Tipuri de triunghiuri isoscele. Proprietățile unui triunghi. Inclusiv egalitatea și asemănarea, triunghiurile congruente, laturile unui triunghi, unghiurile unui triunghi, aria unui triunghi - formule de calcul, triunghiul dreptunghic, isoscel

Astăzi mergem în țara Geometriei, unde ne vom familiariza cu diferite tipuri de triunghiuri.

Luați în considerare formele geometrice și găsiți-o pe cea „în plus” dintre ele (Fig. 1).

Orez. 1. Ilustrație de exemplu

Vedem că figurile nr. 1, 2, 3, 5 sunt patrulatere. Fiecare dintre ele are propriul nume (Fig. 2).

Orez. 2. Cadrilatere

Aceasta înseamnă că figura „în plus” este un triunghi (Fig. 3).

Orez. 3. Ilustrație de exemplu

Un triunghi este o figură care constă din trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi.

Punctele sunt numite vârfurile triunghiului, segmente - lui petreceri. Laturile triunghiului formează Există trei unghiuri la vârfurile unui triunghi.

Principalele caracteristici ale unui triunghi sunt trei laturi si trei colturi. După mărimea unghiului, triunghiurile sunt acută, dreptunghiulară și obtuză.

Un triunghi se numește unghi ascuțit dacă toate cele trei unghiuri ale sale sunt acute, adică mai mici de 90° (Fig. 4).

Orez. 4. Triunghi acut

Un triunghi se numește dreptunghiular dacă unul dintre unghiurile sale este de 90° (Fig. 5).

Orez. 5. Triunghi dreptunghic

Un triunghi se numește obtuz dacă unul dintre unghiurile sale este obtuz, adică mai mult de 90° (Fig. 6).

Orez. 6. Triunghi obtuz

Pe baza numărului de laturi egale, triunghiurile sunt echilaterale, isoscele, scalene.

Un triunghi isoscel este unul în care două laturi sunt egale (Fig. 7).

Orez. 7. Triunghi isoscel

Aceste părți sunt numite lateral, A treia parte - bază. Într-un triunghi isoscel, unghiurile de bază sunt egale.

Există triunghiuri isoscele acut și obtuz(Fig. 8) .

Orez. 8. Triunghiuri isoscele acute și obtuze

Un triunghi echilateral este unul în care toate cele trei laturi sunt egale (Fig. 9).

Orez. 9. Triunghi echilateral

Într-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt egale. Triunghiuri echilaterale Mereu unghiular acut.

Un scalen este un triunghi în care toate cele trei laturi au lungimi diferite (Fig. 10).

Orez. 10. Triunghi scalen

Finalizați sarcina. Distribuiți aceste triunghiuri în trei grupuri (Fig. 11).

Orez. 11. Ilustrație pentru sarcină

Mai întâi, să distribuim în funcție de dimensiunea unghiurilor.

Triunghiuri acute: nr. 1, nr. 3.

Triunghiuri dreptunghiulare: nr. 2, nr. 6.

Triunghiuri obtuze: nr. 4, nr. 5.

Vom distribui aceleași triunghiuri în grupuri în funcție de numărul de laturi egale.

Triunghiuri scalene: nr. 4, nr. 6.

Triunghiuri isoscele: nr. 2, nr. 3, nr. 5.

Triunghi echilateral: nr. 1.

Uită-te la poze.

Gândiți-vă din ce bucată de sârmă a fost făcut fiecare triunghi (Fig. 12).

Orez. 12. Ilustrație pentru sarcină

Puteți gândi așa.

Prima bucată de sârmă este împărțită în trei părți egale, astfel încât să puteți face un triunghi echilateral din ea. El este arătat al treilea în imagine.

A doua bucată de sârmă este împărțită în trei părți diferite, astfel încât poate fi folosită pentru a face un triunghi scalen. Este afișat primul în imagine.

A treia bucată de sârmă este împărțită în trei părți, unde două părți au aceeași lungime, ceea ce înseamnă că din ea se poate face un triunghi isoscel. În imagine el este arătat al doilea.

Astăzi în clasă am învățat despre diferite tipuri de triunghiuri.

Bibliografie

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova și alții Matematică: manual. Clasa a III-a: în 2 părți, partea 1. - M.: „Iluminări”, 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova și alții Matematică: manual. Clasa a III-a: în 2 părți, partea a 2-a. - M.: „Iluminări”, 2012.
3. M.I. Moro. Lecții de matematică: Recomandări metodologice pentru profesori. clasa a 3-a. - M.: Educație, 2012.
4. Document de reglementare. Monitorizarea si evaluarea rezultatelor invatarii. - M.: „Iluminismul”, 2011.
5. „Școala Rusiei”: programe pentru școala primară. - M.: „Iluminismul”, 2011.
6. SI. Volkova. Matematică: Lucru de probă. clasa a 3-a. - M.: Educație, 2012.
7. V.N. Rudnitskaia. Teste. - M.: „Examen”, 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Teme pentru acasă

1. Completează frazele.

a) Un triunghi este o figură formată din ... care nu se află pe aceeași dreaptă și ... care leagă aceste puncte în perechi.

b) Punctele sunt numite … , segmente - lui … . Laturile triunghiului se formează la vârfurile triunghiului ….

c) După mărimea unghiului, triunghiurile sunt ... , ... , ... .

d) Pe baza numărului de laturi egale, triunghiurile sunt ... , ... , ... .

2. Desenați

a) triunghi dreptunghic;

b) triunghi acut;

c) triunghi obtuz;

d) triunghi echilateral;

e) triunghi scalen;

e) triunghi isoscel.

3. Creați o temă pe tema lecției pentru prietenii dvs.

Triunghiuri

Triunghi este o figură care constă din trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi. Punctele sunt numite culmi triunghi, iar segmentele sunt ale acestuia petreceri.

Tipuri de triunghiuri

Triunghiul se numește isoscel, dacă cele două laturi ale sale sunt egale. Aceste laturi egale sunt numite laturi, iar tertul este chemat bază triunghi.

Se numește un triunghi în care toate laturile sunt egale echilateral sau corect.

Triunghiul se numește dreptunghiular, dacă are unghi drept, atunci există un unghi de 90°. Latura unui triunghi dreptunghic opus unghiului drept se numește ipotenuză, celelalte două părți sunt numite picioare.

Triunghiul se numește unghi ascutit, dacă toate cele trei unghiuri ale sale sunt acute, adică mai mici de 90°.

Triunghiul se numește obtuz, dacă unul dintre unghiurile sale este obtuz, adică mai mult de 90°.

Liniile de bază ale triunghiului

Median

Median al unui triunghi este un segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse a acestui triunghi.

Proprietățile medianelor triunghiulare

Mediana împarte un triunghi în două triunghiuri de suprafață egală.

Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct, care împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de la vârf. Acest punct se numește centrul de greutate triunghi.

Întregul triunghi este împărțit de medianele sale în șase triunghiuri egale.

Bisectoare

Bisectoarea unghiului este o rază care emană din vârful ei, trece între laturile sale și traversează un unghi dat. Bisectoarea unui triunghi numit segmentul bisectoare al unui unghi al unui triunghi care leagă un vârf de un punct de pe latura opusă acestui triunghi.

Proprietățile bisectoarelor triunghiului

Înălţime

Înălţime a unui triunghi este perpendiculara trasată de la vârful triunghiului la dreapta care conține latura opusă a acestui triunghi.

Proprietățile altitudinilor triunghiului

ÎN triunghi dreptunghic altitudinea trasată de la vârful unui unghi drept îl împarte în două triunghiuri, asemănătoare original.

ÎN triunghi acut cele două înălțimi ale ei tăiate de ea asemănătoare triunghiuri.

Perpendiculară mediană

O linie dreaptă care trece prin mijlocul unui segment perpendicular pe acesta se numește bisectoare perpendiculară la segment .

Proprietățile bisectoarelor perpendiculare ale unui triunghi

Fiecare punct al bisectoarei perpendiculare a unui segment este echidistant de capetele acelui segment. Este adevărat și invers: fiecare punct echidistant de capetele unui segment se află pe bisectoarea perpendiculară pe acesta.

Punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare trasate pe laturile triunghiului este centrul circumcercul acestui triunghi.

linia de mijloc

Linia de mijloc a triunghiului numit segment care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale.

Proprietatea liniei mediane a unui triunghi

Linia mediană a unui triunghi este paralelă cu una dintre laturile sale și egală cu jumătate din acea latură.

Formule și rapoarte

Semne de egalitate a triunghiurilor

Două triunghiuri sunt egale dacă sunt, respectiv, egale:

două laturi și unghiul dintre ele;

două colțuri și partea adiacentă acestora;

trei laturi.

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare

Două triunghi dreptunghic sunt egale dacă sunt, respectiv, egale:

ipotenuzăși un unghi ascuțit;

piciorși unghiul opus;

piciorși unghiul adiacent;

Două picior;

ipotenuzăȘi picior.

Asemănarea triunghiurilor

Două triunghiuri asemănătoare dacă una dintre următoarele condiții, apelat semne de asemănare:

două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu două unghiuri ale altui triunghi;

două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu două laturi ale altui triunghi, iar unghiurile formate de aceste laturi sunt egale;

cele trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, proportionale cu cele trei laturi ale celuilalt triunghi.

În triunghiuri similare, liniile corespunzătoare ( înălțimi, mediane, bisectoare etc.) sunt proporţionale.

Teorema sinusurilor

Laturile unui triunghi sunt proportionale cu sinusurile unghiurilor opuse, iar coeficientul de proportionalitate este egal cu diametru cerc circumscris unui triunghi:

Teorema cosinusului

Pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul acestor laturi și cosinusul unghiului dintre ele:

A 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos

Formulele ariei triunghiulare

Triunghiul liber

a, b, c - laterale; - unghiul dintre laturi AȘi b;- semiperimetrul; R- raza cercului circumscris; r- raza cercului înscris; S- pătrat; h A - înălțimea trasă în lateral A.

Știința geometriei ne spune ce sunt un triunghi, un pătrat și un cub. În lumea modernă, toată lumea, fără excepție, îl studiază în școli. De asemenea, știința care studiază direct ce este un triunghi și ce proprietăți are este trigonometria. Ea explorează în detaliu toate fenomenele legate de date. Vom vorbi despre ce este un triunghi astăzi în articolul nostru. Tipurile lor vor fi descrise mai jos, precum și unele teoreme asociate acestora.

Ce este un triunghi? Definiție

Acesta este un poligon plat. Are trei colțuri, așa cum reiese din numele său. Are, de asemenea, trei laturi și trei vârfuri, primul dintre ele sunt segmente, al doilea sunt puncte. Știind cu ce sunt egale două unghiuri, îl puteți găsi pe al treilea scăzând suma primelor două din numărul 180.

Ce tipuri de triunghiuri există?

Ele pot fi clasificate după diverse criterii.

În primul rând, ele sunt împărțite în unghi acut, unghi obtuz și dreptunghiular. Primele au unghiuri ascuțite, adică cele care sunt egale cu mai puțin de 90 de grade. În unghiurile obtuze, unul dintre unghiuri este obtuz, adică unul egal cu mai mult de 90 de grade, celelalte două sunt acute. Triunghiurile acute includ și triunghiuri echilaterale. Astfel de triunghiuri au toate laturile și unghiurile egale. Toate sunt egale cu 60 de grade, acest lucru poate fi calculat cu ușurință împărțind suma tuturor unghiurilor (180) la trei.

Triunghi dreptunghic

Este imposibil să nu vorbim despre ce este un triunghi dreptunghic.

O astfel de figură are un unghi egal cu 90 de grade (dreaptă), adică două dintre laturile sale sunt perpendiculare. Cele două unghiuri rămase sunt acute. Ele pot fi egale, atunci va fi isoscel. Teorema lui Pitagora este legată de triunghiul dreptunghic. Folosind-o, puteți găsi a treia latură, cunoscând primele două. Conform acestei teoreme, dacă adăugați pătratul unui catete la pătratul celuilalt, puteți obține pătratul ipotenuzei. Pătratul catetei poate fi calculat scăzând pătratul catetei cunoscute din pătratul ipotenuzei. Vorbind despre ce este un triunghi, ne putem aminti și un triunghi isoscel. Acesta este unul în care două dintre laturi sunt egale și două unghiuri sunt, de asemenea, egale.

Ce sunt catelul și ipotenuza?

Un catete este una dintre laturile unui triunghi care formează un unghi de 90 de grade. Ipotenuza este latura rămasă care este opusă unghiului drept. Puteți coborî o perpendiculară de pe picior. Raportul dintre latura adiacentă și ipotenuză se numește cosinus, iar latura opusă se numește sinus.

- care sunt caracteristicile sale?

Este dreptunghiulară. Picioarele sale sunt trei și patru, iar ipotenuza este cinci. Dacă vezi că catetele unui triunghi dat sunt egale cu trei și patru, poți fi sigur că ipotenuza va fi egală cu cinci. De asemenea, folosind acest principiu, puteți determina cu ușurință că catetul va fi egal cu trei dacă al doilea este egal cu patru, iar ipotenuza este cinci. Pentru a demonstra această afirmație, puteți aplica teorema lui Pitagora. Dacă două catete sunt egale cu 3 și 4, atunci 9 + 16 = 25, rădăcina lui 25 este 5, adică ipotenuza este egală cu 5. Un triunghi egiptean este și un triunghi dreptunghic ale cărui laturi sunt egale cu 6, 8 și 10; 9, 12 și 15 și alte numere cu raportul 3:4:5.

Ce altceva ar putea fi un triunghi?

Triunghiurile pot fi, de asemenea, înscrise sau circumscrise. Figura în jurul căreia este descris cercul se numește înscris, toate vârfurile sale sunt puncte situate pe cerc. Un triunghi circumscris este unul în care este înscris un cerc. Toate laturile sale intră în contact cu el în anumite puncte.

Cum este localizat?

Aria oricărei figuri este măsurată în unități pătrate (metri pătrați, milimetri pătrați, centimetri pătrați, decimetri pătrați etc.) Această valoare poate fi calculată într-o varietate de moduri, în funcție de tipul de triunghi. Aria oricărei figuri cu unghiuri poate fi găsită prin înmulțirea laturii sale cu perpendiculara căzută pe ea din colțul opus și împărțind această cifră la două. De asemenea, puteți găsi această valoare înmulțind cele două părți. Apoi înmulțiți acest număr cu sinusul unghiului situat între aceste laturi și împărțiți acest rezultat la doi. Cunoscând toate laturile unui triunghi, dar neștiind unghiurile acestuia, puteți găsi zona într-un alt mod. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți jumătate din perimetru. Apoi scădeți alternativ diferite laturi din acest număr și înmulțiți cele patru valori rezultate. Apoi, găsiți din numărul care a ieșit. Aria unui triunghi înscris poate fi găsită înmulțind toate laturile și împărțind numărul rezultat la cel circumscris în jurul lui, înmulțit cu patru.

Aria unui triunghi circumscris se găsește în acest fel: înmulțim jumătate din perimetru cu raza cercului care este înscris în el. Dacă atunci aria sa poate fi găsită după cum urmează: pătratează latura, înmulțiți cifra rezultată cu rădăcina a trei, apoi împărțiți acest număr la patru. Într-un mod similar, puteți calcula înălțimea unui triunghi în care toate laturile sunt egale, pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți una dintre ele cu rădăcina a trei, apoi împărțiți acest număr la doi.

Teoreme legate de triunghi

Principalele teoreme care sunt asociate cu această figură sunt teorema lui Pitagora descrisă mai sus și cosinusurile. Al doilea (din sinusuri) este că, dacă împărțiți orice latură la sinusul unghiului opus acesteia, puteți obține raza cercului care este descris în jurul ei, înmulțită cu două. Al treilea (cosinus) este că dacă din suma pătratelor celor două laturi scădem produsul lor, înmulțit cu doi și cosinusul unghiului situat între ele, atunci obținem pătratul celei de-a treia laturi.

Triunghiul Dali - ce este?

Mulți, când se confruntă cu acest concept, cred la început că acesta este un fel de definiție în geometrie, dar nu este deloc așa. Triunghiul Dali este numele comun pentru trei locuri care sunt strâns legate de viața celebrului artist. „Vârfurile” sale sunt casa în care a locuit Salvador Dali, castelul pe care l-a dăruit soției sale, precum și muzeul de picturi suprarealiste. În timpul unui tur al acestor locuri puteți afla multe fapte interesante despre acest artist creativ unic, cunoscut în întreaga lume.

Cel mai simplu poligon care este studiat la școală este un triunghi. Este mai ușor de înțeles pentru elevi și întâmpină mai puține dificultăți. În ciuda faptului că există diferite tipuri de triunghiuri, care au proprietăți speciale.

Ce formă se numește triunghi?

Format din trei puncte și segmente. Primele se numesc vârfuri, cele doua se numesc laturi. Mai mult, toate cele trei segmente trebuie conectate astfel încât să se formeze unghiuri între ele. De aici și numele figurii „triunghi”.

Diferențele de nume între colțuri

Deoarece pot fi acute, obtuze și drepte, tipurile de triunghiuri sunt determinate de aceste nume. În consecință, există trei grupuri de astfel de figuri.

• Primul. Dacă toate unghiurile unui triunghi sunt acute, atunci acesta va fi numit acut. Totul este logic.

• Al doilea. Unul dintre unghiuri este obtuz, ceea ce înseamnă că triunghiul este obtuz. Mai simplu nu poate fi.

• Al treilea. Există un unghi egal cu 90 de grade, care se numește unghi drept. Triunghiul devine dreptunghiular.

Diferențele de nume pe părțile laterale

În funcție de caracteristicile laturilor, se disting următoarele tipuri de triunghiuri:

cazul general este scalen, în care toate laturile sunt de lungime arbitrară;

isoscel, ale căror două laturi au aceleași valori numerice;

echilateral, lungimile tuturor laturilor sale sunt aceleași.

Dacă problema nu specifică un anumit tip de triunghi, atunci trebuie să desenați unul arbitrar. În care toate colțurile sunt ascuțite, iar părțile laterale au lungimi diferite.

Proprietăți comune tuturor triunghiurilor

1. Dacă adunăm toate unghiurile unui triunghi, obțineți un număr egal cu 180º. Și nu contează ce tip este. Această regulă se aplică întotdeauna.
2. Valoarea numerică a oricărei laturi a unui triunghi este mai mică decât a celorlalte două adunate. În plus, este mai mare decât diferența lor.
3. Fiecare unghi exterior are o valoare care se obține prin adăugarea a două unghiuri interne care nu sunt adiacente acestuia. Mai mult, este întotdeauna mai mare decât cea internă adiacentă acestuia.
4. Cel mai mic unghi este întotdeauna opus laturii mai mici a triunghiului. Și invers, dacă latura este mare, atunci unghiul va fi cel mai mare.

Aceste proprietăți sunt întotdeauna valabile, indiferent de tipurile de triunghiuri luate în considerare în probleme. Toate restul provin din caracteristici specifice.

Proprietățile unui triunghi isoscel

• Unghiurile care sunt adiacente bazei sunt egale.
• Înălțimea, care este trasă la bază, este, de asemenea, mediana și bisectoarea.
• Altitudinile, medianele și bisectoarele, care sunt construite pe laturile laterale ale triunghiului, sunt, respectiv, egale între ele.

Proprietățile unui triunghi echilateral

Dacă există o astfel de cifră, atunci toate proprietățile descrise puțin mai sus vor fi adevărate. Pentru că un echilateral va fi întotdeauna isoscel. Dar nu invers; un triunghi isoscel nu va fi neapărat echilateral.

• Toate unghiurile sale sunt egale între ele și au o valoare de 60º.
• Orice mediană a unui triunghi echilateral este altitudinea și bisectoarea acestuia. În plus, toți sunt egali unul cu celălalt. Pentru a determina valorile lor, există o formulă care constă din produsul laturii și rădăcina pătrată a lui 3 împărțit la 2.

Proprietățile unui triunghi dreptunghic

• Două unghiuri ascuțite se adună până la 90º.
• Lungimea ipotenuzei este întotdeauna mai mare decât cea a oricăruia dintre catete.
• Valoarea numerică a medianei trase la ipotenuză este egală cu jumătatea acesteia.
• Piciorul este egal cu aceeași valoare dacă se află opus unui unghi de 30º.
• Înălțimea, care este desenată din vârful cu o valoare de 90º, are o anumită dependență matematică de catete: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Aici: a, b - picioare, n - înălțime.

Probleme cu diferite tipuri de triunghiuri

Numarul 1. Dat un triunghi isoscel. Perimetrul său este cunoscut și egal cu 90 cm Trebuie să-i aflăm laturile. Ca o condiție suplimentară: partea laterală este de 1,2 ori mai mică decât baza.

Valoarea perimetrului depinde direct de cantitățile care trebuie găsite. Suma tuturor celor trei laturi va da 90 cm Acum trebuie să vă amintiți semnul unui triunghi, conform căruia este isoscel. Adică cele două părți sunt egale. Puteți crea o ecuație cu două necunoscute: 2a + b = 90. Aici a este latura, b este baza.

Acum este timpul pentru o condiție suplimentară. În urma acesteia, se obține a doua ecuație: b = 1,2a. Puteți înlocui această expresie în prima. Rezultă: 2a + 1,2a = 90. După transformări: 3,2a = 90. Prin urmare a = 28,125 (cm). Acum este ușor să aflați baza. Acest lucru se face cel mai bine din a doua condiție: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Pentru a verifica, puteți adăuga trei valori: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Asta e corect.

Răspuns: Laturile triunghiului sunt 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

nr 2. Latura unui triunghi echilateral este de 12 cm. Trebuie să-i calculezi înălțimea.

Soluţie. Pentru a găsi răspunsul, este suficient să revenim la momentul în care au fost descrise proprietățile triunghiului. Aceasta este formula pentru a afla înălțimea, mediana și bisectoarea unui triunghi echilateral.

n = a * √3 / 2, unde n este înălțimea și a este latura.

Înlocuirea și calculul dau următorul rezultat: n = 6 √3 (cm).

Nu este nevoie să memorezi această formulă. Este suficient să ne amintim că înălțimea împarte triunghiul în două dreptunghiulare. Mai mult, se dovedește a fi un catet, iar ipotenuza din el este latura celui original, al doilea catet este jumătate din latura cunoscută. Acum trebuie să scrieți teorema lui Pitagora și să obțineți o formulă pentru înălțime.

Răspuns: înălțimea este de 6 √3 cm.

Numarul 3. Având în vedere că MKR este un triunghi, în care unghiul K formează 90 de grade Laturile MR și KR sunt egale cu 30 și respectiv 15 cm. Trebuie să aflăm valoarea unghiului P.

Soluţie. Dacă faci un desen, devine clar că MR este ipotenuza. Mai mult, este de două ori mai mare decât partea laterală a KR. Din nou trebuie să apelați la proprietăți. Una dintre ele are legătură cu unghiurile. Din aceasta este clar că unghiul KMR este de 30º. Aceasta înseamnă că unghiul dorit P va fi egal cu 60º. Aceasta rezultă dintr-o altă proprietate, care afirmă că suma a două unghiuri ascuțite trebuie să fie egală cu 90º.

Răspuns: unghiul P este de 60º.

nr. 4. Trebuie să găsim toate unghiurile unui triunghi isoscel. Se știe despre acesta că unghiul exterior față de unghiul de la bază este de 110º.

Soluţie. Deoarece este dat doar unghiul exterior, acesta este ceea ce trebuie să utilizați. Formează un unghi desfășurat cu cel intern. Aceasta înseamnă că în total vor da 180º. Adică, unghiul de la baza triunghiului va fi egal cu 70º. Deoarece este isoscel, al doilea unghi are aceeași valoare. Rămâne de calculat al treilea unghi. Conform unei proprietăți comune tuturor triunghiurilor, suma unghiurilor este 180º. Aceasta înseamnă că al treilea va fi definit ca 180º - 70º - 70º = 40º.

Răspuns: unghiurile sunt 70º, 70º, 40º.

nr. 5. Se știe că într-un triunghi isoscel unghiul opus bazei este de 90º. Există un punct marcat pe bază. Segmentul care îl conectează la un unghi drept îl împarte în raport de 1 la 4. Trebuie să aflați toate unghiurile triunghiului mai mic.

Soluţie. Unul dintre unghiuri poate fi determinat imediat. Deoarece triunghiul este dreptunghic și isoscel, cei care se află la baza lui vor fi de 45º fiecare, adică 90º/2.

Al doilea dintre ele vă va ajuta să găsiți relația cunoscută în afecțiune. Deoarece este egal cu 1 la 4, părțile în care este împărțit sunt doar 5. Aceasta înseamnă că pentru a afla unghiul mai mic al unui triunghi aveți nevoie de 90º/5 = 18º. Rămâne de aflat pe al treilea. Pentru a face acest lucru, trebuie să scădeți 45º și 18º din 180º (suma tuturor unghiurilor triunghiului). Calculele sunt simple și obțineți: 117º.

În general, două triunghiuri sunt considerate similare dacă au aceeași formă, chiar dacă sunt de dimensiuni diferite, rotite sau chiar inversate.

Reprezentarea matematică a două triunghiuri similare A 1 B 1 C 1 și A 2 B 2 C 2 prezentate în figură este scrisă după cum urmează:

ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2

Două triunghiuri sunt similare dacă:

1. Fiecare unghi al unui triunghi este egal cu unghiul corespunzător al altui triunghi:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2Și ∠C 1 = ∠C 2

2. Raporturile dintre laturile unui triunghi și laturile corespunzătoare ale altui triunghi sunt egale între ele:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relații două părți un triunghi la laturile corespunzătoare ale altui triunghi sunt egale între ele și în același timp
unghiurile dintre aceste laturi sunt egale:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ și $\angle A_1 = \angle A_2$
sau
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ și $\angle B_1 = \angle B_2$
sau
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ și $\angle C_1 = \angle C_2$

Nu confundați triunghiuri similare cu triunghiuri egale. Triunghiurile egale au lungimea laturilor corespunzătoare egale. Prin urmare, pentru triunghiuri congruente:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

De aici rezultă că toate triunghiurile egale sunt similare. Cu toate acestea, nu toate triunghiurile similare sunt egale.

Deși notația de mai sus arată că pentru a afla dacă două triunghiuri sunt similare sau nu, trebuie să cunoaștem valorile celor trei unghiuri sau lungimile celor trei laturi ale fiecărui triunghi, pentru a rezolva probleme cu triunghiuri similare este suficient să știm oricare trei dintre valorile menționate mai sus pentru fiecare triunghi. Aceste cantități pot fi în diferite combinații:

1) trei unghiuri ale fiecărui triunghi (nu trebuie să știți lungimile laturilor triunghiurilor).

Sau cel puțin 2 unghiuri ale unui triunghi trebuie să fie egale cu 2 unghiuri ale altui triunghi.
Deoarece dacă 2 unghiuri sunt egale, atunci și al treilea unghi va fi egal (Valoarea celui de-al treilea unghi este 180 - unghi 1 - unghi 2).

2) lungimile laturilor fiecărui triunghi (nu trebuie să cunoașteți unghiurile);

3) lungimile celor două laturi și unghiul dintre ele.

În continuare ne vom uita la rezolvarea unor probleme cu triunghiuri similare. Vom privi mai întâi problemele care pot fi rezolvate folosind direct regulile de mai sus, apoi discutăm câteva probleme practice care pot fi rezolvate folosind metoda triunghiului similar.

Exersați probleme cu triunghiuri similare

Exemplul #1: Arătați că cele două triunghiuri din figura de mai jos sunt similare.

Soluţie:
Deoarece lungimile laturilor ambelor triunghiuri sunt cunoscute, a doua regulă poate fi aplicată aici:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Exemplul #2: Arătați că două triunghiuri date sunt similare și determinați lungimile laturilor PQȘi relatii cu publicul.

Soluţie:
∠A = ∠PȘi ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(deoarece ∠C = 180 - ∠A - ∠B și ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

De aici rezultă că triunghiurile ΔABC și ΔPQR sunt similare. Prin urmare:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ și
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Exemplul #3: Determinați lungimea ABîn acest triunghi.

Soluţie:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AEDȘi ∠A general => triunghiuri ΔABCȘi ΔADE Sunt asemănătoare.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\time AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Exemplul #4: Determinați lungimea AD (x) figura geometrică din imagine.

Triunghiurile ΔABC și ΔCDE sunt similare deoarece AB || DE și au un colț superior comun C.
Vedem că un triunghi este o versiune la scară a celuilalt. Cu toate acestea, trebuie să dovedim acest lucru matematic.

AB || DE, CD || AC și BC || E.C.
∠BAC = ∠EDC și ∠ABC = ∠DEC

Pe baza celor de mai sus și ținând cont de prezența unui unghi comun C, putem pretinde că triunghiurile ΔABC și ΔCDE sunt similare.

Prin urmare:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57$
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Exemple practice

Exemplul #5: Fabrica folosește o bandă transportoare înclinată pentru a transporta produsele de la nivelul 1 la nivelul 2, care este cu 3 metri mai sus decât nivelul 1, așa cum se arată în figură. Transportorul înclinat este deservit de la un capăt la nivelul 1 și de la celălalt capăt la un loc de muncă situat la o distanță de 8 metri de punctul de operare de nivelul 1.

Fabrica dorește să modernizeze transportorul pentru a accesa noul nivel, care se află la 9 metri deasupra nivelului 1, menținând în același timp unghiul de înclinare al transportorului.

Determinați distanța la care trebuie instalată noua stație de lucru pentru a vă asigura că transportorul va funcționa la noul său capăt de la nivelul 2. De asemenea, calculați distanța suplimentară pe care o va parcurge produsul atunci când trece la noul nivel.

Soluţie:

Mai întâi, să etichetăm fiecare punct de intersecție cu o anumită literă, așa cum se arată în figură.

Pe baza raționamentului dat mai sus în exemplele anterioare, putem concluziona că triunghiurile ΔABC și ΔADE sunt similare. Prin urmare,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Astfel, noul punct trebuie instalat la o distanta de 16 metri de punctul existent.

Și deoarece structura este formată din triunghiuri dreptunghiulare, putem calcula distanța de mișcare a produsului după cum urmează:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

În mod similar, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
care este distanța pe care produsul o parcurge în prezent când atinge nivelul existent.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
aceasta este distanța suplimentară pe care trebuie să o parcurgă un produs pentru a atinge un nou nivel.

Exemplul #6: Steve vrea să-și viziteze prietenul care s-a mutat recent într-o casă nouă. Harta rutieră către Steve și casa prietenului său, împreună cu distanțele cunoscute de Steve, sunt prezentate în figură. Ajută-l pe Steve să ajungă la casa prietenului său în cel mai scurt mod posibil.

Soluţie:

Harta rutieră poate fi reprezentată geometric în următoarea formă, așa cum se arată în figură.

Vedem că triunghiurile ΔABC și ΔCDE sunt similare, prin urmare:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Declarația problemei spune că:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km și DE = 5 km

Folosind aceste informații putem calcula următoarele distanțe:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve poate ajunge la casa prietenului său folosind următoarele rute:

A -> B -> C -> E -> G, distanta totala este de 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, distanta totala este de 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, distanta totala este de 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, distanta totala este de 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Prin urmare, traseul nr. 3 este cel mai scurt și poate fi oferit lui Steve.

Exemplul 7:
Trisha vrea să măsoare înălțimea casei, dar nu are instrumentele potrivite. Ea a observat că în fața casei creștea un copac și a decis să-și folosească ingeniozitatea și cunoștințele de geometrie dobândite la școală pentru a determina înălțimea clădirii. Ea a măsurat distanța de la copac până la casă, rezultatul a fost de 30 m. Apoi a stat în fața copacului și a început să se întoarcă până când marginea de sus a clădirii a devenit vizibilă deasupra vârfului copacului. Trisha a marcat acest loc și a măsurat distanța de la el până la copac. Aceasta distanta a fost de 5 m.

Înălțimea copacului este de 2,8 m, iar înălțimea ochilor lui Trisha este de 1,6 m. Ajută-l pe Trisha să determine înălțimea clădirii.

Soluţie:

Reprezentarea geometrică a problemei este prezentată în figură.

Mai întâi folosim similaritatea triunghiurilor ΔABC și ΔADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \times AC$

$(2,8 - 1,6) \time AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Apoi putem folosi similaritatea triunghiurilor ΔACB și ΔAFG sau ΔADE și ΔAFG. Să alegem prima variantă.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6) )(0,16) = 10 m$