Curs de mecanică teoretică de cursuri. Concepte de bază ale mecanicii teoretice

În toată frumusețea și eleganța ei. Cu ajutorul lui, Newton și-a derivat odată legea bazată pe cele trei legi empirice ale lui Kepler gravitația universală. Subiectul, în general, nu este atât de complicat și este relativ ușor de înțeles. Dar trecerea este dificilă, deoarece profesorii sunt adesea teribil de pretențioși (cum ar fi Pavlova, de exemplu). Când rezolvați probleme, trebuie să fiți capabil să rezolvați difuze și să calculați integrale.

Idei cheie

În esență, mecanica teoretică din acest curs este aplicarea principiului variațional pentru a calcula „mișcarea” diferitelor sisteme fizice. Calculul variațiilor este tratat pe scurt în cursul Ecuații integrale și Calculul variațiilor. Ecuațiile lui Lagrange sunt ecuațiile lui Euler, care sunt soluția unei probleme cu capete fixe.

O problemă poate fi de obicei rezolvată prin 3 metode diferite simultan:

• Metoda Lagrange (funcția Lagrange, ecuații Lagrange)
• Metoda Hamilton (funcția Hamilton, ecuații Hamilton)
• Metoda Hamilton-Jacobi (ecuația Hamilton-Jacobi)

Este important să alegeți cel mai simplu pentru o anumită sarcină.

Materiale

primul semestru (test)

Formule de bază

Vizualizare la dimensiune mare!

Teorie

Videoclipuri

Prelegeri de V.R. Khalilova - Atenţie! Nu toate prelegerile sunt înregistrate

Al doilea semestru (examen)

Trebuie să începem cu faptul că grupuri diferite Examenul merge altfel. De obicei Biletul de examen constă din 2 întrebări teoretice și 1 problemă. Întrebările sunt necesare pentru toată lumea, dar puteți fie să scăpați de o sarcină (pentru o muncă excelentă în semestru + teste scrise) fie să luați una în plus (și mai mult de una). Aici vi se va spune despre regulile jocului la seminarii. În loturile lui Pavlova și Pimenov se practică teormina, care este un fel de admitere la examen. Rezultă că această teorie trebuie cunoscută perfect.

Examen în grupuri Pavlova merge cam așa: În primul rând, un bilet cu 2 întrebări pe termen. Există puțin timp pentru a scrie, iar cheia aici este să o scrieți absolut perfect. Atunci Olga Serafimovna va fi amabila cu tine si restul examenului va merge foarte placut. Urmează un bilet cu 2 întrebări teorie + n probleme (în funcție de munca dvs. din semestru). Teoria în teorie poate fi anulată. Rezolva probleme. A avea o mulțime de probleme la un examen nu este sfârșitul dacă știi să le rezolvi perfect. Acest lucru poate fi transformat într-un avantaj - pentru fiecare punct de examen obțineți un +, +-, -+ sau -. Nota se acordă „pe baza impresiei generale” => dacă în teorie totul nu este perfect pentru tine, dar atunci primești 3+ pentru sarcini, atunci impresie generala bun. Dar dacă nu ai avut probleme la examen și teoria nu este ideală, atunci nu există nimic care să o netezească.

Teorie

• Julia. Note de curs (2014, pdf) - ambele semestre, fluxul 2
• Al doilea stream bilete partea 1 (note de curs și partea pentru bilete) (pdf)
• Bilete pentru al doilea flux și cuprins pentru toate aceste părți (pdf)
• Răspunsuri la biletele pentru primul flux (2016, pdf) - în formă tipărită, foarte convenabil
• Teorie recunoscută pentru examenul pentru grupele Pimenov (2016, pdf) - ambele semestre
• Răspunsuri la teorie pentru grupurile Pimenov (2016, pdf) - îngrijite și aparent fără erori

Sarcini

• Seminarele lui Pavlova semestrul 2 (2015, pdf) - scrise frumos, frumos și clar
• Probleme care pot fi la examen (jpg) - o dată într-un an shaggy au fost în al 2-lea flux, pot fi relevante și pentru grupurile V.R. Khalilov (da probleme similare în kr)
• Probleme la bilete (pdf)- pentru ambele fluxuri (pe al 2-lea flux aceste sarcini au fost în grupurile lui A.B. Pimenov)

Introducere

Mecanica teoretică este una dintre cele mai importante discipline științifice generale fundamentale. Joacă un rol semnificativ în pregătirea inginerilor de orice specializare. Disciplinele de inginerie generală se bazează pe rezultatele mecanicii teoretice: rezistența materialelor, piesele de mașini, teoria mecanismelor și a mașinilor și altele.

Sarcina principală a mecanicii teoretice este studiul mișcării corpurilor materiale sub influența forțelor. O sarcină specială importantă este studiul echilibrului corpurilor sub influența forțelor.

Curs de curs. Mecanica teoretică

Structura mecanicii teoretice. Bazele staticii

Condiții de echilibru pentru un sistem arbitrar de forțe.

Ecuații de echilibru pentru un corp rigid.

Sistem plat de forțe.

Cazuri speciale de echilibru al corpului rigid.

Problemă de echilibru pentru o grindă.

Determinarea forțelor interne în structurile cu tije.

Fundamentele cinematicii punctuale.

Coordonatele naturale.

formula lui Euler.

Distribuția accelerațiilor punctelor unui corp rigid.

Mișcări de translație și rotație.

Mișcare plan-paralelă.

Mișcare complexă a punctului.

Bazele dinamicii punctelor.

Ecuații diferențiale ale mișcării unui punct.

Tipuri particulare de câmpuri de forță.

Fundamentele dinamicii unui sistem de puncte.

Teoreme generale privind dinamica unui sistem de puncte.

Dinamica mișcării de rotație a corpului.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Curs de mecanică teoretică. M., facultate, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Curs de mecanică teoretică, părțile 1 și 2. M., Școala Superioară, 1971.

Petkevici V.V. Mecanica teoretică. M., Nauka, 1981.

Colectarea sarcinilor pentru cursuriîn mecanică teoretică. Ed. A.A. Yablonsky. M., Școala Superioară, 1985.

Cursul 1. Structura mecanicii teoretice. Bazele staticii

În mecanica teoretică, se studiază mișcarea corpurilor în raport cu alte corpuri, care sunt sisteme de referință fizice.

Mecanica permite nu numai să descrie, ci și să prezică mișcarea corpurilor, stabilind relații cauzale într-o gamă anume, foarte largă, de fenomene.

Modele abstracte de bază ale corpurilor reale:

punct material – are masă, dar fără dimensiune;

corp absolut rigid – un volum de dimensiuni finite, complet umplut cu o substanță, iar distanțele dintre oricare două puncte ale mediului care umple volumul nu se modifică în timpul mișcării;

mediu deformabil continuu – umple un volum finit sau un spațiu nelimitat; distanţele dintre punctele dintr-un astfel de mediu pot varia.

Dintre acestea, sistemele:

Sistem de puncte materiale libere;

Sisteme conectate;

Un corp absolut solid, cu o cavitate umplută cu lichid etc.

„Degenerați” modele:

Tije infinit de subțiri;

Plăci infinit de subțiri;

Tije și fire fără greutate care conectează punctele de material etc.

Din experiență: fenomenele mecanice apar diferit în diferite locuri ale sistemului fizic de referință. Această proprietate este eterogenitatea spațiului, determinată de sistemul fizic de referință. Aici, eterogenitatea este înțeleasă ca dependența naturii apariției unui fenomen de locul în care observăm acest fenomen.

O altă proprietate este anizotropia (non-izotropie), mișcarea unui corp în raport cu un sistem de referință fizic poate fi diferită în funcție de direcție. Exemple: curgerea râului de-a lungul meridianului (de la nord la sud - Volga); zbor proiectil, pendul Foucault.

Proprietățile sistemului de referință (neomogenitatea și anizotropia) fac dificilă observarea mișcării unui corp.

Practic liber de asta - geocentric sistem: centrul sistemului se află în centrul Pământului și sistemul nu se rotește în raport cu stelele „fixe”. Sistemul geocentric este convenabil pentru calcularea mișcărilor pe Pământ.

Pentru mecanica cerească(pentru corpurile sistemului solar): cadru de referință heliocentric, care se mișcă cu centrul de masă sistem solarși nu se rotește în raport cu stelele „fixe”. Pentru acest sistem nedescoperit încă eterogenitatea și anizotropia spațiului

în raport cu fenomenele mecanice.

Deci, este introdus rezumatul inerțială cadru de referință pentru care spațiul este omogen și izotrop în raport cu fenomenele mecanice.

Cadrul de referință inerțial- unul a cărui mișcare proprie nu poate fi detectată de niciun experiment mecanic. Experiment de gândire: „un punct singur în întreaga lume” (izolat) este fie în repaus, fie se mișcă în linie dreaptă și uniform.

Toate sistemele de referință care se mișcă față de cel original în mod rectiliniu și uniform vor fi inerțiale. Aceasta permite introducerea unui sistem de coordonate carteziene unificat. Un astfel de spațiu se numește euclidiană.

Acord convențional - luați sistemul de coordonate corect (Fig. 1).

ÎN timp– în mecanica clasică (non-relativistă). absolut, la fel pentru toate sistemele de referință, adică momentul inițial este arbitrar. Spre deosebire de mecanica relativistă, unde se aplică principiul relativității.

Starea de mișcare a sistemului la momentul t este determinată de coordonatele și vitezele punctelor în acest moment.

Corpurile reale interacționează și apar forțe care modifică starea de mișcare a sistemului. Aceasta este esența mecanicii teoretice.

Cum se studiază mecanica teoretică?

Doctrina echilibrului unui set de corpuri dintr-un anumit cadru de referință - secțiune statică.

Capitol cinematică: parte a mecanicii în care sunt studiate dependențele dintre mărimile care caracterizează starea de mișcare a sistemelor, dar cauzele nu sunt luate în considerare, provocând schimbare starea de miscare.

După aceasta, vom lua în considerare influența forțelor [PARTEA PRINCIPALA].

Capitol dinamica: parte a mecanicii care se ocupă cu influența forțelor asupra stării de mișcare a sistemelor de obiecte materiale.

Principii pentru construirea cursului principal - dinamică:

1) bazat pe un sistem de axiome (bazat pe experiență, observații);

În mod constant - control nemilos al practicii. Semn al științei exacte – prezența logicii interne (fără aceasta - un set de rețete fără legătură)!

Static se numește acea parte a mecanicii în care sunt studiate condițiile pe care trebuie să le îndeplinească forțele care acționează asupra unui sistem de puncte materiale pentru ca sistemul să fie în echilibru și condițiile pentru echivalența sistemelor de forțe.

Problemele de echilibru în statica elementară vor fi luate în considerare folosind metode exclusiv geometrice bazate pe proprietățile vectorilor. Această abordare este utilizată în statica geometrica(spre deosebire de statica analitică, care nu este luată în considerare aici).

Pozițiile diferitelor corpuri materiale vor fi legate de sistemul de coordonate, pe care îl vom lua staționar.

Modele ideale de corpuri materiale:

1) punct material – un punct geometric cu masă.

2) un corp absolut rigid - o colecție de puncte materiale, ale căror distanțe nu pot fi modificate prin nicio acțiune.

Prin forțe vom numi cauze obiective care sunt rezultatul interacțiunii obiectelor materiale, capabile să provoace deplasarea corpurilor dintr-o stare de repaus sau să modifice mișcarea existentă a acestora din urmă.

Întrucât forța este determinată de mișcarea pe care o provoacă, ea are și o natură relativă, în funcție de alegerea sistemului de referință.

Este luată în considerare problema naturii forțelor în fizică.

Un sistem de puncte materiale este în echilibru dacă, fiind în repaus, nu primește nicio mișcare de la forțele care acționează asupra lui.

Din experiența cotidiană: forțele au natură vectorială, adică mărime, direcție, linie de acțiune, punct de aplicare. Condiția pentru echilibrul forțelor care acționează asupra unui corp rigid este redusă la proprietățile sistemelor vectoriale.

Rezumând experiența studierii legilor fizice ale naturii, Galileo și Newton au formulat legile de bază ale mecanicii, care pot fi considerate axiome ale mecanicii, deoarece au se bazează pe fapte experimentale.

Axioma 1. Acțiunea mai multor forțe asupra unui punct al unui corp rigid este echivalentă cu acțiunea unuia forță rezultantă construit după regula adunării vectoriale (Fig. 2).

Consecinţă. Forțele aplicate unui punct de pe un corp rigid se adună conform regulii paralelogramului.

Axioma 2. Două forțe aplicate unui corp rigid echilibrate reciproc dacă și numai dacă au dimensiuni egale, îndreptate în direcții opuse și se află pe aceeași linie dreaptă.

Axioma 3. Acţiunea unui sistem de forţe asupra unui corp rigid nu se va modifica dacă adăugați la acest sistem sau eliminați din acesta două forțe de mărime egală, îndreptate în direcții opuse și situate pe aceeași linie dreaptă.

Consecinţă. Forța care acționează asupra unui punct al unui corp rigid poate fi transferată de-a lungul liniei de acțiune a forței fără a modifica echilibrul (adică forța este un vector de alunecare, Fig. 3)

1) Activ - creează sau sunt capabili să creeze mișcarea unui corp rigid. De exemplu, forța de greutate.

2) Pasiv - nu creează mișcare, ci limitează mișcarea unui corp solid, împiedicând mișcarea. De exemplu, forța de întindere a unui fir inextensibil (Fig. 4).

Axioma 4. Acțiunea unui corp asupra unui al doilea este egală și opusă acțiunii acestui al doilea corp asupra primului ( acțiunea este egală cu reacție).

Vom numi condiții geometrice care limitează mișcarea punctelor conexiuni.

Condiții de comunicare: de exemplu,

- tija de lungime indirecta l.

- fir flexibil neextensibil de lungime l.

Sunt numite forțele cauzate de conexiuni și care împiedică mișcarea fortele reactiilor.

Axioma 5. Legăturile impuse unui sistem de puncte materiale pot fi înlocuite cu forțe de reacție, a căror acțiune este echivalentă cu acțiunea legăturilor.

Când forțele pasive nu pot echilibra acțiunea forțelor active, începe mișcarea.

Două probleme specifice ale staticii

1. Sistem de forţe convergente care acţionează asupra unui corp rigid

Un sistem de forțe convergente Acesta se numește un sistem de forțe ale căror linii de acțiune se intersectează într-un punct, care poate fi întotdeauna luat ca origine a coordonatelor (Fig. 5).

Proiecții ale rezultatului:

;

;

.

Dacă , atunci forța provoacă mișcarea corpului rigid.

Condiția de echilibru pentru un sistem de forțe convergent:

2. Echilibrul a trei forțe

Dacă asupra unui corp rigid acționează trei forțe și liniile de acțiune ale celor două forțe se intersectează într-un punct A, echilibrul este posibil dacă și numai dacă linia de acțiune a celei de-a treia forțe trece de asemenea prin punctul A, iar forța însăși este egală ca mărime și opusă ca direcție sumei (Fig. 6).

Exemple:

Momentul de forță în jurul punctului O hai să-l definim ca un vector, in marime egal cu dublul aria unui triunghi, a cărui bază este vectorul forță cu vârful într-un punct dat O; direcţie– ortogonal cu planul triunghiului în cauză în direcția de unde este vizibilă rotația produsă de forța în jurul punctului O în sens invers acelor de ceasornic. este momentul vectorului de alunecare și este vector liber(Fig.9).

Asa de: sau

,

Unde ;;.

Unde F este modulul de forță, h este umărul (distanța de la punct la direcția forței).

Moment de forță în jurul axei este valoarea algebrică a proiecției pe această axă a vectorului momentului de forță față de un punct arbitrar O luat pe axă (Fig. 10).

Acesta este un scalar independent de alegerea punctului. Într-adevăr, să extindem :|| iar în avion.

Despre momente: fie O 1 punctul de intersecție cu planul. Apoi:

a) din - moment => proiecție = 0.

b) de la - moment de-a lungul => este o proiecție.

Asa de, momentul în jurul unei axe este momentul componentei forței într-un plan perpendicular pe axa față de punctul de intersecție al planului și al axei.

Teorema lui Varignon pentru un sistem de forțe convergente:

Momentul forței rezultante pentru un sistem de forţe convergente relativ la un punct arbitrar A este egal cu suma momentelor tuturor forțelor componente relativ la același punct A (Fig. 11).

Dovadaîn teoria vectorilor convergenţi.

Explicaţie: adunarea forțelor după regula paralelogramului => forța rezultată dă un moment total.

Întrebări de control:

1. Numiți principalele modele de corpuri reale din mecanica teoretică.

2. Formulați axiomele staticii.

3. Cum se numește momentul de forță în jurul unui punct?

Cursul 2. Condiții de echilibru pentru un sistem arbitrar de forțe

Din axiomele de bază ale staticii, urmează operații elementare asupra forțelor:

1) forța poate fi transferată de-a lungul liniei de acțiune;

2) forţe ale căror linii de acţiune se intersectează pot fi adăugate după regula paralelogramului (după regula adunării vectoriale);

3) la sistemul de forțe care acționează asupra unui corp rigid, se pot adăuga întotdeauna două forțe, egale ca mărime, situate pe aceeași linie dreaptă și îndreptate în direcții opuse.

Operațiile elementare nu modifică starea mecanică a sistemului.

Să numim două sisteme de forțe echivalent, dacă unul din celălalt se poate obţine folosind operaţii elementare (ca în teoria vectorilor de alunecare).

Se numește un sistem de două forțe paralele, egale ca mărime și direcționate în direcții opuse câteva forțe(Fig. 12).

Moment de câteva forțe- un vector egal ca mărime cu aria paralelogramului construit pe vectorii perechii și îndreptat ortogonal pe planul perechii în direcția de unde se vede că rotația transmisă de vectorii perechii are loc în sens invers acelor de ceasornic .

, adică momentul forței relativ la punctul B.

O pereche de forțe este complet caracterizată de momentul ei.

O pereche de forțe poate fi transferată prin operații elementare pe orice plan paralel cu planul perechii; modificați mărimea forțelor perechii invers proporțional cu umerii perechii.

Se pot adăuga perechi de forțe, iar momentele perechilor de forțe se adună după regula adunării vectorilor (liberi).

Aducerea unui sistem de forțe care acționează asupra unui corp rigid într-un punct arbitrar (centrul de reducere)- înseamnă înlocuirea sistemului actual cu unul mai simplu: un sistem de trei forțe, dintre care una trece prin față punct dat, iar celelalte două reprezintă un cuplu.

Se poate dovedi prin operații elementare (Fig. 13).

Un sistem de forțe convergente și un sistem de perechi de forțe.

- forță rezultantă.

Perechea rezultată.

Asta trebuia arătat.

Două sisteme de forțe voi echivalent dacă și numai dacă ambele sisteme sunt reduse la o forță rezultantă și o pereche rezultantă, adică atunci când sunt îndeplinite condițiile:

Caz general de echilibru al unui sistem de forțe care acționează asupra unui corp rigid

Să reducem sistemul de forțe la (Fig. 14):

Forța rezultată prin origine;

Perechea rezultată, în plus, prin punctul O.

Adică, au condus la și - două forțe, dintre care una trece printr-un punct dat O.

Echilibru, dacă cele două de pe aceeași linie dreaptă sunt egale și opuse ca direcție (axioma 2).

Apoi trece prin punctul O, adică.

Asa de, condiții generale pentru echilibrul unui corp solid:

Aceste condiții sunt valabile pentru un punct arbitrar din spațiu.

Întrebări de control:

1. Enumeraţi operaţiile elementare asupra forţelor.

2. Ce sisteme de forţe se numesc echivalente?

3. Scrieţi condiţiile generale pentru echilibrul unui corp rigid.

Cursul 3. Ecuații de echilibru pentru un corp rigid

Fie O originea coordonatelor; – forța rezultantă – momentul perechii rezultante. Fie punctul O1 centru nou gipsuri (Fig. 15).

Noul sistem de alimentare:

Când punctul de reducere se schimbă, => se modifică doar (într-o direcție cu un semn, în cealaltă direcție cu alta). Adică punctul: liniile se potrivesc

Analitic: (colinearitatea vectorilor)

; coordonatele punctului O1.

Aceasta este ecuația unei linii drepte, pentru toate punctele a căror direcție a vectorului rezultat coincide cu direcția momentului perechii rezultate - linia dreaptă se numește dinam.

Daca dinamismul => pe axa, atunci sistemul este echivalent cu o forta rezultanta, care se numeste forța rezultantă a sistemului.În același timp, întotdeauna, adică.

Patru cazuri de aducere de forțe:

1.) ;- dinamism.

2.) ;- rezultanta.

3.) ;- pereche.

4.) ;- echilibru.

Două ecuații de echilibru vectorial: vectorul principal și punctul principal sunt egale cu zero.

Sau șase ecuații scalare în proiecții pe axe de coordonate carteziene:

Aici:

Complexitatea tipului de ecuații depinde de alegerea punctului de reducere => priceperea calculatorului.

Găsirea condițiilor de echilibru pentru un sistem de corpuri solide în interacțiune<=>problema echilibrului fiecărui corp separat, iar asupra corpului acţionează forţe externe şi forţe interne (interacţiunea corpurilor în punctele de contact cu forţe egale şi direcţionate opus - axioma IV, Fig. 17).

Să alegem pentru toate corpurile sistemului un centru de aducție. Apoi, pentru fiecare corp cu numărul condiției de echilibru:

, , (= 1, 2, …, k)

unde , este forța și momentul rezultat al perechii rezultate de toate forțele, cu excepția reacțiilor interne.

Forța și momentul rezultat al perechii de forțe rezultate ale reacțiilor interne.

Însumând formal prin și ținând cont de axioma IV

primim conditiile necesare pentru echilibrul unui corp solid:

,

Exemplu.

Echilibru: = ?

Întrebări de control:

1. Numiți toate cazurile de aducere a unui sistem de forțe la un punct.

2. Ce este dinamismul?

3. Formulați condițiile necesare pentru echilibrul unui sistem de corpuri solide.

Cursul 4. Sistem de forță plată

Un caz special de livrare generală a problemei.

Lasă toate forte active stați în același plan - de exemplu, o foaie. Să alegem punctul O ca centru de reducere - în același plan. Obținem forța rezultată și aburul rezultat în același plan, adică (Fig. 19)

Cometariu.

Sistemul poate fi redus la o singură forță rezultantă.

Conditii de echilibru:

sau scalar:

Foarte frecvente în aplicații precum rezistența materialelor.

Exemplu.

Cu frecarea mingii pe tabla si pe plan. Stare de echilibru: = ?

Problema echilibrului unui corp rigid neliber.

Un corp rigid a cărui mișcare este constrânsă de legături se numește neliber. De exemplu, alte corpuri, elemente de fixare cu balamale.

La determinarea condițiilor de echilibru: un corp neliber poate fi considerat ca fiind liber, înlocuind legăturile cu forțe de reacție necunoscute.

Exemplu.

Întrebări de control:

1. Ce se numește un sistem plan de forțe?

2. Scrieți condițiile de echilibru pentru un sistem plan de forțe.

3. Care corp solid se numește neliber?

Cursul 5. Cazuri speciale de echilibru al corpului rigid

Teorema. Trei forțe echilibrează un corp rigid numai dacă toate se află în același plan.

Dovada.

Să alegem ca punct de reducere un punct de pe linia de acțiune a celei de-a treia forțe. Apoi (Fig. 22)

Adică planele S1 și S2 coincid și pentru orice punct de pe axa forței etc. (Mai simplu: în avion acolo doar pentru echilibrare).

Statică este o ramură a mecanicii teoretice în care se studiază condițiile de echilibru ale corpurilor materiale sub influența forțelor.

În statică, o stare de echilibru este înțeleasă ca o stare în care toate părțile unui sistem mecanic sunt în repaus (față de un sistem de coordonate fix). Deși metodele staticii sunt aplicabile și corpurilor în mișcare, iar cu ajutorul lor este posibil să se studieze problemele de dinamică, dar obiectele de bază ale studiului staticii sunt staționare. corpuri mecaniceși sisteme.

Forta este o măsură a influenței unui corp asupra altuia. Forța este un vector care are un punct de aplicare pe suprafața corpului. Sub influența unei forțe, un corp liber primește o accelerație proporțională cu vectorul forță și invers proporțională cu masa corpului.

Legea egalității de acțiune și reacție

Forța cu care acționează primul corp asupra celui de-al doilea este egală ca valoare absolută și opusă ca direcție forței cu care acționează al doilea corp asupra primului.

Principiul de întărire

Dacă un corp deformabil este în echilibru, atunci echilibrul său nu va fi perturbat dacă corpul este considerat absolut solid.

Statica unui punct material

Să luăm în considerare un punct material care este în echilibru. Și să acționeze n forțe asupra ei, k = 1, 2, ..., n.

Dacă un punct material este în echilibru, atunci suma vectorială a forțelor care acționează asupra acestuia este egală cu zero:
(1) .

În echilibru, suma geometrică a forțelor care acționează asupra unui punct este zero.

Interpretare geometrică. Dacă plasați începutul celui de-al doilea vector la sfârșitul primului vector și plasați începutul celui de-al treilea la sfârșitul celui de-al doilea vector și apoi continuați acest proces, atunci sfârșitul ultimului, al n-lea vector va fi aliniat. cu începutul primului vector. Adică obținem o figură geometrică închisă, lungimile laturilor sunt egale cu modulele vectorilor. Dacă toți vectorii se află în același plan, atunci obținem un poligon închis.

Este adesea convenabil să alegeți sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz. Atunci sumele proiecțiilor tuturor vectorilor de forță pe axele de coordonate sunt egale cu zero:

Dacă alegeți orice direcție specificată de un vector, atunci suma proiecțiilor vectorilor de forță pe această direcție este egală cu zero:
.
Să înmulțim scalar ecuația (1) cu vectorul:
.
Aici - produs scalar vectori și .
Rețineți că proiecția vectorului pe direcția vectorului este determinată de formula:
.

Statica corpului rigid

Moment de forță în jurul unui punct

Determinarea momentului de forță

Interpretare geometrică

Momentul forței este egal cu produsul forței F și brațului OH.

Fie vectorii și să fie localizați în planul desenului. După proprietate produs vectorial, vectorul este perpendicular pe vectori și , adică perpendicular pe planul desenului. Direcția sa este determinată de regula corectă a șurubului. În figură, vectorul cuplului este îndreptat către noi. Valoarea absolută a cuplului:
.
De atunci
(3) .

Folosind geometria, putem da o interpretare diferită a momentului de forță. Pentru a face acest lucru, trageți o linie dreaptă AH prin vectorul forță. Din centrul O coborâm perpendiculara OH pe această dreaptă. Lungimea acestei perpendiculare se numește umărul puterii. Apoi
(4) .
Deoarece , atunci formulele (3) și (4) sunt echivalente.

Prin urmare, valoarea absolută a momentului de forță relativ la centrul O este egal cu produsul forței pe umăr această forță în raport cu centrul selectat O.

Când se calculează cuplul, este adesea convenabil să se descompună forța în două componente:
,
Unde . Forța trece prin punctul O. Deci e momentul ei egal cu zero. Apoi
.
Valoarea absolută a cuplului:
.

Componentele momentului într-un sistem de coordonate dreptunghiular

Dacă alegem un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz cu un centru în punctul O, atunci momentul forței va avea următoarele componente:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Iată coordonatele punctului A din sistemul de coordonate selectat:
.
Componentele reprezintă valorile momentului de forță despre axe, respectiv.

Proprietățile momentului de forță relativ la centru

Momentul în jurul centrului O, datorită forței care trece prin acest centru, este egal cu zero.

Dacă punctul de aplicare al forței este deplasat de-a lungul unei linii care trece prin vectorul forță, atunci momentul, cu o astfel de mișcare, nu se va schimba.

Momentul din suma vectorială a forțelor aplicate unui punct al corpului este egal cu suma vectorială a momentelor din fiecare dintre forțele aplicate în același punct:
.

Același lucru se aplică forțelor ale căror drepte de continuare se intersectează într-un punct. În acest caz, punctul lor de intersecție ar trebui luat ca punct de aplicare a forțelor.

Dacă suma vectorială a forțelor este zero:
,
atunci suma momentelor din aceste forțe nu depinde de poziția centrului față de care sunt calculate momentele:
.

Câteva forțe

Câteva forțe- acestea sunt două forțe, egale ca mărime absolută și având direcții opuse, aplicate în puncte diferite ale corpului.

O pereche de forțe se caracterizează prin momentul în care se creează. Deoarece suma vectorială a forțelor care intră în pereche este zero, momentul creat de pereche nu depinde de punctul relativ la care este calculat momentul. Din punctul de vedere al echilibrului static, natura forțelor implicate în pereche nu contează. Câteva forțe sunt folosite pentru a indica faptul că un moment de forță de o anumită valoare acționează asupra unui corp.

Moment de forță în jurul unei axe date

Există adesea cazuri când nu trebuie să cunoaștem toate componentele momentului unei forțe despre un punct selectat, ci trebuie doar să cunoaștem momentul unei forțe în jurul unei axe selectate.

Momentul de forță în jurul unei axe care trece prin punctul O este proiecția vectorului momentului de forță, raportat la punctul O, pe direcția axei.

Proprietățile momentului de forță în jurul axei

Momentul în jurul axei datorat forței care trece prin această axă este egal cu zero.

Momentul în jurul unei axe datorat unei forțe paralele cu această axă este egal cu zero.

Calculul momentului de forță în jurul unei axe

Fie ca o forță să acționeze asupra corpului în punctul A. Să găsim momentul acestei forțe în raport cu axa O′O′′.

Să construim un sistem de coordonate dreptunghiular. Lasă axa Oz să coincidă cu O′O′′. Din punctul A coborâm perpendiculara OH pe O′O′′. Prin punctele O și A trasăm axa Ox. Desenăm axa Oy perpendiculară pe Ox și Oz. Să descompunăm forța în componente de-a lungul axelor sistemului de coordonate:
.
Forța intersectează axa O′O′′. Prin urmare, momentul său este zero. Forța este paralelă cu axa O′O′′. Prin urmare, și momentul său este zero. Folosind formula (5.3) găsim:
.

Rețineți că componenta este direcționată tangențial la cercul al cărui centru este punctul O. Direcția vectorului este determinată de regula șurubului drept.

Condiții pentru echilibrul unui corp rigid

În echilibru, suma vectorială a tuturor forțelor care acționează asupra corpului este egală cu zero, iar suma vectorială a momentelor acestor forțe relativ la un centru fix arbitrar este egală cu zero:
(6.1) ;
(6.2) .

Subliniem că centrul O, raportat la care se calculează momentele forțelor, poate fi ales arbitrar. Punctul O poate aparține corpului sau poate fi situat în afara acestuia. De obicei, centrul O este ales pentru a simplifica calculele.

Condițiile de echilibru pot fi formulate în alt mod.

În echilibru, suma proiecțiilor forțelor pe orice direcție specificată de un vector arbitrar este egală cu zero:
.
Suma momentelor forțelor relativ la o axă arbitrară O′O′′ este, de asemenea, egală cu zero:
.

Uneori, astfel de condiții se dovedesc a fi mai convenabile. Există cazuri când, prin selectarea axelor, calculele pot fi simplificate.

Centrul de greutate al corpului

Să luăm în considerare unul dintre cele mai importante forţe- gravitatie. Aici forțele nu sunt aplicate în anumite puncte ale corpului, ci sunt distribuite continuu în volumul acestuia. Pentru fiecare zonă a corpului cu un volum infinitezimal ΔV, acționează forța gravitației. Aici ρ este densitatea substanței corpului și este accelerația gravitației.

Fie masa unei părți infinit de mică a corpului. Și punctul A k determină poziția acestei secțiuni. Să găsim mărimile legate de gravitație care sunt incluse în ecuațiile de echilibru (6).

Să aflăm suma forțelor gravitaționale formate de toate părțile corpului:
,
unde este masa corporală. Astfel, suma forțelor gravitaționale ale părților infinitezimale individuale ale corpului poate fi înlocuită cu un vector al forței gravitaționale a întregului corp:
.

Să găsim suma momentelor de greutate, într-un mod relativ arbitrar pentru centrul selectat O:

.
Aici am introdus punctul C, care se numește centrul de greutate corpuri. Poziția centrului de greutate, într-un sistem de coordonate centrat în punctul O, este determinată de formula:
(7) .

Deci, atunci când se determină echilibrul static, suma forțelor gravitaționale ale părților individuale ale corpului poate fi înlocuită cu rezultanta
,
aplicat pe centrul de masă al corpului C, a cărui poziție este determinată de formula (7).

Poziția centrului de greutate pentru diferite forme geometrice pot fi găsite în cărțile de referință relevante. Dacă un corp are o axă sau un plan de simetrie, atunci centrul de greutate este situat pe această axă sau plan. Astfel, centrele de greutate ale unei sfere, cerc sau cerc sunt situate la centrele cercurilor acestor figuri. Centrele de greutate ale unui paralelipiped dreptunghic, dreptunghi sau pătrat sunt, de asemenea, situate în centrele lor - în punctele de intersecție ale diagonalelor.

Sarcina distribuită uniform (A) și liniar (B).

Există și cazuri asemănătoare gravitației, când forțele nu sunt aplicate în anumite puncte ale corpului, ci sunt distribuite continuu pe suprafața sau volumul acestuia. Astfel de forțe sunt numite forțe distribuite sau .

Forțele de frecare

Frecare de alunecare. Lăsați corpul să fie pe o suprafață plană. Și să fie forța perpendiculară pe suprafața cu care suprafața acționează asupra corpului (forța de presiune). Apoi forța de frecare de alunecare este paralelă cu suprafața și îndreptată lateral, împiedicând mișcarea corpului. Cea mai mare valoare a sa este:
,
unde f este coeficientul de frecare. Coeficientul de frecare este o mărime adimensională.

Frecare de rulare. Lasă corpul forma rotunda se rulează sau se poate rostogoli pe o suprafață. Și să fie forța de presiune perpendiculară pe suprafața de pe care suprafața acționează asupra corpului. Apoi un moment de forte de frecare actioneaza asupra corpului, in punctul de contact cu suprafata, impiedicand miscarea corpului. Cea mai mare valoare a momentului de frecare este egală cu:
,
unde δ este coeficientul de frecare la rulare. Are dimensiunea lungimii.

Referinte:
S. M. Targ, Curs scurt mecanică teoretică, „Școala superioară”, 2010.

1. Concepte de bază ale mecanicii teoretice.

2. Structura cursului de mecanică teoretică.

1. Mecanica (în sens larg) este știința mișcării corpurilor materiale în spațiu și timp. Reunește o serie de discipline, ale căror obiecte de studiu sunt corpurile solide, lichide și gazoase. Mecanica teoretică , Teoria elasticității, rezistența materialelor, mecanica fluidelor, dinamica gazelor și aerodinamica- nu departe lista plina diverse ramuri ale mecanicii.

După cum se poate vedea din numele lor, ele diferă unele de altele în primul rând prin obiectele de studiu. Mecanica teoretică studiază mișcarea celor mai simple dintre ele - corpuri rigide. Simplitatea obiectelor studiate în mecanica teoretică face posibilă identificarea celor mai generale legi ale mișcării care sunt valabile pentru toate corpurile materiale, indiferent de specificul lor. proprietăți fizice. Prin urmare, mecanica teoretică poate fi considerată ca bază a mecanicii generale.

2. Cursul de mecanică teoretică este alcătuit din trei secțiuni: statică, cinematicăȘidifuzoare .

ÎNÎn statică, se ia în considerare doctrina generală a forțelor și se derivă condițiile de echilibru pentru corpurile solide.

În cinematică se conturează metode matematice de precizare a mișcării corpurilor și se derivă formule care determină principalele caracteristici ale acestei mișcări (viteză, accelerație etc.).

În dinamică printr-o mișcare dată ei determină forțele care provoacă această mișcare și, dimpotrivă, prin forțele date determină modul în care se mișcă corpul.

Punct material numit punct geometric, având masă.

Sistem de puncte materiale se numește o mulțime de ele în care poziția și mișcarea fiecărui punct depind de poziția și mișcarea tuturor celorlalte puncte ale sistemului dat. Sistemul de puncte materiale este adesea numit sistem mecanic . Un caz special al unui sistem mecanic este absolut solid.

Absolut solid este un corp în care distanța dintre oricare două puncte rămâne întotdeauna neschimbată (adică este un corp absolut puternic și nedeformabil).

Gratuit numit corp rigid a cărui mișcare nu este limitată de alte corpuri.

Neliber numiți un corp a cărui mișcare este, într-un fel sau altul, limitată de alte corpuri. Acestea din urmă în mecanică se numesc conexiuni .

Cu forta este o măsură a acțiunii mecanice a unui corp asupra altuia. Întrucât interacțiunea corpurilor este determinată nu numai de intensitatea sa, ci și de direcția acesteia, forța este o mărime vectorială și este reprezentată în desene de un segment (vector) direcționat. Pe unitatea de forță din sistem SI admis newton (N) . Forțele sunt desemnate cu majuscule ale alfabetului latin (A, Y, Z, J...). Vom nota valori numerice (sau module de mărimi vectoriale) cu aceleași litere, dar fără săgețile de sus (F, S, P, Q...).

Linia de acțiune a forței se numește linie dreaptă de-a lungul căreia este îndreptat vectorul forță.

Sistemul de forțe este orice set finit de forțe care acționează asupra unui sistem mecanic. Se obișnuiește să se împartă sistemele de forțe în apartament (toate forțele acționează într-un singur plan) și spațială . Fiecare dintre ei, la rândul său, poate fi oricare arbitrar sau paralel (liniile de acțiune ale tuturor forțelor sunt paralele) sau sistem de forțe convergente (liniile de acțiune ale tuturor forțelor se intersectează într-un punct).

Cele două sisteme de forțe se numesc echivalent , dacă acțiunile lor asupra sistemului mecanic sunt aceleași (adică, înlocuirea unui sistem de forțe cu altul nu schimbă natura mișcării sistemului mecanic).

Dacă un anumit sistem de forțe este echivalent cu o singură forță, atunci această forță se numește rezultanta a acestui sistem de forţe. Să observăm că nu orice sistem de forțe are o forță rezultantă. Se numește o forță egală cu rezultanta ca mărime, opusă ca direcție și care acționează de-a lungul aceleiași drepte balansare cu forta.

Un sistem de forțe sub influența căruia un corp rigid liber este în repaus sau se mișcă uniform și rectiliniu se numește echilibrat sau echivalent cu zero.

Prin forțele interne sunt numite forțe de interacțiune între punctele materiale ale unui sistem mecanic.

Forțe externe- acestea sunt forțele de interacțiune dintre punctele unui sistem mecanic dat și punctele materiale ale altui sistem.

Forța aplicată unui corp în orice punct se numește concentrat .

Se numesc forțele care acționează asupra tuturor punctelor unui volum dat sau asupra unei părți date a suprafeței unui corp distribuite (după volum și respectiv suprafață).

Lista de concepte de bază de mai sus nu este exhaustivă. Alte concepte, nu mai puțin importante, vor fi introduse și clarificate în procesul de prezentare a materialului de curs.

În cadrul oricărui curs de pregatire Studiul fizicii începe cu mecanica. Nu din teoretic, nu din aplicat sau computațional, ci din mecanică clasică veche. Această mecanică este numită și mecanică newtoniană. Potrivit legendei, un om de știință se plimba prin grădină și a văzut un măr căzând, iar acest fenomen l-a determinat să descopere legea gravitației universale. Desigur, legea a existat dintotdeauna, iar Newton i-a dat doar o formă pe înțelesul oamenilor, dar meritul lui este neprețuit. În acest articol nu vom descrie legile mecanicii newtoniene cât mai detaliat posibil, dar vom schița elementele fundamentale, cunoștințele de bază, definițiile și formulele care vă pot juca întotdeauna.

Mecanica este o ramură a fizicii, o știință care studiază mișcarea corpurilor materiale și interacțiunile dintre ele.

Cuvântul în sine este de origine greacă și este tradus ca „arta de a construi mașini”. Dar înainte de a construi mașini, suntem încă ca Luna, așa că haideți să călcăm pe urmele strămoșilor noștri și să studiem mișcarea pietrelor aruncate în unghi față de orizont și a merelor care ne cad pe cap de la o înălțime h.

De ce începe studiul fizicii cu mecanica? Pentru că acest lucru este complet natural, nu ar trebui să începem cu echilibrul termodinamic?!

Mecanica este una dintre cele mai vechi științe, iar din punct de vedere istoric, studiul fizicii a început tocmai cu bazele mecanicii. Plasați în cadrul timpului și al spațiului, oamenii, de fapt, nu puteau începe cu altceva, oricât și-ar dori. Corpurile în mișcare sunt primul lucru la care acordăm atenție.

Ce este mișcarea?

Mișcarea mecanică este o modificare a poziției corpurilor în spațiu unul față de celălalt în timp.

După această definiție, ajungem în mod firesc la conceptul de cadru de referință. Schimbarea poziției corpurilor în spațiu unul față de celălalt. Cuvinte cheie Aici: relativ unul față de celălalt . La urma urmei, un pasager într-o mașină se mișcă față de persoana care stă pe marginea drumului cu o anumită viteză și se află în repaus față de vecinul său pe scaunul de lângă el și se mișcă cu o altă viteză față de pasager. în mașina care îi depășește.

De aceea, pentru a măsura în mod normal parametrii obiectelor în mișcare și a nu ne confunda, avem nevoie sistem de referință - corp de referință, sistem de coordonate și ceas interconectate rigid. De exemplu, pământul se mișcă în jurul soarelui într-un cadru de referință heliocentric. În viața de zi cu zi, efectuăm aproape toate măsurătorile într-un sistem de referință geocentric asociat cu Pământul. Pământul este un corp de referință în raport cu care se deplasează mașinile, avioanele, oamenii și animalele.

Mecanica, ca știință, are propria sa sarcină. Sarcina mecanicii este de a cunoaște poziția unui corp în spațiu în orice moment. Cu alte cuvinte, mecanica construiește o descriere matematică a mișcării și găsește conexiuni între mărimi fizice, care o caracterizează.

Pentru a merge mai departe, avem nevoie de conceptul „ punct material " Ei spun că fizica este o știință exactă, dar fizicienii știu câte aproximări și presupuneri trebuie făcute pentru a fi de acord cu exactitatea aceasta. Nimeni nu a văzut vreodată punct materialși nu au mirosit gazul ideal, dar ele există! Pur și simplu, sunt mult mai ușor de trăit cu ele.

Un punct material este un corp a cărui dimensiune și formă pot fi neglijate în contextul acestei probleme.

Secțiuni de mecanică clasică

Mecanica este formată din mai multe secțiuni

• Cinematică
• Dinamica
• Statică

Cinematică din punct de vedere fizic, studiază exact cum se mișcă un corp. Cu alte cuvinte, această secțiune tratează caracteristicile cantitative ale mișcării. Găsiți viteza, calea - probleme tipice de cinematică

Dinamica rezolvă întrebarea de ce se mișcă așa cum o face. Adică ia în considerare forțele care acționează asupra corpului.

Statică studiază echilibrul corpurilor sub influența forțelor, adică răspunde la întrebarea: de ce nu cade deloc?

Limitele de aplicabilitate ale mecanicii clasice.

Mecanica clasica nu mai pretinde a fi o știință care explică totul (la începutul secolului trecut totul era complet diferit), și are un cadru clar de aplicabilitate. În general, legile mecanicii clasice sunt valabile în lumea cu care suntem obișnuiți ca mărime (macroworld). Ei nu mai funcționează în cazul lumii particulelor, când mecanica cuantică înlocuiește mecanica clasică. De asemenea, mecanica clasică nu este aplicabilă cazurilor în care mișcarea corpurilor are loc la o viteză apropiată de viteza luminii. În astfel de cazuri, efectele relativiste devin pronunțate. În linii mari, în cadrul mecanicii cuantice și relativiste, mecanica clasică este caz special, când dimensiunea corpului este mare și viteza este mică. Puteți afla mai multe despre el din articolul nostru.

În general, efectele cuantice și relativiste nu dispar niciodată, ele apar și în timpul mișcării obișnuite a corpurilor macroscopice la o viteză mult mai mică decât viteza luminii. Un alt lucru este că efectul acestor efecte este atât de mic încât nu depășește cele mai precise măsurători. Mecanica clasică nu își va pierde niciodată importanța fundamentală.

Vom continua să studiem bazele fizice ale mecanicii în articolele viitoare. Pentru o mai bună înțelegere a mecanicii, puteți oricând să apelați la ei, care vor arunca individual lumină asupra punctului întunecat al celei mai dificile sarcini.