ارقام غیرممکن چهره های غیرممکن در دنیای واقعی نام شکل بی نهایت چیست؟

ارقام غیرممکن - نوع خاصاشیاء در هنرهای تجسمی به عنوان یک قاعده، آنها به این دلیل نامیده می شوند که نمی توانند در آن وجود داشته باشند دنیای واقعی.

به عبارت دقیق‌تر، اشکال غیرممکن، اجسامی هندسی هستند که روی کاغذ کشیده شده‌اند که تصور یک برآمدگی معمولی از یک شی سه‌بعدی را ایجاد می‌کنند، اما با بررسی دقیق‌تر، تضاد در اتصالات عناصر شکل قابل مشاهده است.

ارقام غیرممکن به یک کلاس جداگانه تقسیم می شوند توهمات نوری.

ساخت و سازهای غیرممکن از زمان های قدیم شناخته شده است. آنها در نمادهای قرون وسطی یافت می شوند. این هنرمند سوئدی را "پدر" چهره های غیرممکن می دانند اسکار رویتروردکه کشید مثلث غیر ممکن، در سال 1934 از مکعب تشکیل شده است.

چهره های غیرممکن در دهه 50 قرن گذشته، پس از انتشار مقاله ای توسط راجر پنروز و لیونل پنروز، که در آن دو چهره اساسی توصیف شده بود - یک مثلث غیرممکن (که به آن مثلث نیز می گویند، برای عموم مردم شناخته شد.پنروز) و یک راه پله بی پایان. این مقاله به دست افراد مشهور افتاده است هنرمند هلندی م.ک. اشرکه با الهام از ایده چهره های غیر ممکن، سنگ نگاره های معروف خود "آبشار"، "صعود و فرود" و "بلودره" را خلق کرد. دنبالش برو مقدار زیادیهنرمندان در سراسر جهان شروع به استفاده از چهره های غیرممکن در کار خود کردند. معروف ترین آنها Jos de Mey، Sandro del Pre، Ostvan Oros هستند. آثار اینها و همچنین سایر هنرمندان در جهتی جداگانه مشخص شده است. هنرهای تجسمی - " هنر بی بدیل" .

ممکن است به نظر برسد که فیگورهای غیر ممکن واقعا نمی توانند در فضای سه بعدی وجود داشته باشند. راه‌های خاصی وجود دارد که می‌توانید چهره‌های غیرممکن را در دنیای واقعی بازتولید کنید، اگرچه از یک منظر غیرممکن به نظر می‌رسند.

معروف ترین چهره های غیرممکن عبارتند از: مثلث غیرممکن، راه پله بی پایان و سه گانه غیرممکن.

مقاله از مجله Science and Life "واقعیت غیرممکن" دانلود

اسکار رادرسوارد(املای نام خانوادگی پذیرفته شده در ادبیات روسی زبان؛ به درستی، رویترزورد)، ( 1 915 - 2002) یک هنرمند سوئدی است که در به تصویر کشیدن چهره های غیرممکن، یعنی آنهایی که می توان آنها را به تصویر کشید اما نمی توان خلق کرد، تخصص داشت. یکی از چهره های او دریافت کرد پیشرفتهای بعدیمثل مثلث پنروز

از سال 1964 استاد تاریخ هنر و نظریه در دانشگاه لوند.

روترسوارد بسیار تحت تأثیر درس های استاد مهاجر روسی در آکادمی هنر در سنت پترزبورگ، میخائیل کاتز قرار گرفت. اولین شکل غیرممکن - مثلثی غیرممکن که از مجموعه ای از مکعب ها تشکیل شده است - به طور تصادفی در سال 1934 ایجاد شد. بعدها، در طول سال ها خلاقیت، او بیش از 2500 شکل مختلف غیرممکن را نقاشی کرد. همه آنها در یک چشم انداز موازی "ژاپنی" ساخته شده اند.

در سال 1980، دولت سوئد مجموعه‌ای از سه نسخه را صادر کرد تمبر پستیبا نقاشی های هنرمند

مقدمه……………………………………………………………………………..2

بخش اصلی. ارقام غیرممکن………………………………………………4

2.1. کمی تاریخ……………………………………………………………………………………………………………………

2.2. انواع اعداد غیرممکن…………………………………………………………………………………………………………………………………….6

2.3. اسکار روترسوارد – پدر شخصیت غیرممکن……………………………..11

2.4. ارقام غیر ممکن ممکن است!…………………………………………..13

2.5. استفاده از ارقام غیر ممکن…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

نتیجه……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

کتابشناسی - فهرست کتب………………………………………………………………16

مقدمه

مدتی است که به چنین فیگورهایی علاقه مند شده ام که در نگاه اول عادی به نظر می رسند، اما با نگاه دقیق تر متوجه می شوید که چیزی در آنها درست نیست. علاقه اصلی برای من چهره های به اصطلاح غیرممکن بود که با نگاه کردن به آنها به نظر می رسد که آنها نمی توانند در دنیای واقعی وجود داشته باشند. می خواستم در مورد آنها بیشتر بدانم.

«دنیای چهره‌های غیرممکن» یکی از آنهاست موضوعات جالب، که توسعه سریع خود را تنها در آغاز قرن بیستم دریافت کرد. با این حال، خیلی زودتر، بسیاری از دانشمندان و فیلسوفان به این موضوع پرداختند. حتی اشکال ساده حجمی مانند مکعب، هرم، موازی را می توان به صورت ترکیبی از چندین شکل که در فواصل مختلف از چشم ناظر قرار دارند نشان داد. در این حالت، همیشه باید خطی وجود داشته باشد که در امتداد آن تصویر تک تک قطعات در یک تصویر کامل ترکیب شود.

"شکل غیرممکن یک شی سه بعدی است که روی کاغذ کشیده شده است که در واقعیت وجود ندارد، اما می تواند به عنوان یک تصویر دو بعدی دیده شود." این یکی از انواع آن است توهمات نوری، شکلی که در نگاه اول به نظر می رسد برآمدگی یک شی سه بعدی معمولی است که با بررسی دقیق تر آن اتصالات متناقض عناصر شکل قابل مشاهده است. توهم عدم امکان وجود چنین شخصیتی در آن ایجاد می شود فضای سه بعدی.

این سوال پیش روی من ایجاد شد: "آیا چهره های غیر ممکن در دنیای واقعی وجود دارند؟"

اهداف پروژه:

1. پیدا کردن بهak ایجاد کردارقام غیر واقعی ظاهر می شود

2. برنامه های کاربردی را پیدا کنیدارقام غیر ممکن

اهداف پروژه:

1. مطالعه ادبیات موضوع "ارقام غیر ممکن".

2 .یک طبقه بندی انجام دهیدارقام غیر ممکن

3.Pراه هایی را برای ساختن ارقام غیرممکن در نظر بگیرید.

4. غیرممکن را ایجاد کنیدشکل.

موضوع کار من مرتبط است زیرا درک پارادوکس ها یکی از نشانه های آن است خلاقیتدر اختیار بهترین ریاضیدانان، دانشمندان و هنرمندان است. بسیاری از آثار با اشیاء غیر واقعی را می توان به عنوان «فکری» طبقه بندی کرد بازی های ریاضی". مدل سازی چنین دنیایی تنها با کمک فرمول های ریاضی امکان پذیر است؛ یک فرد به سادگی قادر به تصور آن نیست. و برای توسعه تخیل فضایی، چهره های غیرممکن مفید هستند. یک فرد به طور ذهنی خستگی ناپذیر چیزی را در اطراف خود ایجاد می کند که برای او ساده و قابل درک باشد. او حتی نمی تواند تصور کند که برخی از اشیاء اطراف او ممکن است "غیر ممکن" باشند. در واقع دنیا یکی است اما از زوایای مختلف می توان به آن نگاه کرد.

غیر ممکنارقام

کمی تاریخ

اغلب بر روی حکاکی‌ها، نقاشی‌ها و شمایل‌های باستانی چهره‌های غیرممکن دیده می‌شود - در برخی موارد با خطاهای آشکار در انتقال پرسپکتیو، در برخی دیگر - با تحریفات عمدی به دلیل قصد هنری مواجه هستیم.

در نقاشی ژاپنی و ایرانی قرون وسطی اشیای غیرممکن جزء لاینفک شرق هستند سبک هنری، که فقط یک طرح کلی از تصویر را ارائه می دهد که جزئیات آن "باید" توسط بیننده به تنهایی و مطابق با ترجیحات آنها فکر شود. اینجا ما یک مدرسه داریم. توجه ما جلب شده است ساختار معماریدر پس زمینه که ناهماهنگی هندسی آن آشکار است. می توان آن را هم به دیوار داخلی اتاق و هم به دیوار بیرونی ساختمان تعبیر کرد، اما هر دوی این تعبیرها نادرست است، زیرا ما با صفحه ای روبرو هستیم که هم دیوار بیرونی و هم دیوار بیرونی است، یعنی تصویر یک شی غیرممکن معمولی را نشان می دهد.

تصاویری با چشم انداز تحریف شده در آغاز هزاره اول یافت شده است. بر روی مینیاتوری از کتاب هنری دوم که قبل از سال 1025 خلق شده و در باواریا نگهداری می شود کتابخانه دولتیدر مونیخ، مدونا و کودک را نقاشی کرد. تصویر یک طاق متشکل از سه ستون را نشان می دهد و ستون وسط طبق قوانین پرسپکتیو باید در جلوی مدونا اما پشت سر او قرار گیرد که به تصویر جلوه ای غیر واقعی می دهد.

انواعارقام غیر ممکن

"ارقام غیر ممکن" به 4 گروه تقسیم می شوند. پس اولی:

مثلث شگفت انگیز - تریبار.

این رقم شاید اولین شی غیرممکن باشد که به صورت چاپی منتشر شده است. او در سال 1958 ظاهر شد. نویسندگان آن، پدر و پسر لیونل و راجر پنروز، ژنتیک و ریاضیدان به ترتیب، این شی را به عنوان یک "ساختار مستطیلی سه بعدی" تعریف کردند. او همچنین نام "قبیله" را دریافت کرد. در نگاه اول به نظر می رسد که تریبار فقط تصویری از یک مثلث متساوی الاضلاع باشد. اما اضلاع همگرا در بالای نقشه به نظر عمود بر هم هستند. در همان زمان، وجه چپ و راست در پایین نیز عمود به نظر می رسد. اگر به هر جزئیات به طور جداگانه نگاه کنید، به نظر واقعی می رسد، اما، به طور کلی، این رقم نمی تواند وجود داشته باشد. تغییر شکل نمی دهد، اما هنگام ترسیم، عناصر صحیح به اشتباه متصل شده اند.

در اینجا چند نمونه دیگر از ارقام غیرممکن بر اساس قبیله آورده شده است.

پله بی پایان

این شکل اغلب به نام "پلکان بی پایان"، "پلکان ابدی" یا "پلکان پنرز" - پس از خالق آن - نامیده می شود. به آن «مسیر صعودی و نزولی پیوسته» نیز می گویند.

این رقم برای اولین بار در سال 1958 منتشر شد. قبل از ما پلکانی ظاهر می شود که به سمت بالا یا پایین می آید ، اما در عین حال ، شخصی که در امتداد آن راه می رود بالا یا پایین نمی رود. با تکمیل مسیر بصری خود در ابتدای مسیر قرار می گیرد.

"پلکان بی پایان" توسط هنرمند Maurits K. Escher، این بار در سنگ نگاره Ascending and Descent در سال 1960 با موفقیت مورد استفاده قرار گرفت.

راه پله با چهار یا هفت پله. برای ایجاد این شکل با مقدار زیادقدم های نویسنده را می توان از دسته ای از تراورس های معمولی راه آهن الهام گرفت. اگر قرار است از این نردبان بالا بروید، با یک انتخاب روبرو خواهید شد: چهار یا هفت پله بالا بروید.

سازندگان این راه پله هنگام طراحی قسمت های نهایی بلوک هایی که در یک فاصله قرار دارند از خطوط موازی بهره برده اند. به نظر می رسد که برخی از بلوک ها برای تناسب با توهم پیچ خورده اند.

چنگال فضایی.

گروه بعدی از چهره ها تحت نام کلی "فضا فورک". با این رقم وارد اصل و جوهر غیرممکن می شویم. شاید این پرتعدادترین دسته از اشیاء غیرممکن باشد.

این شیء ناممکن بدنام با سه (یا دو؟) شاخ در سال 1964 در میان مهندسان و علاقه مندان به پازل محبوب شد. اولین نشریه اختصاص داده شده به این شخصیت غیر معمول در دسامبر 1964 ظاهر شد. نویسنده آن را "براکتی متشکل از سه عنصر" نامیده است.

از منظر عملی، این سه تایی یا مکانیزم عجیب به شکل براکت مطلقاً غیر قابل اجرا است. برخی آن را به سادگی "یک اشتباه تاسف بار" می نامند. یکی از نمایندگان صنعت هوافضا استفاده از خواص آن را در طراحی یک چنگال تنظیم فضایی بین بعدی پیشنهاد کرد.

جعبه های غیرممکن

شی غیرممکن دیگری در سال 1966 در شیکاگو در نتیجه آزمایش های اولیه عکاس دکتر چارلز اف کوکران ظاهر شد. بسیاری از عاشقان چهره های غیرممکن جعبه دیوانه را آزمایش کرده اند. در ابتدا، نویسنده آن را "جعبه رایگان" نامید و اظهار داشت که "برای ارسال اشیاء غیرممکن در تعداد زیاد طراحی شده است."

"جعبه دیوانه" یک قاب مکعبی است که از داخل به بیرون تبدیل شده است. سلف بلافصل جعبه دیوانه جعبه غیرممکن (توسط Escher) و سلف آن به نوبه خود مکعب Necker بود.

این یک شی غیرممکن نیست، اما شکلی است که در آن پارامتر عمق به طور مبهم قابل درک است.

وقتی به مکعب Necker نگاه می کنیم، متوجه می شویم که صورت با نقطه در پیش زمینه است، سپس در پس زمینه، از یک موقعیت به موقعیت دیگر می پرد.

اسکار روتهrsward - پدر چهره غیرممکن.

"پدر" چهره های غیرممکن هنرمند سوئدی اسکار روترسوارد است. هنرمند سوئدی، اسکار روترسوارد، متخصص خلق تصاویری از چهره های غیرممکن، ادعا می کرد که در ریاضیات تسلط ضعیفی دارد، اما با این وجود، هنر خود را به درجه علم ارتقا داد و یک نظریه کامل برای ایجاد چهره های غیرممکن بر اساس تعداد معینی از الگوها ایجاد کرد. .

او چهره ها را به دو گروه اصلی تقسیم کرد. او یکی از آنها را "شخصیت های غیرممکن واقعی" نامید. اینها تصاویر دو بعدی از اجسام سه بعدی هستند که می توان آنها را رنگی و روی کاغذ سایه انداخت اما عمق یکپارچه و پایداری ندارند.

نوع دیگر ارقام غیرممکن مشکوک است. این ارقام اجسام منفرد جامد نیستند. آنها ترکیبی از دو یا هستند بیشترارقام آنها را نه می توان رنگ کرد و نه می توان نور و سایه را روی آنها گذاشت.

یک رقم غیرممکن واقعی شامل تعداد ثابتی از عناصر ممکن است، در حالی که یک رقم مشکوک اگر با چشمان خود آنها را دنبال کنید، تعداد معینی از عناصر را از دست می دهد.

ساختن یک نسخه از این شکل های غیرممکن بسیار آسان است و بسیاری از کسانی که به صورت مکانیکی هندسی ترسیم می کنند

چهره ها، هنگام صحبت با تلفن، این کار را بیش از یک بار انجام داده اند. لازم است پنج، شش یا هفت خط موازی بکشید، این خطوط را در انتهای مختلف به روش های مختلف به پایان برسانید - و شکل غیرممکن آماده است. به عنوان مثال، اگر پنج خط موازی رسم شود، می توان آنها را به صورت دو تیر در یک طرف و سه خط از طرف دیگر به پایان رساند.

در شکل، سه نوع از ارقام غیرممکن مشکوک را می بینیم. در سمت چپ، یک تیر سه هفت تیر ساخته شده از هفت خط، که در آن سه تیر به هفت تبدیل می شود. شکل وسط از سه خط ساخته شده است که در آن یک تیر به دو تیر گرد تبدیل می شود. شکل سمت راست از چهار خط ساخته شده است که در آن دو تیر گرد به دو تیر تبدیل می شود

روترسوارد در طول زندگی خود حدود 2500 مجسمه را نقاشی کرد. کتاب های روترسوارد به زبان های زیادی از جمله روسی منتشر شده است.

ارقام غیر ممکن ممکن است!

بسیاری از مردم بر این باورند که چهره های غیرممکن واقعا غیرممکن هستند و نمی توان آنها را در دنیای واقعی خلق کرد. اما باید به یاد داشته باشیم که هر نقاشی روی یک ورق کاغذ، طرح یک شکل سه بعدی است. بنابراین، هر شکلی که روی یک تکه کاغذ کشیده می شود باید در فضای سه بعدی وجود داشته باشد. اشیای غیرممکن در نقاشی ها برآمدگی از اجسام سه بعدی هستند، به این معنی که اشیاء را می توان به شکل واقعی درآورد. ترکیبات مجسمه سازی. راه های زیادی برای ایجاد آنها وجود دارد. یکی از آنها استفاده از خطوط منحنی به عنوان اضلاع یک مثلث غیرممکن است. مجسمه ایجاد شده تنها از یک نقطه غیرممکن به نظر می رسد. از این نقطه، طرف های منحنی صاف به نظر می رسند و هدف به دست می آید - یک شی "غیر ممکن" واقعی ایجاد می شود.

هنرمند روسی، آناتولی کننکو، معاصر ما، چهره های غیرممکن را به دو دسته تقسیم کرد: برخی را می توان در واقعیت مدل کرد، در حالی که برخی دیگر نمی توانند. مدل های شکل های غیر ممکن را مدل های ایمز می نامند.

من مدل ایمز از جعبه غیرممکنم ساختم. چهل و دو مکعب برداشتم و به هم چسباندم، نتیجه یک مکعب شد که قسمتی از لبه آن وجود ندارد. توجه دارم که برای ایجاد یک توهم کامل، به زاویه دید مناسب و نورپردازی مناسب نیاز دارید.

من ارقام غیر ممکن را با استفاده از قضیه اویلر مطالعه کردم و به آن رسیدم نتیجه گیری بعدی: قضیه اویلر که برای هر چندوجهی محدب صادق است، برای اشکال غیرممکن صادق نیست، اما برای مدل های ایمز آنها صادق است.

من فیگورهای غیرممکن خود را با استفاده از مشاوره O. Rutersvärd خلق می کنم. هفت خط موازی روی کاغذ کشیدم. من آنها را از پایین با یک خط شکسته وصل کردم و از بالا به آنها شکل متوازی الاضلاع دادم. ابتدا از بالا و سپس از پایین به آن نگاه کنید. تعداد بی نهایت از این چهره ها وجود دارد. به پیوست مراجعه کنید.

کاربرد ارقام غیرممکن

چهره های غیرممکن گاهی اوقات کاربردهای غیرمنتظره ای پیدا می کنند. اسکار روترسوارد در کتاب خود با عنوان "فیگور اموجلیگا" در مورد استفاده از نقاشی های هنری برای روان درمانی صحبت می کند. او می نویسد که تصاویر با پارادوکس های خود باعث تعجب، تیز شدن توجه و تمایل به رمزگشایی می شوند. روانشناس راجر شپرد برای نقاشی خود از فیل غیرممکن از ایده سه گانه استفاده کرد.

در سوئد، آنها در عمل دندانپزشکی استفاده می شوند: با نگاه کردن به تصاویر در اتاق انتظار، بیماران از افکار ناخوشایند جلوی مطب دندانپزشک پرت می شوند.

چهره های غیرممکن به هنرمندان الهام بخشیدند تا مسیری کاملاً جدید در نقاشی ایجاد کنند که ناممکنگرایی نامیده می شود. از هنرمند هلندی اشر به عنوان یک ناممکن گرا یاد می شود. قلم او متعلق به سنگ نگاره های معروف «آبشار»، «صعود و فرود» و «بلودره» است. این هنرمند از افکت "پلکان بی پایان" که توسط Rootesward کشف شد استفاده کرد.

در خارج از کشور، در خیابان های شهرها، می توان تجسم معماری چهره های غیرممکن را مشاهده کرد.

معروف ترین استفاده از فیگورهای غیرممکن در فرهنگ عامه - لوگوی شرکت خودروسازی رنو

ریاضیدانان می گویند کاخ هایی که در آنها می توانید از پله های منتهی به بالا پایین بروید، می توانند وجود داشته باشند. برای انجام این کار، فقط باید چنین ساختاری را نه در فضای سه بعدی، بلکه مثلاً در فضای چهار بعدی بسازید. و در دنیای مجازی که فناوری رایانه مدرن به روی ما باز می کند، انجام چنین کاری ممکن نیست. این گونه است که عقاید مردی که در سپیده دم قرن به وجود جهان های غیرممکن اعتقاد داشت، امروزه در حال تحقق است.

نتیجه.

ارقام غیرممکن باعث می شود ذهن ما ابتدا ببیند چه چیزی نباید باشد، سپس به دنبال پاسخ باشیم - چه کاری اشتباه انجام شده است، چه چیزی برجسته از پارادوکس است. و گاهی اوقات یافتن پاسخ چندان آسان نیست - در درک نوری، روانشناختی و منطقی نقاشی ها پنهان است.

توسعه علم، نیاز به تفکر به روشی جدید، جستجوی زیبایی - همه این الزامات زندگی مدرنمجبورند به دنبال روش های جدیدی باشند که بتوانند تفکر فضایی، تخیل را تغییر دهند.

پس از مطالعه ادبیات موضوع، توانستم به این سوال پاسخ دهم "آیا ارقام غیرممکن در دنیای واقعی وجود دارند؟" من متوجه شدم که غیرممکن ممکن است و چهره های غیر واقعی را می توان با دستان خود ساخت. من مدل مکعب غیرممکن ایمز را ایجاد کردم و قضیه اویلر را روی آن آزمایش کردم. پس از بررسی نحوه ساخت فیگورهای غیرممکن، توانستم فیگورهای غیرممکن خودم را ترسیم کنم. من توانسته ام این را نشان دهم

نتیجه 1: همه چهره های غیر ممکن می توانند در دنیای واقعی وجود داشته باشند.

نتیجه 2: قضیه اویلر که برای هر چندوجهی محدب صادق است، برای اشکال غیرممکن صادق نیست، اما برای مدل های ایمز آنها صادق است.

نتیجه 3: هنوز زمینه های زیادی وجود دارد که در آنها از ارقام غیرممکن استفاده می شود.

بنابراین، می توان گفت که دنیای چهره های غیرممکن بسیار جالب و متنوع است. مطالعه ارقام غیرممکن کاملاً است اهمیتاز نظر هندسه از این کار می توان در کلاس های ریاضی برای توسعه تفکر فضایی دانش آموزان استفاده کرد. برای افراد خلاق، مستعد اختراع، فیگورهای غیرممکن نوعی اهرم برای خلق چیزی جدید و غیر معمول هستند.

کتابشناسی - فهرست کتب

راپسودی هندسی لویتین کارل. - م .: دانش، 1984، -176 ص.

پنروز ال، پنروز آر اشیاء غیرممکن، کوانت، شماره 5،1971، ص26

رویترزوارد او. ارقام غیرممکن. – م.: استروییزدات، 1990، 206 ص.

تکاچوا M.V. مکعب های چرخان - M.: Bustard, 2002. - 168 p.

فیگورهای غیرممکن فیگورهایی هستند که در پرسپکتیو به گونه ای ترسیم می شوند که در نگاه اول به عنوان چهره های معمولی به نظر می رسند. با این حال، با بررسی دقیق تر، بیننده متوجه می شود که چنین شکلی نمی تواند در فضای سه بعدی وجود داشته باشد. اشر در نقاشی های معروف خود Belvedere (1958)، صعود و فرود (1960) و آبشار (1961) چهره های غیرممکن را به تصویر کشید. یکی از نمونه های چهره غیرممکن، نقاشی ایستوان اوروس، هنرمند معاصر مجارستانی است.

ایستوان اوروس "چهارراه" (1999). تکثیر حکاکی فلز. این نقاشی پل هایی را به تصویر می کشد که نمی توانند در فضای سه بعدی وجود داشته باشند. به عنوان مثال، بازتاب هایی در آب وجود دارد که نمی توانند پل های اصلی باشند.

نوار موبیوس

نوار موبیوس یک شی سه بعدی است که فقط یک طرف دارد. چنین نواری را می توان به راحتی از یک نوار کاغذ با پیچاندن یک سر نوار و سپس چسباندن هر دو انتهای آن به هم به دست آورد. اشر یک نوار موبیوس را در اسب‌داران (1946)، موبیوس نوار دوم (مورچه‌های سرخ) (1963) و گره‌ها (1965) به تصویر کشید.

"گره ها" - Maurits Cornelis Escher 1965

بعدها سطوح حداقل انرژی الهام بخش بسیاری از هنرمندان ریاضی شد. برنت کالینز از نوارهای موبیوس و سطوح حداقل انرژی و انواع دیگر انتزاع در مجسمه سازی استفاده می کند.

دیدگاه های تحریف شده و غیرعادی

سیستم های پرسپکتیو غیرمعمول شامل دو یا سه نقطه ناپدید شدن نیز موضوع مورد علاقه بسیاری از هنرمندان است. آنها همچنین شامل یک زمینه مرتبط - هنر آنامورفیک هستند. اشر در چندین اثر خود از بالا و پایین (1947)، خانه پله ها (1951) و گالری هنر (1956) از دیدگاه تحریف شده استفاده کرد. دیک ترمز از پرسپکتیو شش نقطه ای برای ترسیم صحنه ها روی کره ها و چند وجهی استفاده می کند، همانطور که در مثال زیر نشان داده شده است.

دیک ترمز "قفس برای انسان" (1978). این یک کره نقاشی شده است که با استفاده از پرسپکتیو شش نقطه ای ایجاد شده است. این یک ساختار هندسی را به شکل شبکه ای به تصویر می کشد که از طریق آن چشم انداز قابل مشاهده است. سه شاخه به داخل قفس نفوذ می کنند و خزندگان در امتداد آن می خزند. در حالی که برخی جهان را کشف می کنند، برخی دیگر خود را در قفس می یابند.

کلمه anamorphic (anamorthic) از دو کلمه یونانی "ana" (دوباره) و morthe (شکل) تشکیل شده است. تصاویر آنامورفیک شامل تصاویری هستند که به شدت تحریف شده اند که تشخیص آنها بدون آینه خاص غیرممکن است. چنین آینه ای گاهی اوقات آنامورفوسکوپ نامیده می شود. اگر از طریق آنامورفوسکوپ نگاه کنید، تصویر "دوباره تشکیل می شود". تصویر قابل تشخیص. هنرمندان اروپایی رنسانس اولیهمجذوب تصاویر آنامورفیک خطی شدند، زمانی که تصویر کشیده با مشاهده از زاویه دوباره عادی شد. آغازگر معروف «سفیران» (1533) اثر هانس هولبین است که جمجمه ای کشیده را به تصویر می کشد. این نقاشی ممکن است در بالای پله ها کج شود تا افرادی که از پله ها بالا می روند ترس از تصویر جمجمه را بگیرند. نقاشی‌های آنامورفیک، که برای دیدن آن‌ها به آینه‌های استوانه‌ای نیاز دارند، در اروپا و شرق محبوبیت داشتند. قرن XVII-XVIII. اغلب چنین تصاویری حاوی پیام‌های اعتراض سیاسی یا محتوای اروتیک بودند. اشر در کارهای خود از آینه های آنامورفیک کلاسیک استفاده نکرد، با این حال، در برخی از نقاشی های خود از آینه های کروی استفاده کرد. معروف ترین اثر او در این سبک، دستی با کره بازتابی (1935) است. مثال زیر یک تصویر آنامورفیک کلاسیک توسط István Oros را نشان می دهد.

ایستوان اوروس "چاه" (1998). تابلوی "چاه" از حکاکی روی فلز چاپ شده است. این اثر به مناسبت صدمین سالگرد تولد م.ک. اشر. Escher در مورد گشت و گذار در هنرهای ریاضی نوشت، چگونه در مورد قدم زدن در میان باغ زیباجایی که هیچ چیز تکرار نمی شود دروازه سمت چپ تصویر باغ ریاضی اشر را که در مغز قرار دارد از دنیای فیزیکی. در آینه شکسته سمت راست تصویر نمایی از شهر کوچک آترانی در ساحل آمالفی در ایتالیا دیده می شود. اشر این مکان را دوست داشت و مدتی در آنجا زندگی کرد. او این شهر را در تابلوی دوم و سوم از مجموعه مسخ ها به تصویر کشیده است. اگر همانطور که در سمت راست نشان داده شده است، به جای چاه یک آینه استوانه ای قرار دهید، آنگاه، گویی با جادو، چهره اشر در آن ظاهر می شود.

بسیاری از مردم بر این باورند که چهره های غیرممکن واقعا غیرممکن هستند و نمی توان آنها را در دنیای واقعی خلق کرد. با این حال، از دوره مدرسههندسه، ما می دانیم که نقاشی نشان داده شده بر روی یک ورق کاغذ، طرح ریزی یک شکل سه بعدی بر روی یک صفحه است. بنابراین، هر شکلی که روی یک ورق کاغذ کشیده می شود باید در فضای سه بعدی وجود داشته باشد. علاوه بر این، اشیاء سه بعدی، زمانی که بر روی صفحه ای از آن، یک داده شده است شکل تختمجموعه بی نهایت همین امر در مورد ارقام غیرممکن نیز صدق می کند.

البته هیچ یک از چهره های غیرممکن را نمی توان با عمل در یک خط مستقیم خلق کرد. به عنوان مثال، اگر سه بلوک چوبی یکسان را بردارید، نمی توانید آنها را ترکیب کنید تا یک مثلث غیرممکن به دست آورید. با این حال، هنگام نمایش یک شکل سه بعدی بر روی یک هواپیما، برخی از خطوط ممکن است نامرئی شوند، روی یکدیگر همپوشانی داشته باشند، به یکدیگر بپیوندند و غیره. بر این اساس می توانیم سه میله مختلف را برداریم و مثلثی بسازیم که در عکس زیر نشان داده شده است (شکل 1). این عکس توسط محبوب کننده معروف آثار M.K ساخته شده است. اشر، نویسنده تعداد زیادیکتاب های برونو ارنست در پیش زمینه عکس شکل یک مثلث غیرممکن را می بینیم. در پس زمینه یک آینه وجود دارد که همان شکل را از دیدگاهی متفاوت منعکس می کند. و می بینیم که در واقع شکل مثلث غیر ممکن یک شکل بسته نیست، بلکه یک شکل باز است. و تنها از نقطه ای که شکل را بررسی می کنیم، به نظر می رسد که میله عمودی شکل از نوار افقی فراتر می رود، در نتیجه شکل غیرممکن به نظر می رسد. اگر زاویه دید را کمی تغییر دهیم، بلافاصله شکافی در شکل مشاهده می‌شود و اثر غیرممکن بودن خود را از دست می‌دهد. این واقعیت که یک شکل غیرممکن فقط از یک منظر غیرممکن به نظر می رسد، مشخصه همه چهره های غیر ممکن است.

برنج. یکیعکس مثلث غیرممکن اثر برونو ارنست.

همانطور که در بالا ذکر شد، تعداد ارقام مربوط به یک طرح داده شده نامحدود است، بنابراین مثال بالا تنها راه برای ساختن یک مثلث غیرممکن در واقعیت نیست. هنرمند بلژیکی Mathieu Hamaekers مجسمه نشان داده شده در شکل را خلق کرده است. 2. عکس سمت چپ نمای جلویی شکل را نشان می دهد که در آن مانند یک مثلث غیرممکن به نظر می رسد، عکس مرکزی همان شکل را با چرخش 45 درجه و عکس سمت راست شکل را نشان می دهد که 90 درجه چرخیده است.

برنج. 2.عکسی از شکل مثلث غیرممکن توسط متیو همیکرز.

همانطور که می بینید، در این شکل هیچ وجود ندارد خطوط مستقیم، تمام عناصر شکل به شکل خاصی منحنی هستند. با این حال، مانند مورد قبلی، اثر غیرممکن فقط در یک زاویه دید قابل توجه است، زمانی که تمام خطوط منحنی به صورت خطوط مستقیم قرار می گیرند و اگر به برخی از سایه ها توجه نکنید، شکل غیرممکن به نظر می رسد.

راه دیگری برای ایجاد یک مثلث غیرممکن توسط هنرمند و طراح روسی ویاچسلاو کولیچوک پیشنهاد شد و در مجله "زیبایی فنی" شماره 9 (1974) منتشر شد. تمام لبه های این طرح خطوط مستقیم و صورت ها منحنی هستند که البته در نمای جلویی شکل این منحنی قابل مشاهده نیست. او چنین مدلی از مثلث را از چوب ایجاد کرد.

برنج. 3.مدل مثلث غیرممکن توسط ویاچسلاو کولیچوک.

این مدل بعداً توسط البر گرشون، یکی از اعضای دپارتمان علوم کامپیوتر در موسسه تکنیون در اسرائیل بازسازی شد. نسخه او (نگاه کنید به شکل 4) ابتدا بر روی یک کامپیوتر طراحی شد، و سپس در واقعیت با استفاده از یک چاپگر سه بعدی بازسازی شد. اگر زاویه دید مثلث غیرممکن را کمی تغییر دهیم، شکلی مشابه عکس دوم در شکل خواهیم دید. چهار

برنج. چهارگونه ای از ساخت مثلث غیرممکن توسط البر گرشون.

شایان ذکر است که اگر اکنون به خود فیگورها نگاه می‌کردیم و نه عکس‌های آن‌ها، بلافاصله متوجه می‌شدیم که هیچ یک از چهره‌های ارائه شده غیرممکن نیست و راز هر یک از آنها چیست. ما به سادگی نمی‌توانیم این ارقام را غیرممکن ببینیم، زیرا دید کلیشه‌ای داریم. یعنی چشمان ما که در فاصله معینی از یکدیگر قرار دارند، یک شیء مشابه را از دو دیدگاه نزدیک، اما همچنان متفاوت می بینند و مغز ما با دریافت دو تصویر از چشمان ما، آنها را در یک تصویر واحد ترکیب می کند. قبلاً گفته شد که یک شیء غیرممکن فقط از یک منظر غیرممکن به نظر می رسد و از آنجایی که ما یک شی را از دو منظر می بینیم، بلافاصله ترفندهایی را می بینیم که این یا آن شیء با آن ایجاد می شود.

آیا این بدان معنی است که در واقعیت هنوز نمی توان یک شی غیر ممکن را دید؟ نه تو می توانی. اگر یک چشم را ببندید و به شکل نگاه کنید، غیرممکن به نظر می رسد. بنابراین، در موزه ها، هنگام نمایش چهره های غیرممکن، بازدیدکنندگان مجبور می شوند از طریق سوراخ کوچکی در دیوار با یک چشم به آنها نگاه کنند.

راه دیگری وجود دارد که با آن می توانید یک چهره غیرممکن را و با دو چشم در آن واحد ببینید. این شامل موارد زیر است: شما باید یک شکل بزرگ با ارتفاع ایجاد کنید ساختمان چند طبقه، آن را در فضای باز گسترده ای قرار دهید و از فاصله بسیار دور به آن نگاه کنید. در این حالت، حتی با نگاه کردن به شکل با دو چشم، به دلیل اینکه هر دو چشم شما تصاویری را دریافت می کنند که عملاً هیچ تفاوتی با یکدیگر ندارند، آن را غیرممکن درک خواهید کرد. چنین شخصیت غیرممکنی در شهر پرت استرالیا ایجاد شد.

اگر ساختن یک مثلث غیرممکن در دنیای واقعی نسبتاً آسان باشد، پس ایجاد سه گانه غیرممکن در فضای سه بعدی چندان آسان نیست. یکی از ویژگی های این شکل وجود تضاد بین پیش زمینه و پس زمینه شکل است، زمانی که عناصر تکی شکل به آرامی به پس زمینه ای که شکل در آن قرار دارد عبور می کند.

برنج. 5.طراحی شبیه به سه گانه غیرممکن است.

در موسسه اپتیک چشم در شهر آخن (آلمان) با ایجاد یک نصب ویژه توانستند این مشکل را حل کنند. طراحی از دو بخش تشکیل شده است. در جلو سه ستون گرد و یک سازنده قرار دارد. این قسمت فقط از پایین روشن می شود. پشت ستون ها یک آینه نیمه تراوا (نیمه تراوا) با یک لایه بازتابنده در جلو قرار دارد، یعنی بیننده آنچه را که پشت آینه است نمی بیند، بلکه فقط انعکاس ستون ها را در آن می بیند.

برنج. 6.دیاگرام راه اندازی که یک سه گانه غیرممکن را تولید می کند.

در نگاه اول، به نظر می رسد که ارقام غیر ممکن فقط می توانند در هواپیما وجود داشته باشند. در حقیقت ارقام باور نکردنیرا می توان در فضای سه بعدی تجسم کرد، اما برای "همان اثر" باید از نقطه ای خاص به آنها نگاه کرد.

دیدگاه تحریف شده یک اتفاق رایج در نقاشی قدیمی. در جایی این به دلیل ناتوانی هنرمندان در ساختن یک تصویر بود، در جایی - نشانه ای از بی تفاوتی نسبت به رئالیسم، که به نمادگرایی ترجیح داده شد. جهان مادیتا حدودی در رنسانس بازسازی شد. استادان رنسانس شروع به کاوش در پرسپکتیو کردند و بازی هایی با فضا را کشف کردند.

یکی از تصاویر چهره غیرممکن اشاره دارد قرن شانزدهم- در نقاشی پیتر بروگل بزرگ "چهل روی چوبه دار" همین چوبه دار مشکوک به نظر می رسد.

شهرت بزرگی به چهره های غیرممکن قرن بیستم رسید. هنرمند سوئدی Oskar Rutesvärd در سال 1934 یک مثلث متشکل از مکعب ها "Opus 1" و چند سال بعد - "Opus 2B" را نقاشی کرد که در آن تعداد مکعب ها کاهش یافت. خود این هنرمند خاطرنشان می کند که باارزش ترین در توسعه چهره ها است که او دوباره آن را انجام داد سال های مدرسه، باید نه ایجاد خود نقشه ها، بلکه توانایی درک اینکه آنچه ترسیم می شود متناقض و مغایر با قوانین هندسه اقلیدسی است.

اولین شکل غیرممکن من به طور تصادفی ظاهر شد، زمانی که در سال 1934، در آخرین کلاس خود در ژیمناستیک، در یک کتاب درسی دستور زبان لاتین "خراش" کردم و اشکال هندسی را در آن ترسیم کردم.

اسکار روتسوارد "شخصیت های غیر ممکن"

در دهه 50 قرن بیستم، مقاله ای توسط ریاضیدان انگلیسی راجر پنروز منتشر شد که به ویژگی های ادراک اشکال فضایی به تصویر کشیده شده در یک هواپیما اختصاص داشت. این مقاله در مجله روانشناسی بریتانیا منتشر شده است که در مورد ماهیت چهره های غیرممکن بسیار می گوید. نکته اصلی در آنها حتی هندسه متناقض نیست، بلکه این است که چگونه ذهن ما چنین پدیده هایی را درک می کند. به عنوان یک قاعده، چند ثانیه طول می کشد تا بفهمید دقیقاً چه چیزی با شکل "اشتباه" دارد.

به لطف راجر پنروز، این ارقام از منظر علم به عنوان اجسامی با ویژگی های توپولوژیکی خاص مورد توجه قرار گرفتند. مجسمه استرالیایی که در بالا مورد بحث قرار گرفت، فقط مثلث پنروز غیرممکن است که تمام اجزای آن واقعی هستند، اما تصویر به یکپارچگی که می تواند در دنیای سه بعدی وجود داشته باشد، اضافه نمی کند. مثلث پنروز با دیدگاهی نادرست گمراه کننده است.

چهره های مرموز منبع الهام برای فیزیکدانان و ریاضیدانان و هنرمندان شده اند. گرافیست Maurits Escher با الهام از مقاله پنروز، چندین سنگ نگاره ایجاد کرد که او را به عنوان یک توهم گرا مشهور کرد و متعاقباً به آزمایش اعوجاج فضایی در هواپیما ادامه داد.

چنگال غیرممکن

سه شاخۀ غیرممکن، بلیوت یا حتی به نام «چنگال شیطان» شکلی است که در یک سر آن سه شاخک گرد و در سر دیگر آن مستطیل شکل است. به نظر می رسد که جسم در قسمت های راست و چپ کاملاً عادی است، اما در پیچیده به نظر می رسد جنون یکنواخت است.

این اثر به این دلیل به دست می آید که نمی توان به صراحت گفت که پیش زمینه کجاست و پس زمینه کجاست.

مکعب غیر منطقی

مکعب غیرممکن (همچنین به عنوان مکعب اشر شناخته می شود) در سنگ نگاره Belvedere موریتز اشر ظاهر شد. به نظر می رسد که وجود این مکعب تمام قوانین اولیه هندسی را نقض می کند. راه حل، مانند همیشه با ارقام غیر ممکن، بسیار ساده است: چشم انساندرک تصاویر دو بعدی به عنوان اجسام سه بعدی معمول است.

در همین حال، در سه بعدی، یک مکعب غیرممکن به این شکل خواهد بود و از یک نقطه خاص مانند تصویر بالا ظاهر می شود.

ارقام غیرممکن برای روانشناسان، دانشمندان علوم شناختی و زیست شناسان تکاملی بسیار جالب هستند و به یادگیری بیشتر در مورد بینش و استدلال فضایی ما کمک می کنند. امروز فناوری های کامپیوتریواقعیت مجازی و پیش بینی ها احتمالات را گسترش می دهند به طوری که می توان به اشیاء متناقض با علاقه جدید نگاه کرد.

بجز نمونه های کلاسیک، که ما داده ایم، گزینه های بسیار دیگری برای ارقام غیرممکن وجود دارد و هنرمندان و ریاضیدانان گزینه های متناقض جدیدی را ارائه می دهند. مجسمه سازان و معماران از راه حل هایی استفاده می کنند که ممکن است باورنکردنی به نظر برسند، اگرچه ظاهر آنها به جهت نگاه بیننده بستگی دارد (همانطور که Escher قول داده بود - نسبیت!).

لازم نیست یک معمار حرفه ای باشید تا دست خود را در ایجاد غیرممکن های حجمی امتحان کنید. اوریگامی از چهره های غیرممکن وجود دارد - این را می توان در خانه با بارگیری قسمت خالی تکرار کرد.

منابع مفید

• دنیای غیرممکن - منبعی به زبان روسی و انگلیسی با نقاشی های معروف، صدها نمونه از فیگورها و برنامه های غیرممکن برای خلق چیزهای باورنکردنی خودتان.
• M.C. Escher - سایت رسمی M.K. Escher توسط شرکت MC Escher (انگلیسی و هلندی) تأسیس شد.
• - آثار هنرمند، مقالات، بیوگرافی (زبان روسی).