și fondurile destinate rambursarea principalului.Există diverse modalități de a rambursa datoria. Participanții la o tranzacție de credit le stipulează la încheierea unui contract. În conformitate cu termenii contractului, se întocmește un plan de rambursare a datoriilor. Cel mai important element al planului este determinarea numărului de plăți în cursul anului, adică. definiția numărului plăți urgente